高級中學名校試題PAGEPAGE1遼寧省錦州市2025屆高三下學期質量檢測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，若,則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，若，不滿足集合元素的互異性，故，故結果選A.2.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點在第二象限，則復數(shù)對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因為復數(shù)對應的點在第二象限，所以可設，因為，所以，所以，，所以復數(shù)對應的點在第三象限.故選：.3.已知平面直角坐標系中的兩個向量a＝（1，2），b＝（m，3m－2），且平面內(nèi)的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb（λ，μ為實數(shù)），則實數(shù)m的取值范圍是（）A.（－∞，2）B.（2，＋∞）C.（－∞，＋∞）D.（－∞，2）∪（2，＋∞）【答案】D【解析】由題意，知向量a，b不共線，故2m≠3m－2，即m≠2.4.已知圓錐的底面半徑為1，側面積為，過其底面圓周上一點A作平面，若截圓錐得到的截面曲線為橢圓，則該橢圓長軸長的最小值為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】因為圓錐的底面半徑為1，側面積為，所以圓錐的母線為，所以圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形，如圖所示，當該橢圓的長軸垂直于母線時，此時橢圓的長軸長取得最小值，且最小值為邊長為2的正三角形的高，因為，所以橢圓的長軸長的最小值為.故選：.5.5G技術在我國已經(jīng)進入高速發(fā)展的階段，5G手機的銷量也逐漸上升．某手機商城統(tǒng)計了1至5月份5G手機的實際銷量，如下表所示：月份x1月2月3月4月5月銷售量y（千只）0.50.61.01.41.7若y與x線性相關，且求得線性回歸方程為，則下列說法不正確的是（）A.由題中數(shù)據(jù)可知，B.由題中數(shù)據(jù)可知，6月份該商城5G手機的實際銷量為2（千只）C.由題中數(shù)據(jù)可知，變量x和y正相關，且相關系數(shù)一定小于1D.若不考慮本題中的數(shù)據(jù)，回歸直線可能不過，，…，中任一個點【答案】B【解析】對于A，由表格可知，，，則，故A正確；對于B，將代入，可得，所以6月份該商城5G手機的實際銷量預測為2（千只），故B錯誤；對于C，因為回歸方程為，所以變量x和y正相關，且樣本點不全在回歸方程上，所以相關系數(shù)一定小于1，故C正確；對于D，回歸直線可能不過樣本點中的任何一個點，故D正確；故選：B6.已知是方程的兩個實根，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】是方程的兩個實根，，①，②，①式②式得：，即，，即，得.故選：.7.設直線與x軸交于點A，圓，過l上一點P作圓O兩條切線，，C，D為切點，中點為M，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為直線與x軸交于點A，所以，因為為上一點，所以，設，，則，得直線的方程為，故同理得的方程為，，故直線的方程為，因為為中點，所以，所以方程為，即，聯(lián)立，消得，所以為為圓心，為半徑的圓，其中點到圓心的距離為，所以，，所以的取值范圍是，故選：A.8.若函數(shù)在上單調，為實數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，因為在上單調，所以無變號零點，則是方程的解，故，即，，令，則，令，解得，時，，時，,所以在上單調遞增，在上單調遞減，，所以，即；，令，在上單調遞增，無最值，則大小不確定，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知數(shù)列，其前n項和為，數(shù)列，其前n項和為，則下列說法正確的是（）A.若為等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列B.若，則數(shù)列為等比數(shù)列C.若，則時取到最小值D.若為等比數(shù)列，且，則【答案】AC【解析】因為為等差數(shù)列，所以前項和，所以，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故正確；因為，若，則所有項都為，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故錯誤；因為，所以，所以為等差數(shù)列，首項為，公差為，所以，此二次函數(shù)開口向上，對稱軸為，因為，所以當時，取到最小值，故正確；因為為等比數(shù)列，且，故公比不為1，所以，所以，所以，故錯誤.故選：.10.某數(shù)學研究小組發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的圖象是雙曲線，設其焦點為M，N，點P為其圖象上任意一點，則（）A.直線是它的一條漸近線 B.它的離心率為C.點是它的一個頂點 D.【答案】ABD【解析】因為函數(shù)中，當時，，所以函數(shù)在第一象限的圖象夾在直線和軸之間且無限接近于兩直線，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，所以直線和軸是雙曲線的漸近線，所以正確；因為兩漸近線的夾角為，所以雙曲線的焦點所在的直線是兩漸近線的角平分線所在直線，即，由，可得或，所以頂點坐標為，，所以錯誤；兩頂點之間的距離為，因為焦點為M，N，點P為其圖象上任意一點，根據(jù)雙曲線的定義可得，所以正確；若將雙曲線繞其對稱中心中心（原點）順時針旋轉可使直線變?yōu)檩S，其漸近線變?yōu)橹本€，則雙曲線的離心率，所以正確.故選：.11.已知函數(shù)，則（）A.在區(qū)間單調遞增B.的圖象關于直線對稱C.的值域為D.關于的方程在區(qū)間有實數(shù)根，則所有根之和組成的集合為【答案】BCD【解析】對于A：當時，所以，因為在上單調遞增，又，所以，因為，即，所以，即，所以，所以，又在上單調遞增，在上單調遞減，所以在上不單調，即在區(qū)間不單調，故A錯誤；對于B：因為，所以的圖象關于直線對稱，故B正確；對于C：因為，令，則，令，，則在上單調遞增，在上單調遞減，又，，，所以，所以的值域為，故C正確；對于D：當時，所以，由A選項可令且，則當時單調遞增，令，即時在上單調遞增，且，所以在上單調遞減，又，令，即時在上單調遞減，且，所以在上單調遞增，當，即時在上單調遞減，且，所以在上單調遞減，又，，，所以在上的函數(shù)圖象如下所示：由圖可知：①當時與有且僅有一個交點，即關于的方程在區(qū)間的實數(shù)根為；②當或時與有兩個交點，即關于方程在區(qū)間有兩個實數(shù)根，且兩根關于對稱，所以兩根之和為；③當時與有四個交點，即關于的方程在區(qū)間有四個實數(shù)根，不妨設為且，所以與關于對稱，與關于對稱，所以；④當或時與無交點，即關于的方程在區(qū)間無實數(shù)根；綜上可得，若關于方程在區(qū)間有實數(shù)根，則所有根之和組成的集合為，故D正確；故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在的二項展開式中，若只有的系數(shù)最大，則__________．【答案】10【解析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質，由于只有第項的二項式系數(shù)最大，故答案為10.13.函數(shù)的最小值為_________．【答案】2【解析】令，則，令，解得，當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；故，則.因為，所以當且僅當時等號成立，因此的最小值為2．故答案為：.14.已知球O的體積為，正四面體的頂點B，C，D都在球O的表面上，球心O為的外心，棱與球面交于點P，若平面，平面，平面，平面，平行且與之間的距離為同一定值，棱，分別與交于點Q，R，則的周長為______．【答案】【解析】由已知，連接，設與之間的距離為d，設球O的半徑為R，因為球O的體積為，則，解得，所以，所以，即正四面體的棱長為3，所以，因為球心O為的外心，則在正四面體中，平面，又平面，則，由A，P，B三點共線，故存在實數(shù)使得，所以，所以，即，解得，所以，所以，所以，又且與之間的距離為d，則，，所以，，所以，，則，則，在中，，則由余弦定理，，所以的周長為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.甲、乙兩人對比進行射擊訓練，共進行100個回合．每個回合．甲、乙各射擊一次，甲、乙每次至少都擊中8環(huán)，統(tǒng)計資料顯示甲擊中8環(huán)，9環(huán)，10環(huán)的概率分別為0.7，0.2，0.1，乙擊中8環(huán)，9環(huán)，10環(huán)的概率分別為0.6，0.2，0.2，且甲、乙兩人射擊相互獨立．記第i個回合甲、乙擊中的環(huán)數(shù)分別為，，，2，…，100．（1）在某一個回合訓練中，已知乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)，求甲擊中10環(huán)的概率：（2）中心極限定理是概率論中的一個重要結論：若隨機變量，則當且時，可以由服從正態(tài)分布的隨機變量近似替代，且的期望與方差分別與的均值與方差近似相等．根據(jù)該定理，設滿足（，2，…，100）的i值有k個，利用正態(tài)分布估計的概率．（結果保留小數(shù)點后兩位）附：（若，則，，．）【答案】解：（1）設在一個回合訓練中，乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)為事件，甲擊中10環(huán)為事件，則，，則所求概率為；（2）由題意100個回合中，滿足的值有個，由（1）知：，所以，，又，所以，，故，，由正態(tài)分布的對稱性可知，估計的概率為.16.如圖，在三棱錐中，，，．（1）證明平面平面；（2）若E，F(xiàn)分別為棱，的中點，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因為在中，，又，所以，如圖，過點D作于點O，連接，則，因為，，所以，所以且，又，所以，所以，又，平面ABC，所以平面，平面，所以平面平面.（2）解：因為，，兩兩垂直，如圖，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，，的一個方向向量，軸，所以的一個方向向量，設平面的法向量，則，令可得，平面的一個法向量，又平面的一個法向量，設平面與平面的夾角為，則.17.已知．（1）若在上單調遞增，求a的取值范圍；（2）若的圖像在處的切線為，求a與b的值，并證明時，．解：（1）若在上單調遞增，則對恒成立，設，則在上恒成立，所以在上單調遞減，所以只需，即，所以a的取值范圍是.（2）因為，，所以在處切線方程為，根據(jù)題意，該切線為，所以，解得，，所以，因為，所以，下面證明：，（法一）先證，即，令，，則，所以在是增函數(shù)，所以，即，①再證，即，令，則，當時，，當時，，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以，即，所以，②由①②得，綜上，在上成立．（法二）設，則，因為兩個函數(shù)均在上單調遞增，所以在上單調遞增，因為，，所以使，所以，即，當時，，時，，所以在單調遞減，在單調遞增，所以，當且僅當時等號成立，因為，所以，即，所以在上成立.18.已知橢圓，中心在原點，且與拋物線有相同的焦點，且橢圓上的點到點距離的最小值為1．（1）求圓的標準方程；（2）過點作直線交橢圓于兩點，過點作直線的垂線，為垂足，連接與y軸交于點，求面積的最大值．解：（1）拋物線的焦點為，所以橢圓的一個焦點為，設橢圓，則，又因為橢圓上的點到點距離的最小值為1，即，所以，，所以橢圓；（2）由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為，，，則，由，得，，所以，，令，得．因為，代入上式得，所以，設到直線的距離為d，則，，所以，因為，所以，當且僅當時等號成立所以，即面積的最大值為．19.表示正整數(shù)a，b的最大公約數(shù)，若，且，，則將k的最大值記為，例如：，.（1）求，，；（2）已知時，.（i）求；（ii）設，數(shù)列的前n項和為，證明：.解：（1）依題