高級中學名校試題PAGEPAGE1陜西省西安市部分學校2025屆高三第二次模擬考試數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知，又因為，故．故選：B2.若復數，則（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】因為，所以，故選：C．3.若函數()圖象的一個對稱中心為點，則ω的最小值為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】由題設，因為，所以，則，．因為，所以.故選：A.4.近年來，新能源汽車產銷量的快速增長推動了動力電池產業的發展．已知蓄電池的容量C(單位：)、放電時間t(單位：h)與放電電流I(單位：A)之間滿足的關系式為．在電池容量不變的條件下，當放電電流時，放電時間，則當放電電流時，放電時間為（）A.35h B.30h C.25h D.20h【答案】D【解析】由，得．故選：D5.在正四棱錐中，已知，，則該正四棱錐的體積為（）A.96 B.80 C.64 D.32【答案】D【解析】連接AC，BD，設AC與BD交于點O，連接OP．易知，PO就是正四棱錐高，且．又，所以，所以該正四棱錐的體積為．故選：D.6.對于函數，若存在兩個常數a，b，使得，則稱是“平方差關聯函數”．已知函數是“平方差關聯函數”，則（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】因為是“平方差關聯函數”，所以，化簡得，則解得故，故選：B．7.已知橢圓C：()的上、下頂點分別為，，左、右焦點分別為，，點P在C上，且C的離心率為，的周長為10，則四邊形的面積為（）A.5 B. C. D.【答案】B【解析】因為C的離心率為，所以，即．又因為的周長為10，所以，即．聯立，解得.又因為，所以，所以四邊形的面積為．故選：B.8.已知定義在R上的函數滿足，，且，設函數，則（）A.只有1個零點，且該零點在內B.有2個零點，且2個零點分別在和內C.只有1個零點，且該零點在內D.有2個零點，且2個零點分別在和內【答案】C【解析】令，得，又，所以，解得，所以，令，得，所以，即．函數在R上單調遞增，且.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某學校為了提高高三年級學生的某學科成績，在第一次聯考后采取了“培優補短”等一系列舉措．為了更好地總結經驗，現從高三年級1000名學生中隨機抽取100名學生，將其前后兩次聯考成績(滿分150分)分別按照[50,70)，[70,90)，…，[130,150]分成五組，繪制成頻率分布直方圖，如圖所示．下列說法正確的是（）A.B.估計該年級第二次聯考成績在130分以上的學生比第一次聯考對應分數段的多10人C.第二次聯考學生的成績波動更小D.與第一次聯考相比，第二次聯考成績在[50,90)內的學生人數減少，在[110,150]內的學生人數增加【答案】BCD【解析】因為，所以，A錯誤．因為第一次聯考成績在130分以上的學生人數大約占，第二次聯考成績在130分以上的學生人數大約占，所以增加，則增加的學生人數為10，B正確．第一次聯考成績集中于70～110分的學生人數占比為，第二次聯考成績集中于90～130分的學生人數占比為，第二次聯考成績數據更集中，所以方差更小，C正確．第一次聯考成績在[50,90)內的學生人數占比為，在[110,150]內的學生人數占比為，第二次聯考成績在[50,90)內的學生人數占比為，在[110,150]內的學生人數占比為，D正確．故選：BCD10.已知點和圓C：，過A作圓C的兩條切線，，切點分別為M，N，再取一條與圓C相切的切線(與，不重合)，則（）A.B.C.，與圍成三角形的面積的最大值為D.，與圍成三角形的周長的最小值為【答案】ABD【解析】A．依題意得圓C：，所以，A正確．B．因為，所以，B正確．C.要使，與圍成三角形的面積最大，則圓C：是這個三角形的內切圓，設這個三角形的三條邊長分別為a，b，c，則這個三角形的面積，此時沒有最大值，從而S也沒有最大值，C錯誤，D．當第三條切線與圓相切的切點落在另兩個切點M，N與圓C構成的劣弧上時，三角形的周長最小，且等于兩條切線長的和，D正確．故選：ABD．11.已知定義在R上的函數的導函數為，且，，則下列命題正確的是（）A.只有最大值，沒有最小值B只有最小值，沒有最大值C.有兩個零點D.只有一個極值點【答案】AD【解析】可化為．設，則，所以(k為常數)，則，解得，所以，則，．令，得，令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得極大值，也是最大值，沒有最小值，故A，D正確，B錯誤；令，得，方程有唯一的實數根，故C錯誤．故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，滿足，，且，則，夾角的余弦值為________．【答案】【解析】因為，所以，解得．故答案為：13.法國數學家費馬于1640年提出了以下猜想：(，1，2，3，…)是質數．后來數學家歐拉證明了這個猜想不成立．現設()，為數列的前n項和，則的最小值是________．【答案】32【解析】由題意知，則是等比數列，所以，則，當且僅當時，等號成立．故答案為：3214.《九章算術·商功》中有如下類似問題：今有芻童，上廣一尺，袤二尺，下廣三尺，袤四尺，高一尺．意思如下：今有一個芻童，上底面寬1尺、長2尺，下底面寬3尺、長4尺，高1尺．芻童是上、下底面為相互平行的不相似長方形，且兩底面的中心連線與底面垂直的六面體，如圖，若A是該六面體上底面的一個頂點，點M在下底面的外接圓上，則線段AM長度的最大值為________尺．【答案】【解析】如圖，設點A在底面上的射影是Q，上底面外接圓在下底面上的射影是圓，當Q，，M三點共線時，線段AM的長度最大，由題意得，，，因為圓所在平面，所以．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數．（1）若，，求的圖象在點處的切線方程；（2）若，且在處取得極值，求的單調區間以及的最小值．解：（1）因為，，所以，，所以，，故所求切線的方程為，即．（2）若，則，．因為在處取得極值，所以，解得，所以，．由，得或；由，得．的單調遞增區間為，，單調遞減區間為，又時，所以時，函數取得最小值．16.如圖，在長方體中，底面ABCD是正方形，點E在線段上，且，．（1）證明：平面平面．（2）求二面角的正弦值．（1）證明：因為，所以，因為，所以，所以，即，又面，面，所以，而且都在面內，所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）解：以A為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示．由，，知，，，，，則，．設是平面的法向量，由，取，得．由（1）知，，且都在面ABE內，所以平面ABE，所以取為平面ABE的一個法向量．設二面角的大小為θ，則，從而．17.某醫院計劃從急診科、骨科中選調醫生組建一支6人醫療救援隊，該院骨科、急診科各有5名醫生報名加入醫療救援隊．（1）小張是這次報名的骨科醫生，求小張被選入醫療救援隊的概率；（2）設被選入醫療救援隊的骨科醫生人數為X，求隨機變量X的分布列及數學期望．解：（1）設事件A為“小張被選入醫療救援隊”，則．（2）X的所有取值可能為1，2，3，4，5，，，，，，X的分布列為X12345P故．18.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且．（1）求cosA；（2）若點D在線段BC上，AD為的角平分線，且，求的周長．解：（1）由，得，所以，所以．（2）由（1）知．由題意知，，即，化簡得．在中，，，根據余弦定理有，則，解得，從而，所以的周長為．19.在平面直角坐標系中，已知任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫作把點繞點沿逆時針方向旋轉角得到點.（1）在平面直角坐標系中，寫出將點分別繞原點按逆時針方向旋轉，得到的點，的坐標；（2）在平面直角坐標系中，求曲線繞原點沿逆時針方向旋轉后得到的曲線的方程；（3）已知由（2）得到的曲線與軸正半軸的交點為，直線與曲線的兩支交于，兩點（在第一象限），與軸交于點，設直線，的傾斜角分別為，，證明：為定值.（1）解：，所以故，故.（2）解：設將點繞原點按逆時針方向旋轉后得到的點為.設，，則，，，所以，.設曲線上任意一點繞原點沿逆時針方向