基礎鞏固篇

第一講有理數

?畬?⑥

(^1

重點分析：

1.回顧以前學過的關于“數”的知識，進一步理解自然數、分數的產生和發展的實際背景，

通過學生身邊的例子體驗自然數與分數的意義以及它們在計數、測量、排序、編碼等方面的

應用.

2.從相反意義的量的表示，理解正數、負數的概念，理解有理數產生的必然性、合理性.

3.有理數的分類：按有理數的整分性可以分為整數和分數；按有理數的正負性可以分為正有

理數、負有理數和零.

難點分析：

1.分數都可以化為小數，有些小數（有限小數和無限循環小數）可以化為分數.

2.相反意義的量包含兩個要素：一是它們的意義要相反；二是它們都具有數量（必須是同一

類量，數量大小可以不相等）.

下列說法中，正確的是（）.

①。是整數；②0是有理數；③。是自然數；④0是正數；⑤。是負數；⑥0是非負數.

A.①②③⑥B.OXD⑥C.??③D.②③⑥

思路點撥0是自然數，是整數，不是正數也不是負數，但屬于非負數，根據題意描述進行

判斷即可.

解題過程①②③⑥正確，0不是正數也不是負數，所以④⑤錯誤，故選A.

方法歸納本題考查了有理數的定義，注意掌握0這個特殊的數，它是自然數，也是整數，

它既不是正數也不是負數.

易錯誤區數擴大到有理數范圍后，注意0的特殊性，特別注意。是整數，0既不是正數，

也不是負數，但它是非負數.

把下列各數填入相應的大括號里：

11

-3,0.2,3.14,8,0,-2,20,-,-6.5,17%,-2-.

48

整數：｛…｝;

分數：｛…｝;

正數：｛…｝;

負數：｛…｝;

自然數：｛…｝;

負有理數：｛…｝.

思路點撥有理數包括整數和分數，整數包括正整數、0、負整數，分數包括正分數和負分

數，根據以上內容判斷即可.

解題過程整數：｛-3,8,0,-2,20,-??）；

分數：｛0.2,3.14,-,-6.5,17%,-2-,???）；

48

正數：｛0.2,3.14,8,20,-,17%,-??）；

4

負數：｛-3,-2,-6.5,-2-,…｝;

8

自然數：｛8,0,20--｝；

負有理數：｛-3,-2,-6.5,-21，…｝.

8

方法歸納本題考查了有理數的定義，理解有理數的定義是解本題的關鍵.注意：有理數包

括整數和分數，整數包括正整數、0、負整數，分數包括正分數和負分數.

易錯誤區本題數據比較多，大部分數據承擔多種角色，所以要注意不重不漏.

（1）已知4個礦泉水空瓶可以換1瓶礦泉水，現有15個礦泉水空瓶，若不付錢，最多可以

喝,,瓶礦泉水.

（2）師生共52人外出春游，到達后，班主任把買礦泉水的錢給班長，要他給每人買一瓶礦

泉水.班長到商店后，發現商店正在進行促銷活動，規定每5個空瓶可換1瓶礦泉水.班長只

要買..瓶礦泉水，就可以保證每人一瓶.

思路點撥（1）看15里面有幾個4,再看余下的空瓶包含幾個4,把個數相加即可.（2）因為

5個空瓶=1個空瓶+1瓶的水，可知4個空瓶可以換1瓶的水，因此花4瓶的錢可以喝到5

瓶水，所以花40瓶的錢可以喝到50瓶水，還差2瓶單買.

解題過程（1）15+4=3（組）……3（瓶），可先換3瓶礦泉水，喝完后還剩3+3=6個空瓶，拿

出4個空瓶換1瓶礦泉水，還剩3個空瓶，找人借1個空瓶湊齊4個空瓶換1瓶礦泉水，喝

完還剩1個空瓶，再把這個空瓶還給那個人，故最多可以喝5瓶礦泉水.

（2）52+5=10（組）……2（瓶）；4X10+2=42（瓶）....班長只要買42瓶礦泉水，就可以保

證每人一瓶.

方法歸納本題考查的知識點是推理與論證，題（2）關鍵要抓住“5個空瓶可換1瓶礦泉

水”這個條件，據此得出“買4瓶就可以喝到5瓶水”這一結論，然后再列式計算.

易錯誤區換來的礦泉水喝完又是空瓶，可以繼續換.

（1）若m>0,n<0,|n|>|m|,用“V”號連接m,n,|n|,-m,請結合數軸解答.

/、》?hi,wziFHiQ八皿61012152060

（2）由小到大排列下列各分數：—,—,—,—,—,—.

111719233391

思路點撥（1）首先根據在數軸上表示數的方法，在數軸上表示出所給的各數；然后根據

當數軸方向朝右時，右邊的數總比左邊的數大，把這些數由小到大用“V”號連接起來即可.

（2）本題是比較分數的大小，常規方法是通分，將分母化成相同的數，再比較分子的大小,

但本題通分比較復雜，而如果先把分子通分，即化成分子相同的分數，再比較分母的大小就

比較簡單了.

解題過程（1）如圖，???nV-mVmV|n|.

n-mom\n\

..6_6010_6012_6015_6020_6060_60

°■IT-n0，T7-102，T9-95,23~92,33~99,9T-n，

?6/10/20/12/15.6O

,?U<i7<33<l9<23<91-

方法歸納本題考查的是有理數的大小比較，比較有理數的大小通常有數軸法、作差法、作

商法、分類討論法等，題（1）利用數軸法比較，題（2）是比較多個分數的大小，可以通分

比較大小，通分既可以通分母，也可以通分子.

易錯誤區（1）注意：當n<0時，|n|=-n,關鍵要知道各個數表示的點所在的位置.（2）分

子的最小公倍數是60,通分子與通分母的方法一樣，但要注意分子相同的情況下分母越大

分數值越小.

分子為1、分母是等于2或大于2的自然數的分數叫做分數單位.早在三千多年前，古埃及人

就利用分數單位進行書寫和計算.將一個分數拆分為幾個不同的分數單位之和是一個古老且

有意義的問題.例如：了一丁.了十了一1■十2；至一至一~T~-yT.

53

（1）仿照上例，分別把分數一和二拆分成兩個不同的分數單位之和.

85

58=；35=.

、--3311pLdl31+21211111n?3

442266666344634

可以寫成三個不同的分數單位之和.按照這樣的思路，它也可以寫成四個，甚至五個不同的

分數單位之和.根據這樣的思路，探索分數?能寫成哪些兩個以上的不同的分數單位之和.

8

思路點撥（1）由分數單位的意義可知，將一個分數拆分為幾個不同的分數單位之和，就是

利用同分母分數的加法或約分的性質，把這個分數拆成兩個同分母分數，使其中一個分子是

1,另一個分數的分子能整除分母.（2）只要根據分數單位的轉化方法，把其中一個分數單位

利用分數的性質繼續拆分即可.

5_1+4_1.13_6_1+5_1,1

解題過程（1）百一一8一一3十1''了一記io__15十萬.

5_11.15_1,1.15_1,1.1.1

（2）a=+T+=泊+五+彳?0=9+不+適+了.（答案不唯一）

方法歸納本題考查了分數性質的靈活應用、同分母分數的相加以及約分方法，也考查了學

生的觀察能力.

易錯誤區分子為1、分母是等于或大于2的自然數的分數叫做分數單位，最大的分數單位

?

請根據各數之間的關系，找規律填空.

(3)

思路點撥(1)觀察圖形中的數可知：(9+6)Xl=15；(6+7)X4=52；(5+8)義3=39；由此

可得，每個三角形中：(上面的數+左下的數)X右下的數=中間的數.(2)根據圖形中的數可

知：中間的數=上下數之差，左邊的數=中間的數X右邊的數，由此即可解答.(3)觀察每組

圖形中三個數的特點可知：下邊的數由三部分組成，最左邊的數字是右上方的數的十位上的

數字，最右邊的數字是左上方的數的個位上的數字，中間的數字是左上方的數的十位上的數

字與右上方的數的個位上的數字之和，由此即可解答.

解題過程(1)(11+3)X2=28.故？=28.

(2)61-56=5,5X3=15.故△=5,?=15.

(3)最左邊的數字是6,最右邊的數字是8,中間的數字是1+1=2,所以這個數是628.故？

=628.

方法歸納本題主要考查了學生通過對特例進行分析從而歸納總結出一般規律的能力.對于

找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的，通過分析找到各部

分的變化規律后直接利用規律求解.

易錯誤區規律的確定通常至少要三個特例，從一個或兩個特例中總結出的結論不一定正

確，所以歸納出的一般規律要進行檢驗，使每一個特例都滿足規律.

Z?

拓展訓練

A組

1.小軍家的門牌號是256號，其中自然數的應用屬于().

A.計數B.測量C.標號D.排序

2.下列說法中，錯誤的有().

①-247是負分數；②1.5不是整數；③非負有理數不包括0；④正整數、負整數統稱為有理

數；⑤0是最小的有理數；⑥3.14不是有理數.

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.超市某品牌食品包裝袋上“質量”標注：500g±20g.下列待檢查的各袋食品中質量合格的

是().

A.530gB.519gC.470gD.459g

4.比較-31巳，I—7,-21-1,7上的大小，結果正確的是().

513315

3〃217/3一12-17

1虧<1T<T5<13B.?<13<15

12317123__21217

rC--1T<15<正D.-ly<1J<i3<15

5.一個紙環鏈，按紅黃綠藍紫的順序重復排列，截去其中的一部分，剩下部分如圖所示，則

被截去部分紙環的個數可能是（）.

A.2018B.2019C.2020D.2021

黃綠藍紫

6.在下表適當的空格里面畫上“J.

有理數整數分數正整數負分數自然數

-7

-3.14

0

2

3

7.氣象臺記錄了某地本周七天的氣溫變化情況（如下表），其中正號表示的數據是比前一天上

升的溫度，負號表示的數據是比前一天下降的溫度.已知上周日氣溫為3℃,根據表中數據，

請你判斷該地本周最低氣溫是℃.

星期一二三四五六B

氣溫變化（℃）+2-4-1-2+3-5-3

8.某登山隊從大本營出發，在向上攀登的過程中，測得所在位置的氣溫y（℃）與向上攀登

的高度x（km）的幾組對應值如下表：

向上攀登的高度x（km）0.51.01.52.0

氣溫y(℃)2.0-0.9-4.1-7.0

若每向上攀登1km,所在位置的氣溫下降幅度基本一致，則向上攀登的海拔高度為2.5km時,

登山隊所在位置的氣溫約為。C.

9.將一列數排成如圖所示的形式，按此規律排下去，那么第10行從左邊數第9個數

是.

2-34

-56-78-9

10-II12-1314-1516

（第9題）

10.在奧運五環圖案內，分別填寫五個數a,b,c,d,e,如，其中a>b,

c是三個連續偶數（a<b〈c）,d,e是兩個連續奇數（d<e）,且滿足a+b+c=d+e,例如

4

5

.請你在0?20之間選擇另一組符合條件的數填入五環圖案內.

11.把下列各數填入相應的大括號里:

1,-0.1,-789,1-251，0,-(+20),-3.14,-590,-一，0.81.

42

非負整數：{…};

負分數：{…}

正有理數：{-}.

B組

12.下列說法中，正確的有().

①整數就是正整數和負整數；②零是整數，但不是自然數；③分數包括正分數、負分數；④

正數和負數統稱為有理數；⑤一個有理數，它不是整數就是分數.

A.1個B.2個C.3個D.4個

13.一種“拍7”的游戲規定：把從1起的自然數中含7的數稱作“明7”，把7的倍數稱作

“暗7”,那么在1?100的自然數中，“明7”和“暗7”共有().

A.22個B.29個C.30個D.31個

14.已知數a在數軸上的位置如圖，則a,-a,的大小關系是().

aa

-1ao1

(第14題)

11

A.--<-a<—<aB.一VaV?一V?a

aaaa

1111

C.-a<--<-<aD.—VaV?aV?一

aaaa

15.已知下列各數：?3.14,24,+17,-7-,—,-0.01,0,其中整數有—個，負分數有

216

個，非負數有個.

16.分子是1、分母是等于或大于2的自然數的分數叫做分數單位，如…，某些分

234

數單位可以拆分成兩個分母是相鄰自然數的分數單位的差，如

-=則在分數單位!—」,…，二一中，不能按上述要求拆分

62312342045234100

的有個.

17.如圖，一只甲蟲在5X5的方格(每小格邊長為1個單位長度)上沿著網格線運動，它從

A處出發去看望B,C,D處的其他甲蟲.規定：向上向右走為正，向下向左走為負.如果從A

到B記為：A-B(+1,+4),從D到C記為：DfC(-1,+2),其中第一個數表示左右方

向，第二個數表示上下方向.

(1)圖中從A到C可以記為A-C(，),從B至UC可以記為B-C

(,).

(2)從D到可以記為Df(-4,-2).

(3)若這只甲蟲的行走路線為A-B-C-D,則該甲蟲走過的路程長度為個單位長

度.

(4)若這只甲蟲從A處去P處的行走路線依次為(+1,+3),(+3,-2),(-2,+1),請在

圖中標出P的位置.

11111（第17題）

18.把幾個數用大括號括起來，相鄰兩個數之間用逗號隔開，如：{1,2},{1,4,7},…，

我們稱之為集合，其中的每一個數稱為該集合的元素.如果一個所有元素均為有理數的集合

滿足：當有理數x是集合的一個元素時，2020-x也必是這個集合的元素，這樣的集合我們

又稱為黃金集合.例如{0,2020}就是一個黃金集合.

(1)集合{2020}(填“是”或“不是"，下同)黃金集合，集合{-1,2021}黃

金集合.

(2)若一個黃金集合中最大的一個元素為4020,則該集合是否存在最小的元素？如果存在,

請直接寫出答案；如果不存在，請說明理由.

(3)若一個黃金集合所有元素之和為整數M,且24200VMV24300,則該集合共有幾個元

素？說明你的理由.

走進重高

1.【瀘州】在-2,0,2四個數中，最小的是（）.

2

1

A.-2B.OC.-D.2

2

2.【聊城】悉尼、紐約與北京的時差如下表（正數表示同一時刻比北京時間早的時數，負數

表示同一時刻比北京時間晚的時數）：

城市悉尼紐約

時差（時）+2-13

北京6月15日23時，悉尼、紐約的時間分別是（）.

A.6月16日1時，6月15日10時

B.6月16日1時，6月14日10時

C.6月15B21時，6月15日10時

D.6月15日21時，6月16日12時

3.南水北調工程中線自2014年12月正式通水以來，沿線多座大中城市受益，河南、河北、

北京及天津四個省（市）的水資源緊張態勢得到緩解，有效促進了地下水資源的涵養和恢復.

若與上年同期相比，北京地下水的水位下降記為負，回升記為正，記錄從2013年底以來，

北京地下水水位的變化得到下表：

時間2013年底2014年底2015年底2016年底2017年底2018年9月底

地下水位與上年

-0.25-1.14—0.09+0.52+0.264-2.12

同比變化量（m）

下列關于2013年以來北京地下水水位的說法，不正確的是（）.

A.從2014年底開始，北京地下水水位的下降趨勢得到緩解

B.從2015年底到2016年底，北京地下水水位首次回升

C.2013年以來，每年年底的地下水位與上年同比的回升量最大的是2018年

D.2018年9月底的地下水水位低于2012年底的地下水水位

4.實際測量一座山的高度時，可在若干個觀測點中測量每兩個相鄰可視觀測點的相對高度，

然后用這些相對高度計算出山的高度.下表是某次測量數據的部分記錄（用A-C表示觀測點

A相對觀測點C的高度）,根據這次測量的數據，可得觀測點A相對觀測點B依高度是____m.

A-CC-DE-DF-EG-FB-G

90m80m-60m50m-70m40m

，一9，

5.規定怙]表不不超過a的最大整數，例如[4.3]=4.若m=[n+11,n=[2.1],貝—n]在此

4

規定下的值為.

6.2018年國慶節放假七天，高速公路免費通行，各地風景區游人如織，其中聞名于世的“三

孔”，在10月1日的游客人數就己經達到了10萬人，接下來的六天中，每天的游客人數變

化（單位：萬人）如下表（正數表示比前一天多的人數，負數表示比前一天少的人數）：

日期10月2日10月3日10月1日10月5日10月6日10月7日

人數變化+0.6+0.2+0.1-0.2—0.8—1.6

（1）10月3日的游客人數為萬人.

（2）這七天，游客人數最多的是多少萬人？最少呢？

（3）這7天參觀的總人數約為多少萬人？

高分奪冠

1.10個互不相等的有理數，每9個的和都是“分母為22的既約真分數（分子與分母無公約數

的真分數）”，則這10個有理數的和為（）.

2.已知a=X999,b=X1000,則a與b的大小關系是ab.

3.記|a,b|的值為a,b兩數中最大的數，例如|3,5|=5.若m滿足|2,2-m|=3-2m,則m=.

4.找規律，在空格里填上合適的數.

（第4題）

5.某路公交車從起點出發經過A,B,C,D四站到達終點，途中上下乘客情況如下表（正數

表示上車的人數，負數表示下車的人數）：

起點ABCD終點

上車的人數181512750

下車的人數0-4-5-9-12

（1）到終點站下車的有多少人？填在表格中相應位置.

（2）車行駛在哪兩站之間時，車上的乘客最多？站和站.

（3）若每人乘坐一站需買票0.5元，問該車出車一次能收入多少錢？要求寫出算式.

第二講數軸和絕對值

0000

數軸

重點分析：

1.數軸的三要素：原點、單位長度、正方向.

2.理解有理數可以用數軸上的點表示，數軸上的點不一定表示有理數.

3.相反數：實數a與一a互為相反數，零的相反數仍是零.若a,b互為相反數，則a+b=O.

4.倒數：若兩個實數的乘積為1,就稱這兩個實數互為倒數，零沒有倒數.

5.絕對值的幾何意義：表示這個數在數軸上所對應的點到原點的距離或數軸上點與點之間的

距離.

6.比較有理數大小的兩種基本方法：利用數軸比較大小；利用法則比較大小.

難點分析：

1.數軸涉及數和形兩個方面，是解決許多數學問題的重要工具.

2.絕對值具有非負性，去絕對值問題往往會涉及較復雜的符號問題.

星-------zo

若有理數m在數軸上對應的點為M,且滿足|m|>l且m<0,則下列數軸表示正確的是().

?%?一」??一“

01A.o1D.

??什「：，：一,、

01c.01T>.

思路點撥根據絕對值的意義得到m在原點的左側，且離原點的距離大于1,然后利用數軸

表示數的方法對各選項進行判斷.

解題過程Im|>1,m<0,.，.m<T.故選D.

方法歸納本題考查了數軸：規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸.數軸的三要

素：原點、單位長度、正方向.

易錯誤區注意絕對值的幾何意義是指數軸上的點與原點的距離，或點與點之間的距離.

已知a是最大的負整數的相反數，|b+41=2,且知-5|+|d+3|=0.

(1)寫出a,b,c,d的值.

(2)計算|a+c|+|bHd|的值.

思路點撥(1)根據有理數的概念求出a,根據絕對值的性質求出b,再根據非負數的性質

列方程求解即可得到c,d.(2)將a,b,c,d的值代入代數式進行計算即可得解.

解題過程(1)是最大的負整數的相反數，，a=L

：|b+4|=2,；.b+4=2或b+4=-2.

.'.b=-2或b=-6.

V|c-5|+|d+3|=0,；.c-5=0,d+3=0,解得c=5,d=-3.

.,.a=l,b=-2或-6,c=5,d=-3.

(2)|a+c|+1b)-1d|——11+51+1-21-1-3|——6+2-3=5,或Ia+c|+1b|-1d|——11+51+1_61_|_31

=6+6-3=9,

...|a+c|+|b]k|d|的值為5或9.

方法歸納本題考查了非負數的性質：幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0；還考

查了絕對值的性質和有理數的概念.

易錯誤區由|b+4[=2得到的b的值有兩個，所以本題需要分類討論，特別注意不要漏解.

如圖，數軸上標出了7個點，相鄰兩點之間的距離都相等，點A表示-4,點G表示8.

(1)點B表示的有理數是,表示原點的是點.

(2)圖中的數軸上另有點M到點A、點G的距離之和為13,則這樣的點M表示的有理數

是.

(3)若相鄰兩點之間的距離不變，將原點取在點D,則點C表示的有理數是,此時

點B與點表示的有理數互為相反數.

ABCDEFG

III_______III_______I.

-48

思路點撥(1)先根據數軸上兩點之間的距離公式求出點A到點G的距離，再求出相鄰兩點

之間的距離即可解答.(2)設點M表示的有理數是m,根據數軸上兩點之間距離的定義即可

求出m的值.(3)根據相鄰兩點間的距離是2可求出點C的坐標，再根據相反數的定義即可

求出結論.

解題過程(1)I?數軸上標出了7個點，相鄰兩點之間的距離都相等，已知點A表示-4,點

12

G表示8,；.AG=I8+4|=12....相令R兩點之間的距離=一=2.

6

，點B表示的有理數是-4+2=-2,點C表示的有理數是-2+2=0.

故答案為：-2,C.

(2)設點M表示的有理數是m,則Im+4I+Im-8I=13,.".m=-4.5或m=8.5.

故答案為：-4.5或8.5.

(3)若將原點取在點D,?.?每兩點之間的距離為2,...點C表示的有理數是-2.

?.?點B與點F在原點D的兩側且到原點的距離相等，

,此時點B與點F表示的有理數互為相反數.

故答案為：-2,F.

方法歸納本題考查的是數軸的特點及數軸上兩點之間距離的定義,熟知數軸上兩點之間的

距離公式是解答本題的關鍵.

易錯誤區第(2)題中A,G兩點間的距離為12,所以數軸上到點A、點G距離之和為13

的點M在線段AG外，這樣的點有兩個.

如圖，數軸上從左到右的三個點A,B,C所對應的數分別為a,b,c,其中點A、點B兩點

間的距離AB的長是2019,點B、點C兩點間的距離BC的長是1000.

-ABC-

(1)若以點C為原點，直接寫出點A,B所對應的數.

(2)若原點0在A,B兩點之間，求|a|+|b|+|b-c|的值.

(3)若0是原點，且0B=19,求a+b-c的值.

思路點撥(1)根據數軸的定義可求點A,B所對應的數.(2)先根據絕對值的性質求得

|a|+|b|=2019,|b-c1-1000,再代入計算即可求解.(3)分兩種情況：原點0在點B的左

邊；原點0在點B的右邊，進行討論即可求解.

解題過程(1)點A所對應的數是T000-2019=-3019,點B所對應的數是-1000.

(2)當原點0在A,B兩點之間時，|a|+|b|=2019,|b-c|=1000,|a|+|b|+|b-c1=2019+1000

=3019.

(3)若原點0在點B的左邊，則點A,B,C所對應的數分別是a=-2000,b=19,c=1019,

則a+b-c=-2000+19T019=-3000.

若原點0在點B的右邊，則點A,B,C所對應的數分別是a=-2038,b=-19,c=981,

則a+b-c=-2038+(-19)-981=-3038.

方法歸納本題主要考查了數軸及絕對值，解題的關鍵是能把數和點對應起來，也就是把

“數”和“形”結合起來，在學習中要注意培養數形結合的數學思想.

易錯誤區一方面要正確找到表示數的點在數軸上的位置，另一方面要注意位置不確定的情

況下要分類討論.

(1)如圖，一根木棒放在數軸上，木棒的左端與數軸上的點A重合，右端與點B重合.

若將木棒沿數軸向右水平移動，則當它的左端移動到點B時，它的右端在數軸上所對應的數

為20；若將木棒沿數軸向左水平移動，則當它的右端移動到點A時，它的左端在數軸上所

對應的數為5(單位：cm),由此可得木棒的長為cm.

(2)由題(1)的啟發，請你借助“數軸”這個工具幫助小紅解決下列問題：

問題：一天，小紅去問曾當過數學老師現在退休在家的爺爺的年齡，爺爺說：“我若是你現

在這么大，你還要34年才出生；你若是我現在這么大，我就116歲了，是老壽星了，哈哈！”

請求出爺爺現在多少歲了.

05/B20

思路點撥(1)本題關鍵是正確識圖，由數軸觀察知木棒的3倍長是20-5=15(cm),則此

木棒長為5cm.(2)在求爺爺的年齡時，借助數軸，把小紅與爺爺的年齡差看作木棒AB,類

似地，爺爺是小紅那么大時看作當點B移動到點A時，此時點A所對應的數為-34,小紅是

爺爺這么大時看作當點A移動到點B時，此時點B所對應的數為116,所以可知爺爺比小紅

大[116-(-34)]+3=50(歲)，從而可求得爺爺的年齡.

解題過程(1)如圖1,觀察數軸可知木棒的3倍長是20-5=15(cm),則此木棒長為5cm.故

答案為：5.

(d)(B)(A)(B)(⑷("Ly)⑻

_______,1.........】,_____[___]_______門

05dB20圖1-34dBi16圖2

(2)如圖2,借助數軸，把小紅與爺爺的年齡差看作木棒AB,類似地爺爺是小紅那么大時

看作當點B移動到點A時，此時點A所對應的數為-34；小紅是爺爺那么大時看作當點A移

動到點B時，此時點B所對應的數為116.

...爺爺比小紅大[116-(-34)]4-3=50(歲)，則爺爺的年齡為116-50=66(歲).故爺爺現

在66歲.

方法歸納本題考查了數軸的應用和數形結合思想，解題的關鍵是把爺爺與小紅的年齡差看

作一個整體(木棒AB).

易錯誤區解題時要用好數軸，在數軸上準確地畫圖，注意所使用的線段AB的實際意義.

畬

觀察下列每對數在數軸上的對應點之間的距離：4與-2,3與5,-2與-6,-4與3,回答下

列各題.

(1)你能發現所得距離與這兩個數的差的絕對值有什么關系嗎？

(2)若數軸上的點A表示的數為x,點B表示的數為-1,則點A與點B兩點間的距離可以

表示為.

(3)結合數軸求得Ix-2I+|x+3I的最小值為，取得最小值時x的取值范圍

為.

(4)滿足Ix+1I+|x+4|〉3的x的取值范圍為.

思路點撥(1)通過觀察容易得出結論.(2)在數軸上找到點B所在的位置，點A可以位于

數軸上的任意位置，分三種情況進行分類討論.(3)(4)根據(2)中的結論，利用數軸分析.

解題過程(1)相等.

(2)結合數軸，分以下三種情況：

一!士:當xWT時，距離為-x-1

二―x0*當-IXxWO時，距離為x+1

一^0―"當x>0時，距離為x+]

綜上，我們得到A與B兩點間的距離可以表示為x+1.

(3)Ix-2|,即x與2的差的絕對值，它可以表示數軸上x與2之間的距離；|x+3l=l

x-(-3)I,即x與-3的差的絕對值，它也可以表示數軸上x與-3之間的距離.

如圖，x在數軸上的位置有三種可能：

六2-"圖]甘―XL圖2甘2-L圖3

圖2符合題意，Ix-2I+Ix+3|的最小值為5,取得最小值時x的取值范圍為-3WxW2.

(4)同理Ix+1I表示數軸上x與T之間的距離，Ix+4|表示數軸上x與-4之間的距離.

，本題即求當x在什么范圍內時x與-1之間的距離加上x與-4之間的距離會大于3.

借助數軸，我們可以得到正確答案：x<-4或x>7.

方法歸納借助數軸可以使有關絕對值的問題轉化為數軸上的距離問題，反之，有關數軸上

的距離問題也可以轉化為絕對值問題.這種相互轉化在解決某些問題時可以帶來方便.事實

上，Ia-bI表示的幾何意義就是在數軸上表示數a與數b的兩點之間的距離.這是一個很有

用的結論，我們正是利用這一結論并結合數軸的知識解決了(3)(4)這兩道難題.

易錯誤區Ia-bI表示的幾何意義就是在數軸上表示數a與數b這兩點之間的距離，|

a+b|表示的幾何意義就是在數軸上表示數a與數-b這兩點之間的距離.

拓展訓練

A組

1.如圖，數軸上有A,B,C,D四個點，其中到原點距離相等的兩個點是().

ABCD

―I-----------A------------1~~?-?------------4-

-2-1012

(第1題)

A.點B與點DB.點A與點Cc.點A與點DD.點B與點C

2.符號語言“|a|=-a(aWO)”所表達的意思是(

A.正數的絕對值等于它本身B.負數的絕對值等于它的相反數

C.非正數的絕對值等于它的相反數D.負數的絕對值是正數

3.如圖，點A表示的有理數是a,則a,-a,1的大小順序為().

A.a<-a<lB.-a<a<lC.a<l<-aD.l<-a<a

8L9St￡Z1moo

IIIIIII

"^ia0"-4-3-2-101234

(第3題)(第4題)

4.如圖，將刻度尺放在數軸上(數軸的單位長度是1cm),刻度尺上“0cm”和“3cm”分別

對應數軸上的3和0,那么刻度尺上“5.4cm”對應的數軸上的數為().

A.5.4B.-2.4C.-2.6D.-1.6

5.已知點A在數軸上的位置如圖，則點A表示的數的相反數是.

A

][[[：r11111111111r

-2-1012QPRST

(第5題)(第6題)

6.如圖，數軸上點Q、點P、點R、點S和點T分別表示五個數，如果點R和點T表示的數

互為相反數，那么這五個點所表示的數中，點對應的數絕對值最大.

7.推理題.

(1)5的相反數是-5,-5的相反數是,那么-x的相反數是,m+12n的相反

數是.

(2)數軸上到點2和點6距離相等的點表示的數是4,有這樣的關系4=12(2+6),那么到點

100和到點999距離相等的點表示的數是,到點m和點-n距離相等的點表示的數

是?

(3)數軸上點4和點9之間的距離為5個單位，有這樣的關系5=9-4,那么點10和點-3之

間的距離是，點m和點n之間的距離是.

8.閱讀：因為一個非負數的絕對值等于它本身，負數的絕對值等于它的相反數，所以當a20

時、IaI=a；當a<0時;IaI=-a.根據以上閱讀完成：

(1)I3.14-Jt|=.

9.已知|x-21+1y+31+1z-51=0,求：

(1)x,y,z的值.

(2)|x|+|y|+|z|的值.

10.結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：

(1)數軸上表示4和1的兩點之間的距離是；表示-3和2的兩點之間的距離

是;一般地，數軸上表示數m和數n的兩點之間的距離等于|m-n|.如果表示數a

和-2的兩點之間的距離是3,那么a=.

(2)若數軸上表示數a的點位于-4與2之間，求|a+4|+|a-2]的值.

11.有理數a,b,c在數軸上的對應點如圖，且a,b,c滿足條件10IaI=5IbI=2IcI

=10.

(1)求a,b,c的值.

(2)求|a-2b|+|b-2cI+Ic-2a|的值.

0h(第11題)

12.如圖1,已知數軸上有三點A,B,C,它們對應的數分別為a,b,c,且c-b=b-a,點C

對應的數是10.

(1)若BC=15,求a,b的值.

(2)如圖2,在(1)的條件下，。為原點，動點P,Q分別從點A,C同時出發，點P向左

運動，運動速度為每秒2個單位長度，點Q向右運動，運動速度為每秒1個單位長度，N為

OP的中點，M為BQ的中點.

①用含t的代數式表示PQ,MN.

②在點P,Q的運動過程中，PQ與MN存在一個確定的等量關系，請指出它們之間的關系，

并說明理由.

ABC__________________■?1"I，，?■I—1

b丁PANBOMCQ

圖1圖2

(第12題)

B組

13.對于任何有理數a,下列一定為負數的是().

A.-(-3+a)B._aC.-Ia+1ID.-IaI-1

14.有理數a,b在數軸上的對應位置如圖，則下列四個選項正確的是().

A.a<b<-b<-aB.a<-b<-a<bC.a-b>0D.-a+b>0

Ob

(第11題)

15.如圖，圓的周長為4個單位長度.在該圓的4等分點處分別標上數字0,1,2,3,先讓

圓周上表示數字0