高級中學名校試題PAGEPAGE1上海市2025屆高三下學期2月高考調研數學試卷一、填空題(本大題共12題，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分，共54分.考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果.)1.設，則不等式的解集為________.【答案】【解析】由.所以不等式的解集為：.故答案為：2.若是首項為2，公差為3的等差數列，則_______.【答案】11【解析】由題意：，所以.故答案為：113.二項式的展開式中，項的系數為_______________.【答案】【解析】展開式的通項為，令，則，所以的系數為.4.已知一組數據為2.4，2.6，3.3，3.8，4.0，4.1，則這組數據的中位數為________.【答案】3.55【解析】顯然這組數據共6個數，且已經按照從小到大的順序排好，因此這組數據的中位數為第三個數和第四個數的平均數，即.故答案為：3.55.5.在中，若，，，則的長為_______.【答案】【解析】，所以,故答案為：6.實數滿足，則的最大值為___________.【答案】【解析】因為實數滿足，所以由基本不等式可得：（當且僅當時等號成立），所以.即的最大值為.故答案為：.7.雙曲線()的焦點為、，且為該雙曲線上一點，若，，則該雙曲線的離心率為_______.【答案】【解析】根據雙曲線的定義可得：，所以.又，所以.所以雙曲線的離心率為：.故答案為：8.為了增強法治觀念，甲、乙兩位老師在共所學校中各自選所學校開展普法講座.在甲、乙一共選擇了所不同的學校的條件下，恰有一位老師選擇學校開展講座的概率為________.【答案】【解析】記事件：甲、乙一共選擇了所不同的學校進行普法，事件：恰有一位老師選擇學校開展普法講座，因為，，所以，故答案為：.9.設，已知，若，則的取值范圍為________.【答案】【解析】若，即時，，可得；若，即時，，可得，不符合前提；綜上，的取值范圍為.故答案為：10.在斜三棱柱中，連接、與，記三棱錐的體積大小為，三棱柱的體積大小為，則________.【答案】【解析】設斜三棱柱的高為，，則，，，則.故答案為：.11.如圖所示，是一處觀景臺，、分別為觀景區域的邊界，未教星工程隊計劃修建與兩條道路.已知與的距離為1km，且，為了便于工程隊測量觀景臺的觀景效果，現給出如下假設：假設1：觀景臺的觀景范圍為四邊形；假設2：觀景臺、道路與均處于同一平面內，其中；假設3：，.當四邊形的面積為最大值時，則________.(結果精確至0.01)【答案】【解析】設，則，由題意知，則，如圖，連接.在中，，則，；在中，同理可得，；故四邊形的面積，.令，，即.由，則，令，則，解得，由，故不妨設，且，當，即時，，即，在單調遞增；當，即時，，即，在單調遞減；故，即當時取到最大值.由，可得，則.此時，故答案為：.12.設，集合.若對任意，均存在和，滿足，，則的最大值為_______.【答案】【解析】設方程表示的區域為，用代換方程不變，可知區域關于y軸對稱；用代換方程不變，可知區域關于x軸對稱；當時，區域可化為，據此可得區域的圖形如圖陰影所示，取，可知區域為正方形及其內部，設，點均在區域內，因為，，即，，可知點在線段上，又因為，記為過點的線段的長度的最大值，若求，不妨假設點在正方形的邊界上，若，即，可知最大值為的最小值，取的中點分別為，可知區域關于直線對稱，根據對稱性只需假定點在線段上即可，此時，可知當點與點重合時，取到最小值，所以的最大值為.故答案為：.二、選擇題(本大題共4題，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分，共18分.每題有且僅有一個正確選項，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.)13.若集合滿足，則可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，則或.故選：A14.在研究“溫度是否影響莊稼生長”時，對實驗數據利用2×2列聯表進行獨立性檢驗，計算得實驗數據的統計量的值為.已知，則（）A.的值小于3.841，就有95%的把握認為“溫度會影響莊稼生長”B.的值大于3.841，就有95%的把握認為“溫度會影響莊稼生長”C.的值越大，說明實驗數據的觀測值與預測值的總體偏差越小D.的值越小，說明實驗數據的觀測值與預測值的總體偏差越大【答案】B【解析】因為，則的值大于3.841，就有95%的把握認為“溫度會影響莊稼生長”，A選項錯誤，B選項正確；的值的大小不能說明實驗數據的觀測值與預測值的總體偏差，C，D選項錯誤.故選：B.15.若復數在復平面中的對應點都在一個過原點的圓上，則的對應點均在（）A.一條直線上 B.一個圓上C.一條拋物線上 D.一支雙曲線上【答案】A【解析】設，復數在復平面中的對應點都在一個過原點的圓上，設此圓方程為，不同時為0，將代入，得，，，故對應的點坐標為，將兩邊同時除以得，故對應的點在直線上.故選：A16.設定義域為的函數，函數的導函數是.對于，函數在上存在極值點.記.則中的函數一定不具有的性質是（）A.B.C.函數在上為嚴格增函數D.函數是偶函數【答案】D【解析】A項，定義域為，且滿足.存在極值點，則，且，且對，有；且；滿足，故，故選項A有可能成立；B項，定義域為，且存在極值點，又，，且對，有；且；滿足，故，可知選項B，C均有可能成立.假設選項D成立，即是偶函數，則是奇函數，所以.設，，則從而對任意有，故，但這對不成立，所以選項D不可能成立.故選：D.三、解答題(本大題共5題，第17—19題每題14分，第20—21題每題18分，共78分.解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.)17.如圖所示，在四棱錐中，平面，//.（1）若平面，求證：平面平面；（2）若，若，，求平面與平面所成銳二面角的大小.（1）證明：由平面，平面，得，而，則，由平面，平面，得，而平面，因此平面，又平面，因此平面平面.（2）解：取中點為，連接，則，而，，則四邊形是矩形，，，又平面，因此直線兩兩垂直，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設平面法向量為，則，令，得，顯然平面的一個法向量，設平面與平面所成銳二面角的大小為，因此，所以平面與平面所成銳二面角的大小為.18.已知，.（1）若函數的最小正周期為，求的值；（2）當時，設.若函數和在上有相同的最大值，求的取值范圍.解：（1），因為且函數的最小正周期為，故.（2）當時，.若時，，當時，函數取得最大值，即.而函數與存在相同的最大值，故當時，函數在內取得最大值，因此可得，①當時，可得，則有，解得；②當時，可得，則有，解得.當時，，此時，，當時，，此時，.綜上所述，的取值范圍為.19.為了檢查一批零件的質量是否合格，檢查員計劃從中依次隨機抽取零件檢查：第次檢查抽取號零件，測量其尺寸(單位：厘米).檢查員共進行了100次檢查，整理并計算得到如下數據：，，.（1）這批零件共有1000個.若在抽查過程中，質量合格的零件共有60個，估計這批零件中質量合格的零件數量；（2）若變量與存在線性關系，記，求回歸系數的值；（3）在抽出的100個零件中，檢查員計劃從中隨機抽出20個零件進行進一步檢查，記抽出的20個零件中有對相鄰序號的零件，求的數學期望.示例零件序號為“1、2、4、5”與“1、2、3、5”時均恰有2對相鄰序號的零件.參考公式：（1）線性回歸方程：，其中，.（2）期望的線性性質：，其中是若干隨機變量.解：（1）因為在這100個零件中，合格的零件為60個，故質量合格的零件所占樣本比例為.而在這1000個零件中，質量合格的零件數為：(個).（2）由可得，，又因為，，因此可得：.代入數據可得：.（3）用表示抽查的結果，若第個零件與第個零件被選中，則記；若結果是其余情況，則記，.由線性期望的性質可得：(個).20.在平面直角坐標系中，已知橢圓:右頂點為，點、分別是軸負半軸、軸正半軸上的動點.（1）若是的左焦點，且，求的值；（2）設，上存在軸上方一點.若，求的坐標；（3）設，過的直線與交于、兩點(、兩點不重合)，與軸交于且的縱坐標，記與到直線的距離分別為、.若存在直線，滿足成立，求的取值范圍.解：（1）因為與的左焦點重合，故，因此.又因為，而，所以，解得：(負舍).（2）因為，又因為，而，代入解得.若在第一象限，則，故在第二象限.設，而，整理可得.代入橢圓方程，可得：.所以解得(增根舍去)，所以.因此.（3）由題意可知：直線的解析式為，設直線的解析式為()，且、.聯立，可得，.根據韋達定理，，.因為、兩點均在直線的左側，故.又因為，，因此，代入化簡可得方程.設，又因為，故.①若，此時直線與存在兩個交點.若存在，使得，而，故，可得，故，因此.②若，而此時在的外部，，故.若存在，使得，而，故，可得，故.綜上所述，的取值范圍為.21.設定義域為的函數，對于，定義.（1）設，求；（2）設，是否存在，使得是一段閉區間？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由；（3）函數的定義域是，函數值恒正，其導函數為；當時，.若對任意，均有，求證：“函數是上的嚴格增函數”的充要條件是“”.解：（1）由題設，將化簡得，解得，故；（2）存在滿足條件，且，理由如下：因為，代入定義整理得：，設，則，令，得，或，當時，必存在，（設）；根據的關系，列表如下：單調遞減極小值單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增由此是函數的極大值點，故當時，是一段閉區間，即，解得，因此，特別地，當時，，故仍是一段閉區間，故.當時，當且僅當時，，列表可得：單調遞減極小值單調遞增所以是函數的極小值點，且取得最小值，當時，是一段閉區間，即，解得，由此得.綜上所述，存在滿足條件的，且；（3）假設，若，則，因