高級中學名校試題PAGEPAGE1山西省2023-2024學年高二下學期4月期中調研測試數學試卷考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色.黑水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色黑水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.小米汽車首款車型小米SU7于2024年3月28日正式發布，該款車型有9種外觀顏色，4種內搭顏色可供選擇．若車主自由選擇車的外觀和內搭顏色，共有（）種情況A.4 B.9 C.13 D.36【答案】D【解析】第一步：選外觀顏色，有9種選擇；第二步：選內搭，有4種選擇；所以共有種情況．故選：D.2.已知函數，則的值為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】因為，所以，由導數定義可知.故選：D.3.的展開式中二項式系數最大的項為（）A.第二項 B.第三項 C.第四項 D.第五項【答案】C【解析】由的展開式中，項的二項式系數為，根據二項式系數的性質得，當時，，即第四項的二項式系數最大．故選：C.4.已知雙曲線（，）的漸近線方程為，則直線交拋物線所得的弦長為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】因為雙曲線（，）的漸近線方程為，所以，所以，代入拋物線得，，設直線與拋物線的交點為，則，所以，故選：D．5.已知函數，則函數的極值點個數為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】函數，定義域為，，在上恒成立，則函數在上單調遞增，無極值點，極值點個數為0.故選：A.6.某校街舞社共8位同學，為了給高三學子加油鼓勁，編排了一組團體舞蹈，站隊時要求站成兩排四列,且要保證每一列前面的同學身高比后面的同學矮（8名學生身高均不相同），共有（）種站隊方法A.2250 B.2520 C.2790 D.3250【答案】B【解析】將前后2人看成一組，可看成4個不同位置，分別取出2人排在4個位置，兩人順序確定（高在后，矮在前），所以不同的站法共有種.故選：B7.已知函數與偶函數在交點處的切線相同，則函數在處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由函數，可得，所以且，因為函數與偶函數在交點處的切線相同，所以函數與相切于，且，又因為為偶函數，所以，且，所以函數在處的切線方程為，即．故選：D.8.石墨烯是一種由單層碳原子構成的具有平面網狀結構的物質，其結構如圖所示，其中每個六邊形的頂點是一個碳原子的所處位置.現令六邊形為中心六邊形，其外圍緊鄰的每個六邊形構成“第一圓環”，“第一圓環”外圍緊鄰的六邊形構成“第二圓環”，以此類推.則“第七圓環”上的碳原子數為（）A.42 B.120 C.168 D.210【答案】C【解析】記“第n圓環”最外層的碳原子個數為，依題意,,，由此可以歸納出“第二圓環”上的碳原子個數為,“第三圓環”上的碳原子個數為,由此可得“第n圓環”上的碳原子個數為,所以“第七圓環”的碳原子個數為故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知數列滿足，，下列說法正確的是（）A.B.C.令，，則D.令，，則【答案】AD【解析】由，，可得，，，，故A正確，B錯誤；所以數列為周期數列，周期為4，對于C，，，因為，所以不平行，故C錯誤；對于D，，，因為，所以，故D正確.故選：AD.10.某高中打算組織一個校園足球隊，計劃從各班挑選11個同學.下列說法正確的是（）A.若將校足球隊的11個名額分到8個班級，每個班級至少1個名額，共有240種分配方法B.學校教練計劃比賽前將除指定的守門員外的其他10名隊員，進行分組訓練.若其中一組4人，另外兩組每組3人，有2100種不同的分組方式C.比賽人場式時工作人員會為11名隊員拍集體照，若要求拍照時A、、三人必須相鄰，、、、四人均不相鄰，有259200種不同的排法D.現安排A、、三名同學到甲、乙、丙、丁四個球隊進行集訓，若甲球隊必須有同學去，則不同的安排方法有37種【答案】BCD【解析】對于選項A：將校足球隊的11個名額分到8個班級，每個班級至少1個名額，問題等價于將11個完全相同的小球分為8組，每組至少一個小球，由隔板法可知，不同的分配方法種數為種，故A錯誤；對于選項B：將除指定的守門員外的其他10名隊員，進行分組訓練，若其中一組4人，另外兩組每組3人，則不同的方法種數為種，故B正確；對于選項C：將A、、三人進行捆綁，與除、、、四人以外的4人進行全排，再將、、、四人進行插空，所以不同的排法種數為種，故C正確；對于選項D：采用間接法：所有選法是種，甲球隊沒有同學去有種，故甲球隊必須有同學去有種，故D正確；故選：BCD11.已知函數，，下列說法正確的是（）A.函數存在唯一極值點，且B.令，則函數存在唯一零點C.若恒成立，則D.若，，則【答案】AD【解析】A選項，函數，定義域為0,+∞，，在0,+∞上單調遞增，，，所以，使得，滿足，即.當時，；當時，，在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數存在唯一極值點，且，A選項正確；B選項，由A選項可知，，即恒大于0，函數，定義域為0,+∞，，令，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；得，則在0,+∞上恒成立，即在0,+∞單調遞增，，令，，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；則，所以恒大于0，故無零點，故B選項錯誤；C選項，若恒成立，則，即恒成立，由，有，故存在滿足題意，故C選項錯誤；D選項，函數在0,+∞單調遞增，，，則，有，即，得，有，所以，故D選項正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓：，則圓心到直線：的最大距離為______.【答案】5【解析】圓：的圓心為，半徑，直線：，即，令，解得，所以直線過定點，則圓心到直線的最大距離為.故答案為：13.如圖是我國古代著名數學家楊輝在《詳析九章算術》給出的一個用數排列起來的三角形陣，請通過觀察圖象發現遞推規律，并計算從第三行到第十五行中，每行的第三位數字的總和為______.【答案】【解析】第三行的第三位數字是，第四行的第三位數字是，第五行的第三位數字是，，第十五行的第三位數字是，由，則.故答案為：.14.已知函數，若函數在存在單調增區間，則實數的范圍為______.【答案】【解析】由題可知，則f'x>0在即有解，所以在內有解，，則.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知在的展開式中，第三項與第二項的系數之比為21:4.（1）求的值；（2）求展開式中所有的有理項.解：（1）根據題意，第二項為，第三項為，所以，解得.（2）展開式中，其中.當時，展開式為有理項：；；；；，即展開式中所有的有理項為.16.已知數列滿足，且.（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，記數列的前項和為，求證：.解：（1）由題可得，則，…，，，將這項相加，可得，所以，經檢驗成立，所以.（2）由題可得，，當時，，又因為當時，，所以.17.已知焦點在軸上的橢圓的右焦點為，右頂點為，上頂點為，坐標原點為.，，三點滿足，且為橢圓與圓：的一個切點．（1）求橢圓的方程；（2）設為過的直線，與圓交于兩點，求的取值范圍．解：（1）設：（），因為為上頂點且為與圓：的切點，所以，令，因為，所以，所以，即：．（2）因為，所以，1°當斜率存在時，設：，所以到的距離，則，所以，2°當斜率不存在時，，，綜上，的取值范圍為．18.已知函數（）的兩個零點為，且.（1）求實數的取值范圍；（2）若恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）由得，兩邊同時取對數整理得：，設，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，當時，當時，函數的圖象如下圖所示：所以，即，所以.（2）由，得，，設，則有，即，，由得，即，設（），則，設，則，設，則，當，，單調遞增，當，，單調遞減，且，，所以存在唯一的，使得，當，，單調遞增，當，，單調遞減，且h1=0，，所以φx在單調遞增，在單調遞減，所以，所以，所以的取值范圍是.19.定義：對一個棱錐的各個頂點染色，若每一條棱的兩個端點均不同色，則稱之為“多彩棱錐”.若用（）種顏色給某（）棱錐染色，出現“多彩棱錐”的數量記作.（1）當，時，試求值；（2）當，時，試求的值；（3）結合前兩問的解題思路，對任意的正整數（）（），請寫出的運算公式，并證明.解：（1）題目等同于“用六種不同的顏色給一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩個端點異色”，設頂點為，底面4點為，，，.首先對頂點進行涂色，共有6種選擇；第二步，對點進行涂色，共有5種涂色方法；第三步，需要對是否同色進行分類：若同色，則共有種情況；若不同色，則共有種情況；因此，種情況.（2）題目等同于“用六種不同的顏色給一個五棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩個端點異色”，設頂點為，底面五點為，，，，.首先對頂點進行涂色，共有6種選擇；此時五點共有五種不同顏色可供選擇.故問題轉化為如圖，，，，五個區域，有5種不同的顏色可用，要求相鄰區域不能涂同一種顏色，即5色5區域的環狀涂色問題.若按照，，，，的順序分步涂色，暫不考慮同色的情況，則共有種情況；其中包含了同色.當同色時，相當于（1）中四個點的涂色問題，即有1560種；因此，.（3）題目等同于“用種不同顏色給一個棱錐的每個頂點染上一種顏色