高級中學名校試題PAGEPAGE1湖南省長沙市四大名校2025屆高三下學期2月月考數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，由，解得，則，所以，故選：C.2.設復數滿足，則復數在復平面內對應的點在（）A.射線上 B.射線上C.直線上 D.直線上【答案】A【解析】對于復數，，其共軛復數..因，由，可得.因為等式右邊，所以，即.對兩邊同時平方得，即.兩邊同時開平方得，又因為，所以復數在復平面內對應的點在射線上.故選：A.3.已知向量，向量與向量的夾角為，則的最小值為（）A.2 B. C. D.1【答案】B【解析】設，又，所以，根據二次函數性質，所以當時，，故選：B.4.設，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，其中，所以，所以，故選：D.5.數列中，，若是數列的前項積，則的最大值（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意得，，所以，所以，因為，所以當或8時，取得最大值為，故選：A.6.已知函數的最小正周期為，且函數為奇函數，則當時，曲線與的交點個數為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】，由已知函數的最小正周期為，則，所以，其中，且，又由為奇函數知函數圖象的一個對稱中心為，則有，解得，所以，所以，即.畫出與圖象如圖所示：由圖可知，曲線與交點個數為4.故選：B.7.設函數，當時，方程有且只有一個實根，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】由得，.令，則原問題等價于有且僅有一個零點.因為，所以為偶函數，根據偶函數的對稱性可知的零點只能為0，即，解得.當時，則.因為，當且僅當時，等號成立，所以，即有且僅有一個零點0，所以符合題意，故選：D.8.在四面體中，，且與所成的角為.若該四面體的體積為，則它的外接球半徑的最小值為（）A. B.2 C.3 D.【答案】B【解析】依題意，可將四面體補形為如圖所示的直三棱柱.因為與所成的角為，所以或.設，外接球半徑記為，外接球的球心如圖點.易知平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，于是，所以.中，，在中，由余弦定理得，顯然當時，外接球的半徑會更小，此時，所以，所以，故它的外接球半徑的最小值為2.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某公司為保證產品生產質量，連續10天監測某種新產品生產線的次品件數，得到關于每天出現次品的件數的一組樣本數據：，則（）A.極差是4 B.眾數等于平均數C.方差是2 D.第25百分位數為12【答案】ABD【解析】數據從小到大排列為：.對于選項A，該組數據的極差為，故A正確；對于選項B，眾數為13，平均數為，所以眾數與平均數相等，故B正確；對于選項C，方差為，故C錯誤；對于選項D，由，則第25百分位數為12，故D正確，故選：ABD.10.設點是曲線上一點，曲線在點處的切線為，則（）A.，函數為奇函數B.，函數有且僅有一個極小值點C.當時，直線與兩坐標軸圍成的圖形面積為8D.當時，直線與直線和所圍成的圖形面積為8【答案】ACD【解析】對于選項A，因為，故A正確；對于選項B，當時，反比例函數無極小值和極大值，故B錯誤；對于選項C，當時，，設，則切線為方程為，它與兩坐標軸的交點分別為和，它們圍成的圖形面積，故C正確；對于選項D，當時，.設，則切線為的方程為，它與直線的交點為，它與直線的交點為，它們圍成的圖形面積.，故D正確，故選：ACD.11.某學習小組用曲線：和拋物線部分曲線圍成了一個封閉的“心形線”，過焦點的直線交（包含邊界點）于兩點，點是坐標原點，點是或上的動點，下列說法正確的是（）A. B.C. D.的最大值為【答案】ACD【解析】可變形為，表示以為圓心，2為半徑的圓的右半部分，可變形為，表示以為圓心，2為半徑的圓的右半部分.對于A選項，拋物線過點，解得，故A正確；對于B選項，當點三點共線時，，故B選項錯誤；對于C選項，因為是拋物線的焦點弦，所以當為通徑時，；如圖：直線的方程為，由對稱性可設，可得，代入拋物線并整理得，可得所以即直線的方程為，，此時弦最長，且，故C正確；對于D選項，由對稱性不妨設，當在點時，，所以，顯然離最遠的點在上，且.（：到距離，：到距離）聯立，整理得，則，則，所以，設，由在上單調遞增，易得在上單調遞增，所以的最大值為，故D正確，故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，若，則__________.【答案】【解析】展開式的通項公式為,由，故的系數為而，得，解得.故答案為：13.已知雙曲線：（，）的右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點．若，則的離心率為______.【答案】【解析】雙曲線：的右頂點為，一條漸近線，即，∵圓的半徑為，且，∴，∴到漸近線的距離為，又到漸近線的距離，∴，則，則的離心率為．故答案為：．14.已知，且，則的最大值是__________.【答案】【解析】因為，所以，即，即.又，等號當且僅當時成立，所以的最大值是.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.記的內角所對的邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求的面積.解：（1）由，及正弦定理得，因為為三角形內角，故，故得，又為三角形內角，或.（2）由得，又，所以.由（1）得，故，而為三角形內角，.由正弦定理，得，故的面積.16.甲、乙兩人進行知識問答比賽，共進行多輪搶答賽，每輪比賽中有3道搶答題，每道題均有人搶答，其計分規則為：初始甲、乙雙方均為0分，答對一題得1分，答錯一題得分，未搶到題得0分，最后累計總分多的人獲勝.假設甲、乙搶到每題的成功率相同，且兩人每題答題正確的概率分別為和.求：（1）甲在每輪比賽中獲勝的概率；（2）甲前二輪累計得分恰為4分的概率.解：（1）設甲在一輪比賽中獲勝為事件，甲在一輪比賽中共搶到道題為事件，則，又，所以.（2）設甲前二輪累計得分恰為4分的事件為，甲在一輪比賽中得分的事件為，則，，所以.17.如圖，在多面體中，的中點為.（1）求證：四點共面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.（1）證明：連接，由為中點，得，由，得，而平面，則平面，同理平面，又平面與平面有公共直線，所以四點共面.（2）解：由（1）知，是二面角的平面角，設，由，得，則，，直線兩兩垂直，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，設平面的法向量為，則，取，得，設直線與平面所成角為，依題意，，即，平方化簡整理得，而則，即，又，則，，所以所求二面角的余弦值為.18.已知函數和的圖象在處有相同的切線.（1）求實數和的值；（2）求函數的極值；（3）當時，不等式恒成立，求實數的取值集合.解：（1），據題意有：，聯立解得.（2）由（1）知，，所以函數且，所以，因此函數在和單調遞減，在和單調遞增，其大致圖象如圖，故函數只有唯一的極大值，無極小值.（3）當時，不等式恒成立等價于不等式恒成立，顯然有，令，則恒成立，而，當時，，所以在上單調遞增，所以，當時，，符合題意；當時，記，則拋物線的開口向上，對稱軸為，又，所以當時，，從而，所以在上單調遞減，故當時，，不符合題意，所以，再令，則恒成立，而，當時，，所以在上單調遞減，所以當時，，符合題意，當時，記，則拋物線的開口向下，對稱軸為，又，所以當時，，從而，所以在上單調遞增，故當時，不符合題意，綜上可知，實數的取值集合為.19.已知橢圓經過點，其右頂點為，上頂點為為坐標原點，且離心率為.（1）設在點處的切線，其斜率為的斜率為，求的值；（2）過在第一象限的點作橢圓的切線，分別與軸，軸交于點，且為線段的中點，記以點為中心，軸，軸為對稱軸，且過點的橢圓為，依此類推，，，過橢圓在第一象限的點作橢圓的切線，分別與軸，軸交于點，，且為線段的中點，記以點為中心，軸，軸為對稱軸，且過點，的橢圓為，由此得到一系列橢圓.（i）求的方程；（ii）過點作直線與橢圓分別交于，求證：.（附：若