試題PAGE1試題2022年廣東省廣州市花都區中考數學模擬試卷（1）一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1.絕對值小于3的整數有（）A.2個 B.3個 C.5個 D.6個【1題答案】【答案】C【解析】【分析】求絕對值小于3的整數，即求絕對值等于0，1，2的整數，可以結合數軸，得出到原點的距離等于0，1，2的整數．【詳解】解：根據絕對值的定義，則絕對值小于3的整數是0，±1，±2．符合要求的一共有5個，故選：C．【點睛】本題考查的是絕對值的性質，解答此題的關鍵是掌握絕對值的意義．2.下列交通標志，不是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【2題答案】【答案】C【解析】【分析】根據軸對稱圖形的意義：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸；依次進行判斷即可．【詳解】根據軸對稱圖形的意義可知：A選項：是軸對稱圖形；B選項：是軸對稱圖形；C選項：不是軸對稱圖形；D選項：是軸對稱圖形；故選：C．【點睛】考查了軸對稱圖形的意義，解題關鍵利用了：判斷軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，看圖形對折后兩部分是否完全重合．3.一組數據﹣3，3，﹣2，3，1的中位數是（）A.﹣3 B.﹣2 C.1 D.3【3題答案】【答案】C【解析】【分析】根據中位數的定義直接解答即可.【詳解】解：把這些數從小到大排列為：﹣3，﹣2，1，3，3，最中間的數是1，則中位數是1；故選：C．【點睛】本題考查了中位數，將一組數據從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數（或最中間兩個數的平均數）叫做這組數據的中位數；如果中位數的概念掌握得不好，不把數據按要求重新排列，就會出錯．4.下列計算中正確的是（）A.a2+a3＝a5 B.4a4÷a＝3a4 C.a2?a4＝a8 D.（a2）3＝a6【4題答案】【答案】D【解析】【分析】利用其合并同類項法則、單項式除以單項式計算法則、同底數冪的乘法運算法則、冪的乘方的法則進行計算即可得到答案．【詳解】解：A、a2和a3不是同類項，不能合并，所以原題計算錯誤，故不符合題意；B、4a4÷a＝4a3，故原題計算錯誤，故不符合題意；C、a2?a4＝a6，故原題計算錯誤，故不符合題意；D、（a2）3＝a6，故原題計算正確，故符合題意；故選：D．【點睛】此題主要考查了整式的除法、以及冪的乘方、同底數冪的乘法、合并同類項，解題的關鍵是熟練掌握各計算法則．5.A，B兩個點的坐標分別為（3，4），（﹣5，1），以原點O為圓心，5為半徑作⊙O，則下列說法正確的是（）A.點A，點B都在⊙O上 B.點A在⊙O上，點B在⊙O外C.點A在⊙O內，點B在⊙O上 D.點A，點B都在⊙O外【5題答案】【答案】B【解析】【分析】根據勾股定理，可得OA、OB的長，根據點與圓心的距離d，則d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上；當d＜r時，點在圓內．【詳解】解：∵OA＝＝5，OB＝＝＞5，∴點A在⊙O上，點B在⊙O外．故選：B．【點睛】本題主要考查了對點與圓位置關系的判斷．關鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上，當d＜r時，點在圓內．6.如圖，是河堤橫斷面的迎水坡，堤高，水平距離，則斜坡的坡度為（）A. B.C. D.【6題答案】【答案】A【解析】【分析】在中，根據坡度的定義知道斜坡的坡度，然后根據已知條件即可確定斜坡的坡度．【詳解】解：在中，斜坡的坡度，而堤高，水平距離，斜坡的坡度是：．故選：．【點睛】此題主要考查了解直角三角形應用坡度的問題，解題的關鍵是根據題意正確畫出圖形，理解坡度的定義即坡角的正切值．7.如圖，在中，是的中點，則下列結論不一定正確的是（）A. B. C. D.【7題答案】【答案】C【解析】【分析】根據矩形性質的推論：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，即可判斷．【詳解】解：根據題意，∵直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，即CD=BD=AD，A正確；又∵CD=AD，∴，B正確；∵∠B+∠A=90，而，∴，D正確；而C選項并不能夠判斷．故選C．【點睛】本題考查矩形性質的推論，屬于課本上的基本定理，熟練掌握此推論是解題的關鍵．8.拋物線y＝﹣x2+2x+m+1（m為常數）交y軸于點A，與x軸的一個交點在2和3之間，頂點為B．有下列結論：①關于x的方程﹣x2+2x+m+1（m為常數）＝0有兩個不相等的實數根；②﹣1＜m＜2；③將該拋物線向左平移2個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線解析式為y＝﹣（x+1）2+m；④點A關于直線x＝1的對稱點為C，點D、E分別在x軸和y軸上，當m＝1時，四邊形BCDE周長的最小值為．其中正確的個數是（）A.1 B.2 C.3 D.4【8題答案】【答案】D【解析】【分析】根據二次函數的圖象與性質、二次函數與坐標軸的交點、平移的性質、求線段和的最小值等知識依次對各結論進行分析求解．【詳解】解：①∵y＝﹣x2+2x+m+1，∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝＝1，∵拋物線與x軸的一個交點在2和3之間，頂點為B．∴拋物線與x軸有兩個交點，∴關于x的方程﹣x2+2x+m+1（m為常數）＝0有兩個不相等的實數根，故①正確；②∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝1，拋物線與x軸的一個交點在2和3之間，∴，解得：﹣1＜m＜2，故②正確；③將該拋物線向左平移2個單位，再向下平移2個單位，拋物線的解析式為：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故③正確；④當m＝1時，拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），如圖，作點B關于y軸的對稱點（﹣1，3），作C關于x軸的對稱點（2，﹣2），連接，與x軸、y軸分別交于D、E點，則BE+ED+CD+BC＝+ED++BC，根據兩點之間線段最短，知最短，而BC的長度一定，此時四邊形BCDE的周長最小，最小為，故④正確．故選：D．【點睛】本題主要考查二次函數的圖象與性質、二次函數與坐標軸的交點，二次函數函數圖象與幾何變換，二次函數圖象上點的坐標特征，軸對稱－最短路線問題，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．9.已知△ABC為等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC為方程x2﹣8x+m＝0兩根，則m的值等于（）A.12 B.16 C.﹣12或﹣16 D.12或16【9題答案】【答案】D【解析】【分析】由△ABC為等腰三角形，BC＝6，且AB，AC為方程x2﹣8x+m＝0兩根，可得兩種情況：①BC＝6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0②AB＝AC，此時方程的判別式為0，分別求解即可．【詳解】解：∵△ABC為等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC為方程x2﹣8x+m＝0兩根，則①BC＝6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0，∴m＝12；②AB＝AC，此時方程的判別式為0，∴Δ＝64﹣4m＝0，∴m＝16．故m的值等于12或16．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的判別式和等腰三角形的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．10.如圖在平面直角坐標系中，將△ABO繞點A順時針旋轉到△AB1C1的位置，點B、O分別落在點B1、C1處，點B1在x軸上，再將△AB1C1繞點B1順時針旋轉到△A1B1C2的位置，點C2在x軸上，將△A1B1C2繞點C2順時針旋轉到△A2B2C2的位置，點A2在x軸上，依次進行下去…若點A（，0），B（0，2），則點B2018的坐標為（）A.（6048，0） B.（6054，0） C.（6048，2） D.（6054，2）【10題答案】【答案】D【解析】【分析】首先根據已知求出三角形三邊長度，然后通過旋轉發現，B、B2、B4…每偶數之間的B相差6個單位長度，根據這個規律可以求得B2018的坐標．【詳解】∵A（，0），B（0，2），∴OA＝，OB＝2，∴Rt△AOB中，AB＝，∴OA+AB1+B1C2＝+2+＝6，∴B2的橫坐標為：6，且B2C2＝2，即B2（6，2），∴B4的橫坐標為：2×6＝12，∴點B2018的橫坐標為：2018÷2×6＝6054，點B2018的縱坐標為：2，即B2018的坐標是（6054，2）．故選D．【點睛】此題考查了點的坐標規律變換以及勾股定理的運用，通過圖形旋轉，找到所有B點之間的關系是解決本題的關鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11.在中，如果，根據三角形按角進行分類，這個三角形是______三角形．______度．【11題答案】【答案】①.直角三角形②.．【解析】【分析】根據內角和定理求解的度數，再進行判斷即可．【詳解】解：設三角分別是，，．則，解．所以三角分別是，，．故這個三角形直角三角形，．故答案為：直角三角形，．【點睛】本題考查的是三角形的內角和定理，三角形的分類，掌握以上知識是解題的關鍵．12.x2﹣4y2＝（x+_____）（x﹣_____）【12題答案】【答案】①.2y②.2y【解析】【分析】根據平方差公式進行因式分解即可．【詳解】解：．故答案為：2y，2y【點睛】此題考查了平方差公式進行因式分解，解題的關鍵是掌握平方差公式．13如圖，圓錐的底面圓的半徑是3，其母線長是9，則圓錐側面展開圖的扇形的圓心角度數是_____°．【13題答案】【答案】120【解析】【分析】根據扇形的弧長公式求解即可．詳解】解：由題意知，圓錐底面周長為，∴圓錐側面展開圖的扇形的弧長為∵解得∴扇形的圓心角的度數為120°．故答案為：120．【點睛】本題考查了扇形的弧長公式．解題的關鍵在于找出弧長，半徑的值．14.若一次函數y＝kx+2的圖象，y隨x的增大而增大，并與x軸、y軸所圍成的三角形的面積為2，則k＝_____．【14題答案】【答案】1【解析】【分析】如圖，根據題意可求出OA．根據一次函數y＝kx+2的圖象，y隨x增大而增大，即可利用k表示出OB的長，再根據三角形面積公式，即可求出k的值．【詳解】解：如圖，

令x=0，則y=2，∴A(0，2),∴OA=2．令y=0，則，∴B(，0)．∵一次函數y＝kx+2的圖象，y隨x增大而增大，∴k＞0，∴OB=，∵一次函數y＝kx+2的圖象與兩坐標軸圍成的三角形面積為2，∴，即，解得：．故答案為：1．【點睛】本題考查一次函數的圖象和性質．熟練掌握其圖象和性質是解題關鍵．15.三角形三邊的長是2、5、m，則＝___．【15題答案】【答案】4【解析】【分析】直接利用三角形三邊關系得出m的取值范圍，再利用二次根式的性質化簡得出答案．【詳解】解：∵2、5、m是某三角形三邊的長，∴5-2＜m＜5+2，故3＜m＜7，∴=m-3+7-m=4．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了三角形三邊關系以及二次根式的化簡，正確化簡二次根式是解題關鍵．16.如圖，以平行四邊形ABCO的頂點O為原點，邊OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，頂點C的坐標是（2，0），tan∠AOC＝2，過點A的反比例函數的圖象過BC邊的中點D，則k的值是_____．【16題答案】【答案】【解析】【分析】作AM⊥x軸于M，DN⊥x軸于N，設A（a，2a），解直角三角形表示出A、D的坐標，根據反比例函數圖象上點的坐標特征得到k＝a?2a＝（2+）?a，解得a＝，進而即可求得k的值．【詳解】解：∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴OA∥BC，OA＝BC，∴∠DCN＝∠AOC，作AM⊥x軸于M，DN⊥x軸于N，∵tan∠AOC＝2，∴＝2，＝2，∴設A（a，2a），∴OM＝a，AM＝2a，，∵D是BC的中點，，∴DN＝a，CN＝a，∵頂點C的坐標是（2，0），∴ON＝2+a，∴D（2+，a），∴a?2a＝（2+）?a，解得a＝或a＝0（舍去），∴k＝a?2a＝，故答案為．【點睛】此題是反比例函數綜合題，主要考查了待定系數法，平行四邊形的性質以及解直角三角形，解本題的關鍵是求出a的值．三．解答題（共9小題，滿分72分）17.解方程組：（1）；（2）．【17題答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先把分母3去掉，再運用加減消元法求解即可；（2）直接運用加減消元法解方程組即可．【小問1詳解】解：原方程組可變為，，①+②得，7x＝7，解得x＝1，將x＝1代入方程①得，y＝2﹣1＝1，所以原方程組的解為；【小問2詳解】解：，①×2﹣①得，3y＝15，解得y＝5，把y＝5代入①得，2x﹣5＝﹣4，解得x＝，所以原方程組的解為．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法，掌握加減消元和代入消元解方程組是解題的關鍵．19.如圖，在菱形ABCD中，BE⊥CD于點E，DF⊥BC于點F．（1）求證：BE＝DF；（2）若∠A＝45°，求的值．【19題答案】【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）由“AAS”可證，可得BE＝DF；（2）由等腰直角三角形的性質可得BC＝EC＝DC，可求DE的長，即可求解．小問1詳解】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝CD，在△BCE和△DCF中，，∴，∴BE＝DF；【小問2詳解】∵∠A＝45°＝∠C，BE⊥CD，∴∠C＝∠EBC＝45°，∴BE＝EC，∴BC＝EC＝DC，∴DE＝EC﹣EC，∴【點睛】本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵．21.先化簡，再求值：（+x﹣1）÷，其中x滿足x2﹣x﹣5＝0．【21題答案】【答案】﹣2x2+2x﹣1，﹣11【解析】【分析】首先計算括號內的式子，然后把除法轉化成乘法運算計算乘法，最后把x2﹣x﹣5＝0變形代入計算即可．【詳解】解：原式＝﹣?（x﹣1）＝﹣2x2+2x﹣1＝﹣2（x2﹣x）﹣1，由x2﹣x﹣5＝0，得到x2﹣x＝5，則原式＝﹣10﹣1＝﹣11．【點睛】本題考查了分式的混合運算，正確進行分式的通分、約分是關鍵．22.如圖，有大小質地相同僅顏色不同的兩雙拖鞋（分左、右腳）共四只，放置于地板上（分別用A1，A2，B1，B2表示）．（1）若已經拿到左腳拖鞋A1，再從兩只右腳拖鞋中隨機取一只，則恰好匹配成雙相同顏色的拖鞋的概率是．（2）若從這四只拖鞋中隨機取出兩只，利用畫樹狀圖或列表的方法求恰好取出一雙相同顏色的拖鞋的概率．【22題答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有12種不同的情況，其中恰好匹配的有4種，再由概率公式求解即可．【小問1詳解】解：∵已經拿到左腳拖鞋A1，再從兩只右腳拖鞋中隨機取一只，有A1A2，A1B2二種情況，恰好匹配成雙相同顏色的拖鞋的有A1A2一種情況，∴恰好匹配成雙相同顏色的拖鞋的概率為：，故答案為：；【小問2詳解】解：畫樹形圖如下：共有12種不同的情況，其中恰好匹配的有4種，分別是A1A2，A2A1，B1B2，B2B1，∴恰好取出一雙相同顏色的拖鞋的概率為：．【點睛】本題考查的是列表法與樹狀圖法求概率，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．24.某醫療器械生產廠家接到A型口罩40萬只和B型口罩45萬只的訂單，該工廠有甲、乙兩個車間，甲車間生產A型口罩，乙車間生產B型口罩，己知乙車間每天生產的口罩數量比甲車間每天生產的口罩數量多80%，結果乙車間比甲車間提前3天完成訂單任務．求甲車間每天生產A型口罩多少萬只?【24題答案】【答案】甲車間每天生產A型口罩5萬只．【解析】【分析】設甲車間每天生產A型口罩x萬只，則乙車間每天生產B型口罩（1＋80%）x萬只，根據工作時間＝工作總量÷工作效率，結合乙車間比甲車間提前3天完成訂單任務，即可得出關于x的分式方程，解之，經檢驗后即可得出結論．【詳解】設甲車間每天生產A型口罩x萬只．根據題意，得解這個方程得:x=5經檢驗，x=5是原方程的解，且符合題意答：甲車間每天生產A型口罩5萬只．【點睛】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．25.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，直角頂點B位于x軸的負半軸，點A（0，﹣2），斜邊AC交x軸于點D，且D（1，0），BC與y軸交于點E，y軸平分∠BAC，反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過點C．（1）直接寫出點B的坐標；（2）求y＝（x＞0）的函數表達式．【25題答案】【答案】（1）（﹣1，0）（2）y＝【解析】【分析】（1）根據已知條件得到OD

=

1，根據角平分線的定義得到∠BAO=∠DAO，根據全等三角形的性質即可得到結論；（2）過C作CH⊥x軸于H，得到∠CHD

=

90°，根據余角的性質得到∠DCH

=∠CBH，根據三角函數的定義得到＝＝，設DH＝x，則CH＝2x，BH＝4x，列方程即可得到結論．【小問1詳解】∵點A（0，﹣2），∴OA＝2，∵D（1，0），∴OD＝1，∵y軸平分∠BAC，∴∠BAO＝∠DAO，∵∠AOD＝∠AOB＝90°，AO＝AO，∴△AOB≌△AOD（ASA），∴OB＝OD＝1，∴點B坐標為（﹣1，0）；【小問2詳解】過C作CH⊥x軸于H，∴∠CHD＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBO＝∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠DAO＝∠CBD，∵∠ADO＝∠CDH，∴∠DCH＝∠DAO，∴∠DCH＝∠CBH，∴tan∠CBH＝tan∠DCH＝，∴＝＝，設DH＝x，則CH＝2x，BH＝4x，∴2+x＝4x，∴x＝，∴OH＝，CH＝，∴C（，），∴k＝×＝，∴y＝（x＞0）的函數表達式為y＝．【點睛】本題考查了待定系數法求函數的解析式，全等三角形的判定和性質，解直角三角形，正確的識別圖形是解題的關鍵．27.邊長為4的正方形ABCD中，EM是BC邊的垂直平分線，連接AE，⊙O經過A，D兩點且與BC邊相切于點E，動點P在射線BC上且在點C的右側，動點Q位于直線BC的上方，連接PQ．（1）請用無刻度直尺和圓規在圖1中作出⊙O并直接寫出⊙O的半徑r＝_____；（不寫作法，保留痕跡）（2）設OE交BQ于點F，若PQ＝CP＝5a，△PCQ的面積為10a2，求的值（用含a的代數式表示），并直接寫出a的最大值．【27題答案】【答案】（1）（2），a取最大值為【解析】【分析】（1）AE的垂直平分線，交ME于O點，再利用垂徑定理求半徑；（2）作QG⊥CP于G，由切線的性質得OE//QG，則△BEF∽△BGQ，通過相似建立線段之間的關系，從而求得答案．【小問1詳解】解：如圖，作AE的垂直平分線，交ME于O點，∵OA＝OE，∴OM＝4﹣r，在Rt△AOM中，由勾股定理得：22+（4﹣r）2＝r2，解得r＝，故答案為：；【小問2詳解】解：作QG⊥CP于G，∵△PCQ的面積為10a2，∴×5a×QG＝10a2，∴QG＝4a，在Rt△PQG中，由勾股定理得PG＝3a，∴CG＝2a，∵OE⊥BC，∴OE∥QG，∴△BEF∽△BGQ，∴，∴，解得：，∴，∴，當OF＝0時，a取最大值為，即，a取最大值為．【點睛】本題考查了圓與正方形的綜合問題，利用垂徑定理求圓的半徑，利用相似三角形建立線段之間的關系，作輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．29.數學來源于生活，數學之美無處不在，在幾何圖形中，最美的角是45°，最美的直角三角形是等腰直角三角形，我們把45°的角稱為一中美角，最美的等腰直角三角形稱為一中美三角．根據該約定，完成下列問題：（1）如圖1，已知正方形ABCD中O是對角線AC上一動點，過O作OP⊥OD，垂足為O，交BC邊于P，△POD是否為一中美三角，并說明理由；（2）如圖2，在平面直角坐標系中，點A（﹣2，0），點B（0，2），點P在第二象限內，且在直線y＝﹣2x﹣2上，若△ABP恰好構成一中美三角，求出此時P點的坐標；（3）如圖3，若二次函數y＝﹣x2+2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，P為第二象限上的點，在直線AC上，且∠OPB恰好構成一中美角；Q為x軸上方拋物線上的一動點，令Q點橫坐標為m（0＜m＜3），當m為何值時，△PBQ的面積最大，求出此時Q點坐標和最大面積．【29題答案】【答案】（1）△POD為一中美三角，理由見解析（2）P（﹣2，2）（3）m＝時，S△PBQ有最大值為，此時Q（，）．【解析】【分析】（1）過O作EF⊥BC于F，交AD于E，證明可得OD＝OP，從而△POD是等腰直角三角形，即△POD為一中美三角；（2）設P（m，-2m-2），AP2=（m+2）2+（-2m-2）2=5m2+12m+8，BP2=m2+（-2m-2-2）2=5m2+16m+16，AB2=（-2-0）2+（0-2）2=8，△ABP構成一中美三角，即等腰直角三角形，分三種情況討論：①若AP、BP為腰，5m2+12m+8=5m2+16m+16且5m2+12m+8+5m2+16m+16=8，②若AP、AB為腰，5m2+12m+8=8且5m2+12m+8+8=5m2+16m+16，③若BP、AB為腰，則5m2+16m+16=8且5m2+16m+16+8=5m2+12m+8，分別解方程即可得答案；

（3）連接BC，作BC中點D，連接DP，過Q作QM∥y軸交BP于M，由∠OPB=∠BCO知P、B、C、O共圓，即P在△BOC的外接圓上，根據PD=BC=，P（t，3t+3），可列（t﹣）2+（3t+3﹣）2＝（）2得P（﹣，），從而可得直線BP為y=-x+1，由Q（m，-m2+2m+3），M（m，-m+1），有QM=-m2+m+2，故S△PBQ=﹣（m﹣）2+，即可得m=時，S△PBQ有最大值為，Q（，）．【小問1詳解】解：△POD為一中美三角，理由如下：過O作EF⊥BC于F，交AD于E，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，EF⊥BC，∴∠ACB＝45°，四邊形EFCD是矩形，∴△OFC是等腰直角三角形，ED＝FC，∴OF＝FC，∴OF＝ED，∵OP⊥OD，∴∠2＝90°﹣∠3＝∠1，在△DEO和△OFP中，，∴△DEO≌△OFP（ASA），∴OD＝OP，又∠DOP＝90°，∴△POD是等腰直角三角形，即△POD為一中美三角；【小問2詳解】設P（m，﹣2m﹣2），∵點A（﹣2，0），點B（0，2），∴AP2＝（m+2）2+（﹣2m﹣2）2＝5m2+12m+8，BP2＝m2+（﹣2m﹣2﹣2）2＝5m2+16m+16，AB2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣2）2＝8，△ABP構成一中美三角，即等腰直角三角形，如圖：0①若AP、BP為腰，則需滿足：AP＝BP且AP2+BP2＝AB2，∴5m2+12m+8＝5m2+16m+16且5m2+12m+8+5m2+16m+16＝8，解得m＝﹣2，∴P（﹣2，2）；②若AP、AB為腰，同理可得：5m2+12m+8＝8且5m2+12m+8+8＝5m2+16m+16，滿足兩個方程的m＝0，此時不存在P，使△ABP構成一中美三角；③若BP、AB為腰，則5m2+16m+16＝8且5m2+16m+16+8＝5m2+12m+8，沒有m能同時滿足兩個方程，故此時不存在P，使△ABP構成一中美三角；綜上所述，△ABP構成一中美三角，則P（﹣2，2）；【小問3詳解】連接BC，作BC中點D，連接DP，過Q作QM∥y軸交BP于M，如圖：∵y＝﹣x2+2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC，BC＝3，D（，），∴∠BCO＝45°，∵∠OPB恰好構成一中美角，即∠OPB＝45°，∴∠OPB＝∠BCO，∴P、B、C、O共圓，即P在△BOC的外接圓上，∵∠BOC＝90°，∴D為△BOC的外接圓圓心，∴PD＝BC＝，設直線AC為y＝kx+b，則，解得，∴直線AC為y＝3x+3，設P（t，3t+3），∴（t﹣）2+（3t+3﹣）2＝（）2，解得t＝﹣或t＝0（舍去），∴P（﹣，），設直線BP為y＝sx+r，則，解得，∴直線BP為y＝﹣x+1，∵Q點橫坐標為m，∴Q（m，﹣m2+2m+3），M（m，﹣m+1），∴QM＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+1）＝﹣m2+m+2，∴S△PBQ＝QM?（xB﹣xP）＝（﹣m2+m+2）×（3+）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴m＝時，S△PBQ有最大值為，此時Q（，）．【點睛】本題考查二次函數綜合應用，涉及新定義、等腰直角三角形的判定與性質、一次函數及二次函數圖象上點坐標特征、四點共圓、三角形面積等知識，綜合性強，解題的關鍵是用含字母的代數式表示相關的點坐標、線段長度及三角形面積．31.如圖，⊙O的弦AC與BD互相垂直于點E，OA交ED于點F．

（1）如圖（1），求證：∠BAC＝∠OAD；（2）如圖（2），當AC＝CD時，求證：AB＝BF；（3）如圖（3），在（2）的條件下，點P，Q在CD上，點P為CQ中點，∠POQ＝∠OFD，DF＝EC，DQ＝6，求AB的長．【31題答案】【答案】（1）見解析（2）見解析（3）8【解析】【分析】（1）延長AO交⊙O于M，連接DM，利用圓周角的性質求解即可；（2）通過證明△ABF∽△ACD，利用相似三角形的性質即可求證；（3）連接OC、OD，在線CA上取Q1，使得CQ1＝DQ＝6，連接QQ1，OQ1，線段QQ1和線段O交于點P1，再過圓心O作OO1⊥AC于點O1，利用相似三角形的判定與性質以及勾股定理求