高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1遼寧省名校聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，.故選：C2.“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】或，或，但或，故“”是“”的充分而不必要條件，A正確，BCD錯(cuò)誤.故選：A3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.4 B.60 C.68 D.52【答案】D【解析】，∴，∴，故選：D.4.學(xué)校放三天假，甲?乙兩名同學(xué)打算去敬老院做志愿者，甲同學(xué)準(zhǔn)備在三天中隨機(jī)選一天，乙同學(xué)準(zhǔn)備在前兩天中隨機(jī)選一天，則甲乙選擇同一天的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】甲同學(xué)有3種選擇，乙同學(xué)有2種選擇，故共有種選擇，其中甲乙選擇同一天的情況有2種，故甲乙選擇同一天的概率為.故選：C5.若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的定義域?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以.故選：B6.設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】點(diǎn)在上，則，且或，因，則，，則，解得，故或.故選：B7.對(duì)任意，都有，且不恒為0，函數(shù)，則（）A.0 B.2 C.4 D.6【答案】B【解析】令，可得，所以，令，可得，因?yàn)椴缓銥?，所以，所以是奇函數(shù)，因?yàn)?，所?故選：B.8.已知，向量，且的最小值為，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】延長(zhǎng)至，使，則，所以共線，又的最小值為，且，所以為等腰三角形，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，則，所以是等邊三角形，取的中點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即的最小值為.故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9.有一組樣本數(shù)據(jù)、、、，其平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差分別記為、、、，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)、、、，其中，其平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差分別記為、、、，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由平均數(shù)的性質(zhì)可得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，不妨設(shè)，若為奇數(shù)，設(shè)，則數(shù)據(jù)、、、的中位數(shù)為，若，新樣本數(shù)據(jù)由小到大依次為、、、，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為；當(dāng)，新樣本數(shù)據(jù)由小到大依次為、、、，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為；若為偶數(shù)，同理可知，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由方差的性質(zhì)可得，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若、是、、、中最大值、最小值，當(dāng)時(shí)，則為、、、中的最大值，為、、、中的最小值，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則為、、、中的最小值，為、、、中的最大值，此時(shí)，，D錯(cuò).故選：ABC.10.若，記為不超過的正整數(shù)中與互質(zhì)（兩個(gè)正整數(shù)除1之外，沒有其余公因數(shù)）的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如，則下面選項(xiàng)正確的是（）A.B.C.若是質(zhì)數(shù)，則D.【答案】BC【解析】不超過14且與14互質(zhì)的正整數(shù)有，共6個(gè)，即，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；不超過16且與16互質(zhì)的正整數(shù)有，共8個(gè)，即，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；若是素?cái)?shù)，與前個(gè)正整數(shù)均互素，可得，所以C選項(xiàng)正確；若，則，然而必為偶數(shù)，故比小的數(shù)中所以偶數(shù)與不互質(zhì)，而且為奇數(shù)也與不互質(zhì)，此時(shí)，當(dāng)為合數(shù)時(shí)，還會(huì)存在至少1個(gè)數(shù)與不互質(zhì)，此時(shí).例如時(shí)，，，∴，，此時(shí)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.11.在正三棱臺(tái)中，分別是線段上的點(diǎn)，是上、下底面的中心，是底面內(nèi)一點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.B.若平面，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)等于C.D.當(dāng)時(shí)，四點(diǎn)構(gòu)成的圖形為直角梯形【答案】AC【解析】A選項(xiàng)，顯然⊥底面，取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，則，所以，故，A正確；B選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)榍遥运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，又平面，平面，所以平面，故?dāng)在上時(shí)，滿足平面，故的軌跡長(zhǎng)度為，其中，由余弦定理得，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)不等于，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，，，，又棱臺(tái)的體積為，所以，C正確；D選項(xiàng)，四邊形為等腰梯形，當(dāng)與重合，時(shí)，，但此時(shí)與平行，故與不平行，此時(shí)四點(diǎn)構(gòu)成的圖形不為直角梯形，D錯(cuò)誤.故選：AC三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則__________.【答案】2【解析】由焦半徑公式得，點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離，解得.故答案為：213.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則__________.【答案】【解析】因?yàn)閷?duì)任意復(fù)數(shù)，都有，又，所以，所以，所以.故答案為：.14.的最大值為__________.【答案】25【解析】設(shè).則在橢圓上，在圓上..設(shè)是上一點(diǎn)，，∵，∴，即，∴當(dāng)共線的時(shí)，取最大值，此時(shí)最大，最大值為5，∴.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖1，在中，，，、兩點(diǎn)分別在、上，使.現(xiàn)將沿折起得到四棱錐，在圖2中.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的正切值.（1）證明：在圖1的中，，所以，，且，，因?yàn)椋?，，則，，在中，，，，則，在圖2的中，，，，滿足，所以，，因?yàn)椋?，，、平面，所以，平?（2）解：解法一：因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，設(shè)平面一個(gè)的法向量，則，取，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，取，則，設(shè)平面與平面所成角為，則，所以，，.因此，平面與平面所成角的正切值為；解法二：過在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，由（1）知平面，因?yàn)槠矫妫瑒t，因?yàn)椋?、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫裕驗(yàn)?，，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，則，所以，為平面與平面所成的角，設(shè).在中，，，，，所以，，，在中，，，，，所以，，則，在中，，所以，平面與平面所成角的正切值為.16.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由函數(shù)，其中，可得，當(dāng)時(shí)，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，令，解得或，所以單調(diào)遞增區(qū)間為及；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，令，解得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為及.綜上可得：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為及；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為及.（2）由（1）知，當(dāng)，在單調(diào)遞增，所以，令，可得，所以；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，令，可得，令，可得，所以為單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)榍遥?，綜上可得：實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.在中，角所對(duì)的邊分別是，且滿足（1）求角的大小；（2）若，求面積的最大值；（3）求的取值范圍.解：（1）由正弦定理得，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)椋?（2）由余弦定理得：，代入得：，根據(jù)基本不等式，得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，的面積為：，故面積的最大值為.（3）令，則，所以可化為：因?yàn)?，由二次函?shù)的圖像性質(zhì)得到，當(dāng)時(shí)，原式大于，當(dāng)時(shí)，原式取得最大值，故的取值范圍為18.甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為，恰有2個(gè)黑球的概率為，恰有1個(gè)黑球的概率為.（1）求和；（2）求證：是等比數(shù)列；（3）求的數(shù)學(xué)期望（用表示）.（1）解：依題意，，，，.（2）證明：設(shè)表示次取球后甲口袋有2個(gè)黑球，表示次取球后甲口袋有1個(gè)黑球，表示一次操作甲乙都取的是白球，表示一次操作甲取的是白球同時(shí)乙取的是黑球，表示一次操作甲取的是黑球同時(shí)乙取的是白球，表示一次操作甲，乙都取黑球，當(dāng)時(shí)，則，，，，因此，即，，所以是為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列.（3）解：依題意，的分布列為012期望，由（2）得，所以.19.已知圓為坐標(biāo)原點(diǎn)，過圓上一動(dòng)點(diǎn)作圓切線交圓于兩點(diǎn)，直線交圓于兩點(diǎn).（1）四邊形的面積是否是定值，直接給出結(jié)果，不必證明；（2）對(duì)平面上所有點(diǎn)進(jìn)行如下變換，（即：原坐標(biāo)在這個(gè)變換下的新坐標(biāo)為），圓、圓、直線分別變換成，點(diǎn)變換成.①寫出的方程，與是否相切，證明你的結(jié)論；②四邊形的面積是否是定值，請(qǐng)說明理由.解：（1）由與垂直，四邊形的面積