點、直線、平面和平面曲線

的多面正投影（一）2.2.1投影面體系及點的投影2.2.2直線的投影2.2.4直線與平面以及兩平面的相對位置2.2.3平面和平面曲線的投影2.2.5點、直線、平面間的綜合作圖題示例由空間點A作垂直于投影面H的投射線，與H面交得點A的唯一的H面投影a。反之，若已知點A的一個投影，能否確定該點的位置呢?由點A的H面投影a作垂直于H面的投射線，則在該投射線上所有的點的H面投影都是a。2.2.1投影面體系及點的投影2.2.1.1三投影面體系及點的三面投影圖2.67點能唯一確定它的投影圖2.68由點的一個投影不能確定其位置兩面投影體系：由兩個互相垂直的投影面建立的投影體系。水平投影面H和正立投影面V，投影面交線為投影軸OX。圖2.69兩投影面體系圖2.70點的兩面投影圖2.71由點的兩面投影能確定其位置圖2.72三投影面體系的建立以及點在三面體系第一角中的投影(a)三投影面體系的建立與投影面展開(c)投影圖將點A置于三面體系的第一角中，分別作垂直于投影面H、V、W的投射線，交得點A的水平投影a、正面投影a′和側面投影(W面投影)a"

。圖2.73點的坐標和投影特性(1)點的投影連線垂直于投影軸。投影特性：(2)點的投影與投影軸的距離，反映該點的坐標，也反映該點與相鄰投影面的距離。2.2.1.2點的坐標和投影特性［例題2.1］已知點A(14，10，11)，作出該點的三面投影。14111045［解］①量取xA=14，作OX軸的垂線，即為點A的水平投影a和正面投影a′的連線。②量取yA=10，得點A的水平投影a。③量取zA=11，得點A的正面投影a′。④過a′作OZ軸的垂線，過a作OYH軸的垂線與輔助線相交，從交點作OYW軸的垂線，由這兩條投影連線交得點A的側面投影a＂。圖2.74已知坐標作點的三面投影［例題2.2］已知點A與投影面W、V、H的距離分別為14mm、10mm、11mm，作出該點的三面投影。［解］xA=WA=14yA=VA=10zA=HA=11即點的坐標為：A(14，10，11)141110452.2.1.3各種位置的點(1)空間點:不在任一投影面上的點。(2)投影面上的點:只在一個投影面上的點。(3)投影軸上的點:在兩個投影面上的點，必在這兩個投影面相交的投影軸上。(4)與原點O重合的點:在三個投影面上的點，必與原點O重合。圖2.75各種位置的點2.2.1.4點在兩面體系第一角中的投影點在三投影面體系中的投影：水平投影顯示該點的x坐標和y坐標，正面投影顯示x坐標和z坐標，側面投影顯示y坐標和z坐標。一點只要有它在兩個投影面上的投影，就可確定它的三個坐標，也就可以確定它的位置。（1）H、V兩投影面體系圖2.76點在H、V兩面體系第一角中的投影[例題2.3］已知點A(14，10，11)和點B(3，0，0)，作出這兩個點的水平投影和正面投影。［解］①量取xA=14，作OX軸的垂線，即為點A的水平投影a和正面投影a′的連線。②量取yA=10，得點A的水平投影a。③量取zA=11，得點A的正面投影a′。④在OX軸上從點O向左量取xB=3，即得點B重合的水平投影b和正面投影b′。141110圖2.77已知坐標作點的水平投影和正面投影b'b（2）V、W兩投影面體系圖2.78點在V、W兩面體系第一角中的投影(a)立體圖(b)投影面展開后(c)投影圖［例題2.4］已知點A(15，11，17)和點B(0，7，7)，作出這兩個點的正面投影和側面投影。［解］①量取zA=17，作OZ軸的垂線，即為點A的正面投影a'和側面投影a"的連線。②量取xA=15，得點A正面投影a'。③量取yA=11，得點A的側面投影a"

。④在OZ軸上從點O向上量取zB=7，即得點B的正面投影b',量取yB=7，得點B的側面投影b"

。圖2.79已知坐標作點的正面投影和側面投影2.2.1.5兩點的相對位置（1）在投影面中能顯示兩點的相對位置圖2.80在三面投影中反映的三個向度圖2.81兩點的相對位置在投影圖中常用兩點對三個投影面的距離差確定相對位置。點B在點A之右XA-XB、之后YA-YB、之下ZA-ZB；或點A在點B之左XA-XB、之前YA-YB、之上ZA-ZB。（2）重影點及其可見性圖2.82重影點若兩個點位于垂直于某一投影面的同一條投射線上，則這兩個點在該投影面上的投影互相重合，這兩個點便稱為對該投影面的重影點。[例題2.5］已知點A，并知點B在點A之右8mm、之后6mm、之下6mm，點E在點A的正下方、在H面上，作點B和E的三面投影，并表明可見性。圖2.83已知點與點的相對位置，作點的三面投影［解］①點B在點A之右8，即xA-xB=8;②點B在點A之后6，即yA-yB=6;③點B在點之下6,即zA-zB=6;④點E在點A的正下方、且在H面上,即zE

=0，xE

=xA,ye=yA；因zA大于ze，所以點E的水平投影不可見。一般情況下，直線的投影仍為直線，只要作出兩個端點的投影，就能連成直線的投影。傾斜于投影面的直線在該投影面上的投影短于直線的真長。直線垂直于投影面，在該投影面上的投影積聚成一點。平行于投影面的直線在該投影面上的投影，與直線本身平行且等長。圖2.84直線的投影2.2.2直線的投影2.2.2.1直線對投影面的各種相對位置一般位置直線：與三個投影面都傾斜的直線(簡稱一般線)直線

投影面平行線：僅平行于一個投影面的直線

特殊位置直線

(∥V：正平線；∥H：水平線；∥W：側平線)

投影面垂直線：垂直于一個投影面的直線

(⊥V：正垂線；⊥H：鉛垂線；⊥W：側垂線)傾角：直線與投影面的真實夾角，也就是空間直線與其在投影面上的投影的夾角。直線與H、V、W面的傾角分別用、、表示。(1)一般位置直線圖2.85一般位置直線的投影特性一般位置直線的投影特性：三個投影都傾斜于投影軸，長度縮短，不能直接反映直線對投影面的傾角。圖2.86用直角三角形法求作一般位置直線的真長與傾角(a)立體圖(b)作圖過程和作圖結果作一般位置直線的真長與H面傾角。作一般位置直線的真長與V

面傾角。表2.6投影面平行線的投影特性(2)投影面平行線直線在平行的投影面上的投影，反映真長、傾角。在另外兩個投影面上的投影，分別平行于相應的投影軸，且長度縮短。表2.7投影面垂直線的投影特性(3)投影面垂直線在垂直的投影面上的投影，積聚成一點。在另外兩個投影面上的投影，平行于投影軸，且反映真長。2.2.2.2直線上的點圖2.87直線上的點的投影特性第一個投影特性：直線上的點的投影，必在直線的同面投影上。第二個投影特性：若直線不垂直于投影面，則直線段上的點分割線段的長度比，與該點的投影分割直線段同面投影的長度比相等。圖2.88檢驗點是否在直線上按直線上的點的第一個投影特性可知：點C、F的投影分別在直線AB、DE的同面投影上，所以點C、F分別是直線AB、DE上的點；而點I的正面投影i′不在直線GH的正面投影g′h′上，所以點I不是直線GH上的點。

點L的兩個投影都分別在直線JK的同面投影上，是否能確定點L在直線JK上呢？從作圖可明顯地看出：jl∶lk≠j′l′∶l′k′，不符合直線上的點的第二個投影特性，從而斷定點L不在直線JK上。［例題2.6］已知直線AB，在AB上取點C和D，點C距H面10mm，點D分割AB成AD∶DB=3∶1，作點C和D的兩面投影。［解］①在OX軸之上10mm處作水平線，與a′b′交得c′。②由c′引投影連線，與ab交得c。③從a作任意方向的直線，在其上由a任取長度單位順次量取四個單位，得點1、2、3、4。連4和b，由3作4b的平行線，與ab交得d。④由d引投影連線，與a′b′交得d′。圖2.89作直線AB上的點C和D［例題2.7］已知直線AB以及點C、D，檢驗點C、D是否在直線AB上。［解］圖2.90檢驗點C和D是否在直線AB上(d)檢驗方法二(c)檢驗方法一(b)立體圖(1)檢驗方法一:補出第三面投影(2)檢驗方法二:運用定比分點［例題2.8］已知直線AB，并知直線AB上的點C距離W面10mm，作點C的兩面投影。［解］圖2.91作直線AB上的點C①在正面投影中作距離OZ軸10mm的鉛垂線，與a′b′交得c′。②運用定比分點:作a＂c0=a′c′,c0b0=c′b′。連b0b＂，過c0作b0b＂的平行線，與a＂b＂交得c＂。2.2.2.3兩直線的相對位置

異面——交叉斜交直線與直線

相交

共面正交

平行平行兩直線和相交兩直線位于同一平面上，是共面直線。兩直線既不平行、又不相交，它們不在同一平面上，也稱異面直線。(1)兩直線平行圖2.92兩直線平行平行兩直線的同面投影都分別互相平行。只要兩直線的同面投影都分別互相平行，則這兩直線互相平行。(2)兩直線相交圖2.93兩直線相交相交兩直線的同面投影都分別相交；并且，同面投影的交點是同一點的投影，這個點就是兩直線的交點。兩直線的同面投影的交點是同一點的投影，則兩直線一定相交。(3)兩直線交叉(異面）兩直線既不相交又不平行，即為交叉。交叉兩直線的同面投影有的相交，有的平行；或者同面投影都分別相交，但同面投影的交點不是同一點的投影。(a)同面投影相交(b)同面投影平行圖2.94兩直線交叉圖2.95交叉兩直線的投影圖交叉兩直線的同面投影的交點稱為重影點。重影點的可見性通過點的相對位置進行判斷。如對H面的重影點Ⅰ和Ⅱ，點Ⅰ在上、Ⅱ在下，故Ⅰ可見，其H面投影標記為1（2）。［例題2.9］檢驗直線AB、CD的相對位置。圖2.96檢驗兩直線的相對位置［解］①目估檢驗:側平線AB從A到B的趨向是從后上到前下，而側平線CD從C到D的趨向是從前上到后下，趨向不同，因