高級中學名校試題PAGEPAGE1陜西省2025屆高考適應性檢測（三）數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，,則，或，則，或，故選：C.2.命題：的否定為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根據全稱命題與存在性命題的關系，可得命題“”的否定為“”.故選：C.3.設，其中i為虛數單位．則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為，所以．令，解得或，故“”是“”的充分不必要條件．故選：A4.米斗是隨著糧食生產而發展出來的稱量糧食的量器，早在先秦時期就有．如圖，是米斗中的一種，可盛10升米（1升）．已知該米斗的盛米部分為正四棱臺，上口寬為，下口寬，且，若，則該米斗的側棱與下底面所成角的正切值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】設該米斗的高為，米斗的側棱與下底面所成角為，則，，解得．故選：B5.已知圓，直線，則直線與圓的公共點個數為（）A.0個 B.1個C.2個 D.與有關，不能確定【答案】C【解析】直線，令，得即直線恒過定點．由知，點A在圓內，故直線恒與圓相交，故選:C．6.在圓內接梯形中，，，，，則其外接圓的半徑為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，梯形內接于圓，則，因，則，故梯形為等腰梯形，則，所求即的外接圓的半徑．在中，由余弦定理可得，則，又由正弦定理，，即．故選：B．7.某大型超市為了解顧客的購物習慣，對近期進入超市的1000名顧客進行了隨機調查．調查發現，有600名顧客在進入超市前已經決定好了要購買的商品（稱為“計劃型顧客”），其余400名顧客則沒有特定的購買計劃（稱為“隨機型顧客”）．根據以往的銷售數據，“計劃型顧客”在超市的平均消費金額為200元，而“隨機型顧客”中，有的人平均消費金額為100元，另外的人平均消費金額為300元．若從該超市近期進入的顧客中隨機抽取1名，則這名顧客的平均消費金額不低于200元的概率，以及該顧客的平均消費金額分別為（）．A.概率為0.72，平均消費金額為210元 B.概率為0.88，平均消費金額為216元C.概率為0.88，平均消費金額為240元 D.概率為0.82，平均消費金額為230元【答案】B【解析】設事件表示“抽取的顧客為計劃型顧客”，事件表示“抽取的顧客的平均消費金額不低于200元”，事件表示“抽取的顧客為隨機型顧客”；，由于計劃型顧客的平均消費金額已經為200元，所以；隨機抽取1名顧客，消費不低于200元的概率是：，設顧客的平均消費金額為，則的可能取值為，則；；，期望為：.故選：B8.已知函數定義為：，若函數恰好有3個零點，則實數的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】D【解析】①當時，要使有意義，故；方程為，平方得，，解得；顯然，解不等式得；在上滿足：當或時，有1個零點；當時，有兩個零點；②當時，若，，函數有無窮個零點；當時，方程，即，解得，令，即；即在上滿足：當且時，有1個零點；當時，有無窮個零點；當時，沒有零點．綜上，當時，有三個零點．故選：D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.甲，乙兩個體育社團小組成員的某次立定跳遠成績（單位：厘米）如下：甲組：，，，，，，，，，，，乙組：，，，，，，，，，則下列說法正確的是（）A.甲組數據的第60百分位數是252B.乙組數據的中位數是246C.從甲、乙兩組各隨機選取一個成員，兩人跳遠成績均在250厘米以上的概率為D.甲組中存在這樣的成員，將他調派到乙組后，甲、乙兩組的跳遠平均成績都有提高【答案】BCD【解析】對于選項A，因為，所以甲組數據第60百分位數是第8個數，即253，故A錯誤；對于選項B，因為，所以乙組數據的中位數是第5個數與第6個數的平均數，即，故B正確；對于選項C，甲組中跳遠成績在250厘米以上的有7人，乙組中跳遠成績在250厘米以上的有2人，所以從甲、乙兩組各隨機選取一個成員，兩人跳遠成績均在250厘米以上的概率為，故C正確；對于選項D，甲組的平均成績為厘米，乙組的平均成績為厘米，所以將甲組中跳遠成績為248厘米的成員調派到乙組后，甲、乙兩組的跳遠平均成績都有提高，故D正確.故選：BCD.10.設函數，則（）A.是周期函數 B.的圖象有對稱軸C.在區間上單調遞增 D.的圖象關于點中心對稱【答案】ABD【解析】由題意得，故，定義域為，關于原點對稱；A選項，，是函數的一個周期，故A正確；B選項，，關于，故B正確；C選項，，；，顯然，故在區間上不單調遞增，故C錯誤；D選項，，的圖象關于點中心對稱，D正確．故選：ABD．11.在邊長為的正方體中，動點在棱上，動點在棱上，滿足．以下對運動過程的描述，正確的是（）A.存在，滿足B.存在，使與所成角的余弦值為C.點到平面的距離為定值D.四面體的體積為定值【答案】ABD【解析】以點為原點，，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，，，．因為點在上，故可設點的坐標為；點在上，設點的坐標為，．所以，．因為，所以，得，因此，點坐標為，其中．若，則，故，又，，所以，所以，即存在，滿足，A正確；因為，，所以，若與所成角的余弦值為，則，化簡可得，所以，所以存在，使與所成角的余弦值為，B正確；設平面的法向量為，則，又，，所以，設，則，，所以為平面的一個法向量，又，所以點到平面的距離為，當或時，，當時，，故不定值，C錯誤；四面體，即三棱錐的底面的面積為定值，又平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，故三棱錐的體積恒為定值，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是______.【答案】【解析】設為與夾角，則，因為為銳角，所以，解得，且，所以的取值范圍是．故答案為：.13.已知點M是拋物線上的一點，F為拋物線的焦點，A在圓C:上，則的最小值為__________．【答案】4【解析】拋物線的準線方程為：x=-1過點M作MN⊥準線，垂足為N∵點M是拋物線y2=4x的一點，F為拋物線的焦點∵A在圓C：，圓心C（4，1），半徑r=1∴當N，M，C三點共線時，|MA|+|MF|最小∴=4．14.已知函數，則______．【答案】2783【解析】由知，設，則，對照系數，得，則，即，則，的圖象關于點中心對稱；故．即，故答案為：2783四、解答題：本題共5小題，第15題滿分13分，第16題、第17題滿分15分，第18題、第19題滿分17分，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，梯形中，，過分別作，，垂足分別，，已知，將梯形沿同側折起，得空間幾何體，如圖．1若，證明：平面；2若，，線段上存在一點，滿足與平面所成角的正弦值為，求的長．1證明：由已知得四邊形ABFE是正方形，且邊長為2，在圖2中，，由已知得，，平面又平面BDE，，又，，平面2解：在圖2中，，，，即面DEFC，在梯形DEFC中，過點D作交CF于點M，連接CE，由題意得，，由勾股定理可得，則，，過E作交DC于點G，可知GE，EA，EF兩兩垂直，以E為坐標原點，以分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則，．設平面ACD的一個法向量為，由得,取得，設，則m，，，得設CP與平面ACD所成的角為，．所以16.已知函數.（1）經過點作函數圖象的切線，求切線的方程；（2）設函數，求在上的最小值.解：（1）由于，設切點坐標，則，切線斜率；另一方面，故，此時切點坐標為，所以切線方程為，即.（2）由已知，故.由于，故，由于在單調遞增，同時，，故存在使得，且當時，當時，所以當時，當時，即函數先減后增.故.由于，所以.17.已知雙曲線的離心率為，直線與雙曲線相交于，兩點．（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）若以為直徑的圓過雙曲線的左頂點，試判斷直線是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由；（3）設點是滿足（2）的雙曲線上的一個動點，過分別作的漸近線的兩條垂線，垂足分別為，，判斷的面積是否為定值；若是，求出該定值并證明；若不是，請說明理由．解：（1）由，知，雙曲線的漸近線方程為；（2）由，得，雙曲線的方程為聯立方程組得，設，，則，，則，．因為即，展開得即，即，，或．當時，直線過，不符合題意，舍去；當時，直線過定點．（3）由（1）知雙曲線的兩條漸近線方程為和；設，有，即則，設漸近線的傾斜角為，則，所以的面積,即的面積為定值，定值為．18.無人駕駛被視為推動社會進步和改善生活質量的重要工具，但其安全性和對勞動就業的影響也受到人們的質疑．為了解某大學的學生對無人駕駛的態度，隨機調查了該校120名大學生（男女各60人），調查結果如下表所示：對無人駕駛的態度性別支持中立反對男36186女242115用樣本的頻率分布估計該校每名學生對無人駕駛態度的概率分布，且學生的態度相互獨立．為衡量學生對無人駕駛的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反對者得1分．（1）為判斷性別對無人駕駛的支持態度是否存在關聯，對上面數據重新整理形成下表，請補齊數據，并作出檢驗判斷：能否有的把握認為性別與對無人駕駛的支持態度有關聯？對無人駕駛的態度性別支持不支持男女附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828（2）從抽樣調查的60名男大學生中，按分層抽樣選10名學生進行深度追蹤訪談，求選出的3名男大學生對無人駕駛的支持態度各異的概率；（3）從該校任選名學生，其中得分為5的學生人數為，若，利用下面所給的兩個結論，求正整數的最小值．結論一：若隨機變量，則隨機變量近似服從正態分布；結論二：若隨機變量，則，．解：（1）如表，，，，對無人駕駛的態度支持不支持男3624女2436，有的把握認為性別與對無人駕駛的支持態度有關聯．（2）按分層抽樣從60名男生中選10名，其中支持、中立、反對的人數分別為：6、3、1，故從中選出3人態度各異的概率為；（3）由題可知從該校隨機選一名學生得5分的概率為，易知，設，根據結論一，知．再根據結論二，知．由條件知，所以，解得，所以正整數的最小值為11．19.在人工智能的訓練過程中，數據預處理至關重要．現有一種“數據篩選器”工具，其功能為：對于一個無窮非負正整數數列，通過操作刪去其中除以余數為的所有項，并將剩下的項按原來的位置排好形成一個新的無窮非負正整數數列．設數列的通項公式，，通過“數據篩選器”工具對數列進行操作后得到，設前項和為．（1）求；（2）是否存在不同的正整數，，，使得，，成等差數列？若存在，求出所有的；若不存在，說明理由；（3）若，，對數列進行操作得到，將數列中下標除以4余數為0，1的項刪掉，剩下的項按從小到大排列后得到，再將的每一項都加上自身項數，最終得到，證明：每個大于1的奇平方數都是中相鄰兩項的和．解：（1）由，知：，中除了除以4余2，其余各項除以4余數均不為2，故，，