高級中學名校試題PAGEPAGE1陜西省西安市蓮湖區(qū)2023-2024學年高二下學期4月期中數(shù)學試題注意事項：1．答題前、考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時、選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動、用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第二冊第五章，選擇性必修第三冊第六章．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.5名同學分別從4個景點中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)為（）A.9 B.20 C. D.【答案】D【解析】因為每名同學都有4種選擇，所以由分步乘法計數(shù)原理可知不同選法的種數(shù)為：．故選：D.2.曲線在點處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，所以該曲線在點處的切線斜率為，故所求切線方程為，即．故選：C.3.已知函數(shù)的導函數(shù)為，若，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】因為，即，所以.故選：C.4.被8除所得的余數(shù)為（）A.1 B.2 C.0 D.5【答案】A【解析】，因為能被8整除，所以被8除所得的余數(shù)為1．故選：A.5.在高臺跳水運動中，某運動員在（單位：秒）時的重心相對于水面的高度（單位：米）滿足關(guān)系式，當時，的平均變化率是米/秒，則當時的瞬時變化率是（）A.米/秒 B.15米/秒 C.米/秒 D.25米/秒【答案】C【解析】由題意可得，解得，則，從而，故.故選：C6.從6人（包含甲）中選派出3人參加，，這三項不同的活動，且每項活動有且僅有1人參加，若甲不參加和活動，則不同的選派方案有（）A.60種 B.80種 C.90種 D.150種【答案】B【解析】當甲被選中時，不同的選派方案有種；甲沒被選中時，不同的選派方案有種.故滿足條件的不同的選派方案有種.故選：B.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，f'x為的導函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由導數(shù)的幾何意義可知，表示曲線在處的切線斜率，表示曲線在處的切線斜率，表示，兩點連線的斜率，由圖可知，當從0變化到1時，切線斜率越來越大，所以，對比選項可知，D正確.故選：D.8.在展開式中，形如的所有項的系數(shù)之和是（）A.256 B. C.1512 D.【答案】D【解析】形如的所有項，即展開式中所有項，令，得的所有項的系數(shù)之和是，故選：D.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列函數(shù)求導正確的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對于A：，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：因為，，所以，故C正確；對于D：，故D錯誤.故選：BC.10.已知，若，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】令，得，解得，故A正確；所以，令，得，令，得，所以，故B正確；展開式的第項（且），所以，故C錯誤；令，則，設(shè)，則，令，得，又，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，若對任意的成立，則的取值可能是（）A.1 B. C.3 D.【答案】AB【解析】由題意可得，則.設(shè)，則.由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即.因，所以，當且僅當時，等號成立，則，故.故選：AB.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12.一個口袋內(nèi)裝有4個小球，另一個口袋內(nèi)裝有6個小球，所有小球的顏色互不相同．從兩個袋子中取一個球，則不同的取法種數(shù)為______．【答案】10【解析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為．13.已知函數(shù)，則______.【答案】3【解析】因為，所以，則，解得，則，故.14.某校開設(shè)美術(shù)、籃球、足球和象棋興趣班，其中美術(shù)興趣班有4個，籃球興趣班有5個，足球興趣班有2個，象棋興趣班有3個.已知該校的學生小明報名參加其中的兩種興趣班，且至少參加了一種球類的興趣班，則小明參加興趣班的不同方案有______種.【答案】59【解析】第一種情況：小明參加了足球興趣班和籃球興趣班，共有種方案.第二種情況：小明只參加了一種球類興趣班，則小明參加的另一種興趣班為美術(shù)或象棋中的一種，共有種方案.故小明參加興趣班的不同方案有種.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過6道工序．（1）若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，問有多少種加工順序?（2）若其中某3道工序必須相鄰．問有多少種加工順序?（3）若其中某3道工序兩兩不能相鄰，問有多少種加工順序?解：（1）先從另外4道工序中任選2道工序放在最前面與最后面，有種不同的排法，再將其余4道工序全排列，有種不同的排法，由分步乘法計數(shù)原理可得，共有種加工順序．（2）先排這3道工序，有種不同的排法，再將它們看作一個整體，與其余的3道工序全排列，有種不同的排法，由分步乘法計數(shù)原理可得，共有種加工順序.（3）先排其余的3道工序，有種不同的排法，有4個空檔，再將這3道工序插入空檔，有種不同的排法，由分步乘法計數(shù)原理可得，共有種加工順序.16.已知函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，（1）求a的取值范圍；（2）若，求在上的值域．解：（1）函數(shù)的定義域為，求導得，由在內(nèi)不單調(diào)，得關(guān)于x的方程在內(nèi)有根，則，即a>0，所以a的取值范圍是.（2）由及（1）知，得，，由，得；由，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，而，所以在上的值域為．17.已知．（1）求；（2）指出，，，?，中最大的項．解：（1）令，得，令，得，所以；（2）判斷中誰最大即判斷展開式的系數(shù)誰最大．展開式的通項，由，得，因為，所以或6．故中最大的項為．18.已知函數(shù)在處取得極值．（1）求的值；（2）求經(jīng)過點與曲線相切的切線方程．解：（1）由題意可得，①，所以，②由①②解得，經(jīng)驗證，當時，在左右異號，成立.（2）設(shè)切點為，則，①由導數(shù)的意義可得切線的斜率為，由點斜式可得切線方程為，又點在切線上，所以，②聯(lián)立①②，化簡消去可得，解得或1，代入函數(shù)可得切點為，當時，，此時切線方程為，即；當時，，此時切線方程為，即，綜上，經(jīng)過點與曲線y=fx相切的切線方程為或.19.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明：方程至多只有一個實數(shù)解．解：（1）因為函數(shù)，，所以，當時，，單調(diào)遞減；當時，由，得，解得，單調(diào)遞增；由，得，解得，單調(diào)遞減；當時，由，得無解；由，得恒成立，單調(diào)遞減；；當時，，單調(diào)遞減；當時，由，得，解得；由，得，解得，綜上：當時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；當時，在R上是減函數(shù)；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）當時，由于，故不滿足恒成立；當時，單調(diào)遞減，又，故不滿足恒成立；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使得恒成立，則，即，所以，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍為；（3）設(shè)，，則，①當時，恒成立，令得，則時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，所以，此時函數(shù)無零點，即方程無實根；②當時，令得，，（i）當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，此時函數(shù)有唯一的零點，