第19課平面向量基本定理及坐標表示普查與練習19平面向量基本定理及坐標表示1．平面向量基本定理及其應用a．基底的判斷(1)(2023匯編，5分)下面幾種說法中，正確的是__②⑤__．(填序號)①一個平面內只有一對不共線向量可作為表示該平面內所有向量的基底；②零向量不可以作為基底中的向量；③a＝λe1＋μe2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ，μ∈R))可以表示平面內的所有向量；④若e1，e2是平面α內不共線的兩個向量，則e1－2e2與4e2－2e1可作為表示平面α內所有向量的一組基底；⑤e1，e2是平面內不共線的兩個向量，若λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0；⑥同一向量在不同基底下的表示是相同的；⑦若e1，e2是平面α內不共線的兩個向量，則對于平面α內的任意向量a，使a＝λe1＋μe2成立的實數對eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ，μ))有無窮多個．解析：①錯誤：只要是不共線的一對向量就可以作為表示該平面內所有向量的基底，基底的選取并不是唯一的；②正確：零向量和任何向量都共線，與基底的定義不符；③錯誤：根據平面向量基本定理可知，e1，e2必須是不共線向量；④錯誤：因為e1－2e2＝－eq\f(1,2)(4e2－2e1)，所以向量e1－2e2，4e2－2e1是共線向量，不能作為表示平面α內所有向量的一組基底；⑤正確：因為e1，e2為一組不共線向量，若λe1＋μe2＝0,即λe1＝－μe2，只有當λ＝μ＝0時，才能成立；⑥錯誤：基底不同，向量的表示也不同，當基底確定后，向量的表示才是唯一的；⑦錯誤：根據平面向量基本定理可知，實數對(λ，μ)應該只有唯一一對．b．用已知基底表示向量(2)(2021廣東中山月考，5分)我國東漢末數學家趙爽在《周髀算經》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BA,\s\up6(→))＝b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝3eq\o(EF,\s\up6(→))，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝(B)A.eq\f(12,25)a＋eq\f(9,25)bB.eq\f(16,25)a＋eq\f(12,25)bC.eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)bD.eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)b解析：根據題意知eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)\o(BF,\s\up6(→))＋\o(BA,\s\up6(→))))，即eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)\o(BF,\s\up6(→))＋\o(BA,\s\up6(→))))，解得eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(16,25)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(12,25)eq\o(BA,\s\up6(→))，即eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(16,25)a＋eq\f(12,25)b.故選B.(3)(2021廣州大學附屬中學月考，5分)如圖所示的△ABC中，點D是線段AC上靠近A的三等分點，點E是線段AB的中點，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝(B)A．－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))B．－eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))C．－eq\f(5,6)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))D．－eq\f(5,6)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))解析：(法一)依題意知eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)).故選B.(法二)依題意知eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DC＋,\s\up6(→))eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(BC－,\s\up6(→))eq\o(BA,\s\up6(→)))－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)).故選B.c．選擇合適的基底表示向量(4)(2020河南鄭州期中，5分)如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝yeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(xy,x＋y)的值為__eq\f(1,3)__．解析：∵M，G，N三點共線，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(AN,\s\up6(→)).又∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝yeq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝mxeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－m)yeq\o(AC,\s\up6(→)).∵G是△ABC的重心，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．又∵eq\o(AG,\s\up6(→))＝mxeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－m)yeq\o(AC,\s\up6(→))，∴根據平面向量基本定理，得mx＝(1－m)y＝eq\f(1,3)，易知m≠0，1，∴x＝eq\f(1,3m)，y＝eq\f(1,3（1－m）)，∴eq\f(xy,x＋y)＝eq\f(\f(1,3m)·\f(1,3（1－m）),\f(1,3m)＋\f(1,3（1－m）))＝eq\f(\f(1,9m（1－m）),\f(3（1－m）＋3m,9m（1－m）))＝eq\f(1,3).2．平面向量的坐標運算a．向量坐標的求法(5)(2023匯編，16分)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－2b.(Ⅰ)求3a＋b－3c；答案：(6，－42)解：由已知得a＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－1)－(－2，4)＝(5，－5)，b＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3，－4)－(3，－1)＝(－6，－3)，c＝eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)．(3分)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(5分)(Ⅱ)求滿足a＝mb＋nc的實數m，n；答案：m＝－1，n＝－1解：∵a＝mb＋nc，∴(5，－5)＝m(－6，－3)＋n(1，8)＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(8分)(Ⅲ)求與向量eq\o(MN,\s\up6(→))共線的單位向量；答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))解：∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝3c＝(3，24)，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－2b＝(12，6)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))＝(9，－18)，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(MN,\s\up6(→))))＝eq\r(92＋（－18）2)＝9eq\r(5).∴與向量eq\o(MN,\s\up6(→))共線的單位向量為eq\f(\o(MN,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(MN,\s\up6(→)))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))或－eq\f(\o(MN,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(MN,\s\up6(→)))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5))).(12分)(Ⅳ)在平行四邊形ABPQ中，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(2，－3)，求點Q的坐標．答案：Q(－5，6)解：設Q(s，t)，在平行四邊形ABPQ中，由向量加法的平行四邊形法則得eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→)).又A(－2，4)，B(3，－1)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(2，－3)，∴(2，－3)＝(3＋2，－1－4)＋(s＋2，t－4)＝(s＋7，t－9)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝s＋7，,－3＝t－9，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(s＝－5，,t＝6，))即點Q的坐標為(－5，6)．(16分)b．向量共線的坐標表示及運算(6)(2020北京模擬，4分)設平面向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，則下列結論中正確的是(D)A．(a＋b)∥aB．(a＋b)⊥bC．(a＋b)∥(a－b)D．(a＋b)⊥(a－b)解析：∵a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，∴a＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)，\f(\r(3),2)－\f(1,2)))，a－b＝(－eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2))．根據題意，依次分析選項：對于A，∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)))×eq\f(\r(3),2)≠eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，∴(a＋b)與a不平行，故A錯誤；對于B，∵(a＋b)·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)))×eq\f(\r(3),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))≠0，∴(a＋b)⊥b不成立，故B錯誤；對于C，∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)))≠eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)－\f(1,2)))，∴(a＋b)與(a－b)平行不成立，故C錯誤；對于D，∵a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，∴|a|＝|b|＝1，∴(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，即(a＋b)⊥(a－b)，故D正確．故選D.(7)(2023匯編，10分)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．①若c∥(2a＋b)，則λ＝__eq\f(1,2)__．(2018全國Ⅲ)②設eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，若A，B，C三點共線，則實數λ＝__2__.解析：①2a＋b＝2(1，2)＋(2，－2)＝(4，2)，因為c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以4·λ－1×2＝0，解得λ＝eq\f(1,2).②因為eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(1，λ)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－2)－(1，2)＝(1，－4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，λ)－(1，2)＝(0，λ－2)．因為A，B，C三點共線，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(AC,\s\up6(→))共線，所以λ－2＝0，解得λ＝2.故答案為2.c．數量積的坐標表示及應用(8)(2023匯編，45分)按要求完成下列各題．①a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，則(a＋b)·c＝__0__；a·b＝__3__．(2021北京)②已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，則k＝__－eq\f(10,3)__．(2021全國Ⅰ)③已知向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，則m＝__8__．(2019北京)④設向量a＝(1，0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，則m＝__－1__．(2018北京)⑤已知向量a＝(2，2)，b＝(－8，6)，則cos＝__－eq\f(\r(2),10)__．(2019全國Ⅲ)⑥已知向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m＝__2__．⑦已知向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，則|a－b|＝__eq\r(10)__．⑧已知向量m＝(2λ，－1)，n＝(2，λ－5)，且|m＋2n|＝|m－2n|，則λ＝__－eq\f(5,3)__．⑨已知平面向量a，b，c是單位向量，且a·b＝0，則|c－a－b|的最大值為__eq\r(2)＋1__．解析：①∵a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，∴a·b＝2×2＋1×(－1)＝3，a＋b＝(4，0)，∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0.故答案為0；3.②∵a＝(3，1)，b＝(1，0)，∴c＝a＋kb＝(3＋k，1)．∵a⊥c，∴a·c＝3(3＋k)＋1×1＝0，解得k＝－eq\f(10,3).故答案為－eq\f(10,3).③由向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，a⊥b，知a·b＝－4×6＋3m＝0，解得m＝8.故答案為8.④a＝(1，0)，b＝(－1，m)，則ma－b＝(m＋1，－m)．由a⊥(ma－b)可得a·(ma－b)＝0，則1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，解得m＝－1.故答案為－1.⑤由題意得，a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，|b|＝eq\r(（－8）2＋62)＝10，∴cos＝eq\f(－4,2\r(2)×10)＝－eq\f(\r(2),10).故答案為－eq\f(\r(2),10).⑥由a＝(1，2)，b＝(4，2)，得c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，|a|＝eq\r(5)，|b|＝2eq\r(5)，∴a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.∵c與a的夾角等于c與b的夾角，∴eq\f(c·a,|c||a|)＝eq\f(c·b,|c||b|)，即eq\f(5m＋8,\r(5))＝eq\f(8m＋20,2\r(5))，解得m＝2.故答案為2.⑦由a⊥b得a·b＝x－2＝0，解得x＝2，即a＝(2，1)，∴a－b＝(1，3)，∴|a－b|＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10).故答案為eq\r(10).⑧由題意得m＋2n＝(2λ，－1)＋2(2，λ－5)＝(2λ＋4，2λ－11)，m－2n＝(2λ，－1)－2(2，λ－5)＝(2λ－4，－2λ＋9)．又|m＋2n|＝|m－2n|，即(m＋2n)2＝(m－2n)2，∴8λ2－28λ＋137＝8λ2－52λ＋97，解得λ＝－eq\f(5,3).故答案為－eq\f(5,3).⑨∵a·b＝0，∴a⊥b.∵平面向量a，b是單位向量，∴不妨取a＝(1，0)，b＝(0，1)．設c＝(x，y)，∴c－a－b＝(x－1，y－1)，∴|c－a－b|＝eq\r(（x－1）2＋（y－1）2)，表示點(x，y)與點A(1，1)間的距離．∵|c|＝1，∴c的終點(x，y)為單位圓上任意一點．如圖，由圖可得，當(x，y)位于圖中B點時，點B與點A間的距離最大，且為eq\r(2)＋1，∴|c－a－b|的最大值為eq\r(2)＋1.故答案為eq\r(2)＋1.(9)(2020天津，5分)如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)，則實數λ的值為__eq\f(1,6)__，若M，N是線段BC上的動點，且|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝1，則eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))的最小值為__eq\f(13,2)__．解析：以B為原點，以BC所在直線為x軸建立如圖所示的直角坐標系，∵∠B＝60°，AB＝3，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2))).∵BC＝6，∴C(6，0)．∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，∴AD∥BC.設Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(3\r(3),2)))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,2)，0))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,2)))＋0＝－eq\f(3,2)，解得x0＝eq\f(5,2)，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(3\r(3),2)))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1，0)．又eq\o(BC,\s\up6(→))＝(6，0)，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,6).∵|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝1，不妨設M(x，0)，N(x＋1，0)，其中0≤x≤5，∴eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)，－\f(3\r(3),2)))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2)))，∴eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))＋eq\f(27,4)＝x2－4x＋eq\f(21,2)＝(x－2)2＋eq\f(13,2)，∴當x＝2時，eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))取得最小值，最小值為eq\f(13,2).(10)(2021江蘇蘇州模擬，5分)已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，AB∥CD，∠ADC＝90°，若點M在線段AC上，則|eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))|的取值范圍為__eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，2\r(2)))__．解析：如圖，以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系，則A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，C(1，2)．顯然直線AC的方程為y＝2x，所以設M(x，2x)(0≤x≤1)，則eq\o(MB,\s\up6(→))＝(2－x，－2x)，eq\o(MD,\s\up6(→))＝(－x，2－2x)，所以eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))＝(2－2x，2－4x)(0≤x≤1)，所以|eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))|＝eq\r(（2－2x）2＋（2－4x）2)＝2eq\r(5x2－6x＋2)(0≤x≤1)．因為拋物線y＝5x2－6x＋2開口向上，且對稱軸是直線x＝－eq\f(－6,2×5)＝eq\f(3,5)，所以當x＝eq\f(3,5)時，y＝5x2－6x＋2有最小值eq\f(1,5)；當x＝0時，y＝5x2－6x＋2有最大值2，所以當x＝eq\f(3,5)時，|eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))|有最小值eq\f(2\r(5),5)；當x＝0時，|eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))|有最大值2eq\r(2).故|eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))|的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，2\r(2))).3．坐標法在平面向量中的應用a．借助網格線建立平面直角坐標系(11)(2020江蘇南通模擬，5分)已知向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖所示．若a＝λb＋μc(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為__0__．解析：建立如圖所示的平面直角坐標系，設每個小正方形邊長為1，則A(1，3)，B(－3，1)，C(－4，3)，∴c＝(1，3)，b＝(3，－1)，a＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝(－3，1)－(－4，3)＝(1，－2)．∵a＝λb＋μc，∴(1，－2)＝(3λ，－λ)＋(μ，3μ)＝(3λ＋μ，－λ＋3μ)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(3λ＋μ＝1，,－λ＋3μ＝－2，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝－\f(1,2)，)))∴λ＋μ＝0.b．借助已有的(或隱含的)垂直關系建立平面直角坐標系(12)(2020江蘇徐州模擬，5分)如圖，在平面四邊形ABCD中，∠CBA＝∠CAD＝90°，∠ACD＝30°，AB＝BC，點E在線段BC上，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(BE,\s\up6(→)).若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AE,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(μ,λ)的值為__eq\r(3)__．解析：建立如圖所示平面直角坐標系，設AB＝BC＝t(t>0)，則A(－t，0)，C(0，t)，AC＝eq\r(2)t.因為點E在線段BC上，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(BE,\s\up6(→))，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(t,3))).因為在Rt△ADC中，AC＝eq\r(2)t，∠ACD＝30°，所以AD＝eq\f(\r(6),3)t.過點D作DF⊥x軸于點F，由題意知Rt△ABC是等腰三角形，所以∠CAB＝45°，所以∠DAF＝180°－∠CAB－∠CAD＝45°，所以DF＝AF＝eq\f(\r(2),2)AD＝eq\f(\r(3),3)t，所以Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(\r(3),3)t))，\f(\r(3),3)t))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝(t，t)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)t，\f(\r(3),3)t))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(t,3))).若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AE,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則(t，t)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)t，\f(\r(3),3)t))＋μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(t,3)))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1＝－\f(\r(3),3)λ＋μ，,1＝\f(\r(3),3)λ＋\f(μ,3)，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(\r(3),2)，,μ＝\f(3,2)，)))所以eq\f(μ,λ)＝eq\r(3).c．以圓心為原點建立平面直角坐標系(13)(2020安徽合肥期末，5分)如圖，扇形的半徑為1，圓心角∠BAC＝150°，點P在eq\o(BC,\s\up8(︵))上運動，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\r(3)λ－μ的最小值是(D)A．0B.eq\r(3)C．2D．－1解析：以A為原點，AB所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標系．則A(0，0)，B(1，0)，C(cos150°，sin150°)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))).設P(cosθ，sinθ)，0°≤θ≤150°.因為eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，所以(cosθ，sinθ)＝λ(1，0)＋μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(λ－\f(\r(3),2)μ＝cosθ，,\f(1,2)μ＝sinθ，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(λ＝cosθ＋\r(3)sinθ，,μ＝2sinθ，)))所以eq\r(3)λ－μ＝sinθ＋eq\r(3)cosθ＝2sin(θ＋60°)．因為0°≤θ≤150°，所以60°≤θ＋60°≤210°，所以sin(θ＋60°)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，所以eq\r(3)λ－μ的最小值為－1.故選D.隨堂普查練191．(2021江蘇泰州模擬，5分)若e1，e2是平面α內的一組基底，則下列四組向量能作為平面α的一組基底的是(B)A．e1－e2，e2－e1B．e1＋e2，e1－e2C．2e2－3e1，－6e1＋4e2D．2e1＋e2，e1＋eq\f(1,2)e2解析：由e1，e2是平面α內的一組基底，可得e1，e2非零不共線．對于A，由e1－e2＝－(e2－e1)可知，e1－e2，e2－e1共線，由一組基底必不共線，可得e1－e2，e2－e1不是平面α內的一組基底，不符合題意；對于B，因為不存在實數λ，使得e1＋e2＝λ(e1－e2)，所以e1＋e2，e1－e2不共線，由一組基底必不共線，可得e1＋e2，e1－e2是平面α內的一組基底，滿足題意；對于C，由2e2－3e1＝eq\f(1,2)(－6e1＋4e2)可知，2e2－3e1，－6e1＋4e2共線，由一組基底必不共線，可得2e2－3e1，－6e1＋4e2不是平面α內的一組基底，不符合題意；對于D，由2e1＋e2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1＋\f(1,2)e2))可知，2e1＋e2，e1＋eq\f(1,2)e2共線，由一組基底必不共線，可得2e1＋e2，e1＋eq\f(1,2)e2不是平面α內的一組基底，不符合題意．故選B.2．(2021山東菏澤期中，5分)如圖，在△ABC中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，EF∥BC，EF交AC于F，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BF,\s\up6(→))等于(A)A．－a＋eq\f(1,5)bB．－a－eq\f(1,5)bC.eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)bD.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b解析：∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up6(→)).又∵EF∥BC，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,5)b.故選A.3.(2021遼寧葫蘆島二模，5分)在△ABC中，點P滿足2eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，過點P的直線與AB，AC所在的直線分別交于點M，N，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝yeq\o(AC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，則2x＋y的最小值為(A)A．3B．3eq\r(2)C．1D.eq\f(1,3)解析：如圖，因為2eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝yeq\o(AC,\s\up6(→))(x＞0，y＞0)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3y)eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\f(2,3x)eq\o(AM,\s\up6(→)).因為M，P，N共線，所以eq\f(1,3y)＋eq\f(2,3x)＝1，所以2x＋y＝(2x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3y)＋\f(2,3x)))＝eq\f(5,3)＋eq\f(2y,3x)＋eq\f(2x,3y)≥eq\f(5,3)＋2eq\r(\f(2y,3x)·\f(2x,3y))＝3，當且僅當eq\f(2y,3x)＝eq\f(2x,3y)且eq\f(1,3y)＋eq\f(2,3x)＝1，即x＝y＝1時取等號，此時2x＋y的最小值為3.故選A.4．(2023匯編，25分)根據已知條件解決下列各題．①已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，則λ＝__eq\f(8,5)__．(2021全國Ⅱ)②已知向量a＋b＝(0，5)，2a－b＝(3，1)，則a·b的值為__5__．③已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，則λ＝__eq\f(3,5)__．(2021全國Ⅱ)④已知向量a＝(4，0)，b＝(x，eq\r(3))，且|a|＝a·b，則a，b的夾角大小為__eq\f(π,3)__．⑤已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(－2，0)，c＝a－tb(t∈[－1，1])，則|c|的取值范圍為__[eq\r(3)，2eq\r(3)]__．解析：①由題意，結合向量平行的充要條件可得2×4－λ×5＝0，解得λ＝eq\f(8,5).故答案為eq\f(8,5).②因為a＋b＝(0，5)，2a－b＝(3，1)，所以兩式相加可得3a＝(3，6)，解得a＝(1，2)，所以b＝(0，5)－(1，2)＝(－1，3)，所以a·b＝－1＋6＝5.故答案為5.③因為a－λb＝(1，3)－λ(3，4)＝(1－3λ，3－4λ)，所以由(a－λb)⊥b可得(a－λb)·b＝0，即3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝0，解得λ＝eq\f(3,5).故答案為eq\f(3,5).④因為a＝(4，0)，b＝(x，eq\r(3))，所以|a|＝4，a·b＝4x.因為|a|＝a·b，所以4x＝4，解得x＝1，即b＝(1，eq\r(3))，所以|b|＝eq\r(1＋3)＝2.設a，b的夾角大小為θ，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(4,4×2)＝eq\f(1,2).因為θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,3).⑤(法一)因為a＝(1，eq\r(3))，b＝(－2，0)，所以|a|＝eq\r(1＋3)＝2，|b|＝2，a·b＝(1，eq\r(3))·(－2，0)＝－2，所以|c|2＝|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4＋4t＋4t2＝(2t＋1)2＋3.因為t∈[－1，1]，所以當t＝－eq\f(1,2)時，|c|2取得最小值3；當t＝1時，|c|2取得最大值12，即|c|2∈[3，12]，所以|c|的取值范圍是[eq\r(3)，2eq\r(3)]．(法二)因為a＝(1，eq\r(3))，b＝(－2，0)，所以c＝a－tb＝(1，eq\r(3))－t(－2，0)＝(1＋2t，eq\r(3))，所以|c|＝eq\r(（1＋2t）2＋3).因為t∈[－1，1]，所以當t＝－eq\f(1,2)時，y＝(1＋2t)2＋3取得最小值3；當t＝1時，y＝(1＋2t)2＋3取得最大值12，所以|c|的取值范圍是[eq\r(3)，2eq\r(3)]．5．(2019天津，5分)在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝2eq\r(3)，AD＝5，∠DAB＝30°，點E在線段CB的延長線上，且AE＝BE，則eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝__－1__．解析：以A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則B(2eq\r(3)，0)，D(5cos30°，5sin30°)，即D(eq\f(5\r(3),2)，eq\f(5,2))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(5,2))).由AD∥BC，點E在線段CB的延長線上，且AE＝BE，得∠BAE＝∠ABE＝∠DAB＝30°，則E(eq\r(3)，－1)，所以eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(5,2)))·(eq\r(3)，－1)＝eq\f(3,2)－eq\f(5,2)＝－1.6．(2021黑龍江哈爾濱二模，5分)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝eq\r(3)，P為矩形內一點，且|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))，則mn的最大值為(D)A.eq\f(\r(6),4)B.eq\f(\r(6),8)C.eq\f(\r(3),4)D.eq\f(\r(3),8)解析：(法一)因為|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))2＝(meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→)))2＝eq\f(3,4)，即m2eq\o(AB,\s\up6(→))2＋2mneq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋n2eq\o(AD,\s\up6(→))2＝eq\f(3,4).又因為在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝eq\r(3)，AB⊥AD，所以eq\o(AB,\s\up6(→))2＝1，eq\o(AD,\s\up6(→))2＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，所以m2＋3n2＝eq\f(3,4)，所以eq\f(3,4)＝m2＋3n2≥2eq\r(3)mn，當且僅當m2＝3n2，且m2＋3n2＝eq\f(3,4)，即m＝eq\f(\r(6),4)，n＝eq\f(\r(2),4)時取等號，所以mn≤eq\f(\r(3),8)，所以mn的最大值為eq\f(\r(3),8).故選D.(法二)如圖所示，以點A為原點，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立平面直角坐標系，則A(0，0)，B(1，0)，D(0，eq\r(3))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，0)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3))．設點P(x，y)，0<x<1，0<y<eq\r(3)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y)．因為eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))，所以(x，y)＝m(1，0)＋n(0，eq\r(3))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝m，,y＝\r(3)n.)))因為|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，所以x2＋y2＝eq\f(3,4)，所以x2＋y2＝m2＋3n2＝eq\f(3,4)，所以eq\f(3,4)≥2eq\r(3m2n2)＝2eq\r(3)mn，當且僅當m2＝3n2，且m2＋3n2＝eq\f(3,4)，即m＝eq\f(\r(6),4)，n＝eq\f(\r(2),4)時取等號，所以mn≤eq\f(\r(3),8)，所以mn的最大值為eq\f(\r(3),8).故選D.7．(經典題，5分)已知A，B為單位圓O上的點，O到弦AB的距離為eq\f(\r(3),2)，C是劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))(包含端點)上一動點，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍為__eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))__．解析：(法一：坐標法)如圖，以圓心O為坐標原點建立平面直角坐標系，設A，B兩點在x軸上方且線段AB與y軸垂直．∵A，B為單位圓O上的點，O到弦AB的距離為eq\f(\r(3),2)，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(λ,2)，\f(\r(3)λ,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(μ,2)，\f(\r(3)μ,2)))＝(eq\f(μ－λ,2)，eq\f(\r(3)（λ＋μ）,2))．設點C坐標為(x，y)，∵C是劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))(包含端點)上一動點，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤\f(1,2)，,\f(\r(3),2)≤y≤1.))∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(μ－λ,2)，\f(\r(3)（λ＋μ）,2)))＝(x，y)，∴eq\f(\r(3),2)≤y＝eq\f(\r(3)（λ＋μ）,2)≤1，解得1≤λ＋μ≤eq\f(2\r(3),3).故λ＋μ的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3))).(法二：等和線法)如圖，設OC與AB交于點D，則由等和線法可知λ＋μ＝eq\f(OC,OD)＝eq\f(1,OD).由圖可得，當點C與點A(B)重合時，OD最長，為1；當點C為劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點時，OD最短，為eq\f(\r(3),2)，∴1≤eq\f(1,OD)≤eq\f(1,\f(\r(3),2))，即1≤λ＋μ≤eq\f(2\r(3),3).故λ＋μ的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3))).

課后提分練19平面向量基本定理及坐標表示A組(鞏固提升)1．(2023改編，5分)若e1，e2是平面內的一組基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是(D)A．3e1－e2，e2－3e1B．4e1＋e2，e1＋eq\f(1,4)e2C．2e2－3e1，6e1－4e2D．e1＋eq\f(1,3)e2，e1－eq\f(1,3)e2解析：對于選項A，因為3e1－e2＝－(e2－3e1)，所以3e1－e2與e2－3e1共線，不能作為平面向量的基底；對于選項B，因為4e1＋e2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1＋\f(1,4)e2))，所以4e1＋e2與e1＋eq\f(1,4)e2共線，不能作為平面向量的基底；對于選項C，因為－2(2e2－3e1)＝6e1－4e2，所以2e2－3e1與6e1－4e2共線，不能作為平面向量的基底；對于選項D，易得e1＋eq\f(1,3)e2與e1－eq\f(1,3)e2不共線，所以e1＋eq\f(1,3)e2與e1－eq\f(1,3)e2可以作為平面向量的基底．故選D.2．(2020江蘇南通期末，5分)如圖，點A，B，C，P均在正方形網格的格點上．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋2μ＝(B)A．1B.eq\f(3,2)C.eq\f(4,3)D．2解析：如圖，以A為原點，AC所在直線為x軸，過點A且垂直于AC的直線為y軸建立平面直角坐標系．設正方形網格的邊長為1，則A(0，0),B(－2，2)，C(4，0)，P(1，1)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝(1，1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4，0)．又eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，所以(1，1)＝λ(－2，2)＋μ(4，0)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(4μ－2λ＝1，,2λ＝1，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝\f(1,2)，)))所以λ＋2μ＝eq\f(3,2).故選B.3．(2020江西一模，5分)在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，E為AD的中點，則eq\o(CE,\s\up6(→))＝(A)A.eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))解析：因為eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).故選A.4．(2020山東臨沂期末，5分)如圖，正方形ABCD中，M是BC的中點．若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝(B)A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(15,8)D．2解析：由題意得，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)))＋μ(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(λ－μ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)＋μ))eq\o(AD,\s\up6(→))，又∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，∴由平面向量基本定理可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(λ－μ＝1，,\f(λ,2)＋μ＝1，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,3)，,μ＝\f(1,3)，)))∴λ＋μ＝eq\f(5,3).故選B.5．(2020全國Ⅰ，5分)設向量a＝(1，－1)，b＝(m＋1，2m－4)，若a⊥b，則m＝__5__．解析：∵a⊥b，∴a·b＝(1，－1)·(m＋1，2m－4)＝m＋1－(2m－4)＝0，∴m＝5.6．(2019全國Ⅱ，5分)已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(C)A．－3B．－2C．2D．3解析：因為eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，t－3)，所以|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋（t－3）2)＝1，解得t＝3，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1，0)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，3)·(1，0)＝2×1＋3×0＝2.故選C.7．(2021河南焦作期中，5分)如圖，A，B，C是圓O上的三個不同點，且∠AOB＝120°，∠AOC＝30°，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝(D)A.eq\f(2\r(3),3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2\r(3),3)eq\o(OB,\s\up6(→))B.eq\f(2\r(3),3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(2\r(3),3)eq\o(OB,\s\up6(→))C.eq\f(\r(3),3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(\r(3),3)eq\o(OB,\s\up6(→))D.eq\f(\r(3),3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(\r(3),3)eq\o(OB,\s\up6(→))解析：建立如圖所示的平面直角坐標系，不妨設圓的半徑為1，因為∠AOB＝120°，∠AOC＝30°，所以A(－1，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2))).因為eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共線，所以由平面向量基本定理可知，存在一對有序實數λ，μ，使eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))＝λ(－1，0)＋μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－λ＋\f(1,2)μ＝－\f(\r(3),2)，,\f(\r(3),2)μ＝－\f(1,2)，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(\r(3),3)，,μ＝－\f(\r(3),3)，)))所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(\r(3),3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(\r(3),3)eq\o(OB,\s\up6(→)).故選D.8．(2021貴州貴陽月考，5分)如圖，在△OAB中，C是AB的中點，P在線段OC上，且eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OP,\s\up6(→)).過點P的直線分別交線段OA，OB于點N，M，且eq\o(OM,\s\up6(→))＝meq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))＝neq\o(OA,\s\up6(→))，其中m，n∈[0，1]，則m＋n的最小值為(C)A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C．1D.eq\f(3,4)解析：∵C是AB的中點，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．又eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OM,\s\up6(→))＝meq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))＝neq\o(OA,\s\up6(→))，∴2eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)\o(ON,\s\up6(→))＋\f(1,m)\o(OM,\s\up6(→))))，即eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4n)eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\f(1,4m)eq\o(OM,\s\up6(→)).∵P，M，N共線，∴eq\f(1,4n)＋eq\f(1,4m)＝1.又m，n∈[0，1]，∴m＋n＝(m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4n)＋\f(1,4m)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)＋1＋1＋\f(n,m)))≥eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2\r(\f(m,n)·\f(n,m))))＝1，當且僅當m＝n＝eq\f(1,2)時，等號成立．故選C.9．(2020重慶九龍坡區期中，5分)如圖，在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，點E在線段AD上移動(不含端點)．若eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,2)＋eq\f(1,μ)的取值范圍是__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，＋∞))__．解析：∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).設eq\o(AE,\s\up6(→))＝keq\o(AD,\s\up6(→))，0＜k＜1，則eq\o(AE,\s\up6(→))＝k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)keq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)keq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)k，,μ＝\f(1,3)k，)))∴eq\f(λ,2)＋eq\f(1,μ)＝eq\f(k,3)＋eq\f(3,k).∵y＝eq\f(k,3)＋eq\f(3,k)在(0，1)上單調遞減，∴eq\f(λ,2)＋eq\f(1,μ)的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，＋∞)).10．(2021天津南開區二模，5分)在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝2AD＝2DC＝2，E為BC邊上一點，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，F為直線AE上一點，則eq\o(CF,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))的最大值為(C)A.eq\f(6,13)B．－eq\f(6,13)C.eq\f(9,20)