高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江西省多校聯(lián)考2025屆高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)12，13，12，15，18，19，20，則這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為（）A.12 B.13 C.15 D.18【答案】B【解析】將這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為：12，12，13，15，18，19，20，因為，所以這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為13.故選：B2.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以虛部為，故選：B3.曲線的對稱軸方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)曲線的對稱軸方程為，則，即.故選：A4.已知第一個正四棱臺的上底面邊長為，下底面邊長為，側(cè)棱長為4cm，第二個正四棱臺的上底面、下底面邊長與第一個相同，但高為第一個正四棱臺的3倍，則第二個正四棱臺的體積為（）A B. C. D.【答案】C【解析】由題意知第一個正四棱臺上底面邊長為，下底面邊長為，側(cè)棱長為4cm，如圖：設(shè)第一個四棱臺上下底面中心為，連接，結(jié)合正四棱臺性質(zhì)可知四邊形為直角梯形，且，故，即棱臺的高為，則第二個正四棱臺的高為，故第二個正四棱臺的體積為.故選：C.5.在規(guī)定時間內(nèi)，甲、乙、丙能完成某項學(xué)習(xí)任務(wù)的概率分別為0.5，0.6，0.5，且這三人是否能按時完成任務(wù)相互獨立．記甲、乙、丙三人中能按時完成這項學(xué)習(xí)任務(wù)的人數(shù)為，則（）A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8【答案】B【解析】由題意可知的可能取值為0，1，2，3，，，，所以所以，故選：B6.設(shè)為的重心，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，設(shè)為的中點，連接，則點在上，且，故，所以故選：A.7.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，因為，所以，則.故選：A.8.設(shè)直線：，：．若存在定圓Q，使得這兩條直線與圓Q都相切，則圓Q上一點到點的距離的最大值為（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】由：，得，由：，得，設(shè)，則點到直線的距離為，點到直線的距離為，要使點為定點，且，則，即，此時定圓Q的圓心為，半徑為1，所以圓Q上一點到點的距離的最大值為.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知集合，則下列判斷正確的是（）A.B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】當(dāng)時，，則，正確.設(shè)，，則未必屬于錯誤.，因為，所以，所以，D正確.同理可得C正確.故選：ACD10.若存在點P，使得過點P可作曲線的兩條切線，切點為A和B，且是銳角，則可能為（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】若過點可作曲線的兩條切線，設(shè)切點，不妨設(shè)，則函數(shù)在處的切線方程為，在處的切線方程為，則兩切線交點為，所以有，且，即，，由，，則可得.A項，，則，所以，由函數(shù)有兩條漸近線，軸與直線，兩漸近線夾角為，如圖1可知，，又不共線，則可能為銳角.例如：當(dāng)時，此時，不共線，則為銳角，故A正確；B項，，則，所以，如圖可知，，則，故，又不共線，所以恒為鈍角，故B錯誤；C項，，則，所以，其中，若，且，則，如圖所示，不共線，可以取到銳角，故C正確；D項，，則，故，，故曲線在處的切線為，在處的切線為，此時兩切線夾角為.，結(jié)合圖可知，，則，故，所以，故D錯誤；故選：AC.11.已知點，，，，點P為曲線C：上一點，則（）A.存在無數(shù)個點P，使得為定值B.存在無數(shù)個點P，使得為定值C.僅存在2個點P，使得D.僅存在4個點P，使得【答案】ABD【解析】由曲線C：，可知曲線為：橢圓和橢圓，易知，為的焦點，，，為的焦點，存在無數(shù)個點P，使得為定值，存在無數(shù)個點P，使得為定值，故AB正確；由圖象可知：兩橢圓共有4個交點，所以僅存在4個點P，使得，故C錯，D對，故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則的最大值為______，此時______．【答案】①.②.【解析】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即的最大值為，此時.故答案為：；.13.在三棱錐中，O為的外心，底面ABC，，，且，則三棱錐外接球的表面積為______．【答案】【解析】如圖：設(shè)的外接圓半徑為，三棱錐外接球的半徑為.在中，，所以.記三棱錐外接球的球心為，由.故三棱錐外接球的表面積為：.故答案為：14.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，，則__________.【答案】2027【解析】因為，所以.（方法一）由條件得，所以.（方法二）設(shè)，則是定義在上奇函數(shù)，且，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，所以，即，故.故答案為：2027四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知拋物線C：經(jīng)過雙曲線D：的焦點，且D的離心率為．（1）求D的方程；（2）C與D的4個交點圍成一個梯形，求該梯形的高．解：（1）拋物線C：與軸焦點坐標為，則雙曲線D：的焦點坐標為，則，又，則，所以求雙曲線D的方程為.（2）聯(lián)立，解得或或或，則C與D的4個交點為，，，，則該梯形的高為.16.如圖，平面，點、位于平面的兩側(cè)，、、、四點共面，且．（1）證明：平面．（2）過點作平面的垂線，指出垂足的位置，并說明理由．（3）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：∵平面平面，，，平面平面，，平面.（2）解：過點作平面的垂線，垂足是的中點，因為平面平面，所以平面平面，又平面平面，取的中點，因為，所以平面，所以平面；（3）解：以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，又因為，所以則，，，設(shè)平面的法向量為，，則，取，平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，，則，取，平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面所成角為，，即平面與平面所成角的余弦值為.17.已知數(shù)列滿足，且，設(shè).（1）求；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）求數(shù)列的前項和.解：（1）由數(shù)列滿足，且，可得，解得.（2）因為，所以，所以，整理得，可得，即，又因為，所以數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，可得，所以.（3）由（2）知：，則，所以，設(shè)，則，所以，即.故.18.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足對恒成立，則稱為函數(shù).（1）試問是否為函數(shù)？說明你理由.（2）若為函數(shù)，求的取值范圍.（3）若為函數(shù)，證明：.解：（1）令，其中，因為、在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，所以，函數(shù)是函數(shù).（2）因為，則，，設(shè)，因為函數(shù)為函數(shù)，則對任意的，，即，因為二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，當(dāng)時，即當(dāng)時，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，只需，解得，此時，；當(dāng)時，即當(dāng)時，只需，解得，舍去，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.（3）令，，已知函數(shù)函數(shù)，即滿足：，所以，因此，在上嚴格遞增，又因為，所以：，即：，所以.19.現(xiàn)有位編號為1到的玩家，房間里有個盒子（盒子的編號為1到），將張編號為1到的紙條隨機放入這個盒子內(nèi)（每個盒子內(nèi)只放1張紙條）.玩家依次進入房間，且每人可以打開其中的任意個盒子，只有當(dāng)每個玩家都找到與自己編號相同的紙條時，才算挑戰(zhàn)成功.每個玩家開完盒子后都將盒子蓋上（紙條放回原處），恢復(fù)盒子的原狀.設(shè)各玩家開盒相互獨立，在挑戰(zhàn)開始后，各玩家不準交流.為了提升挑戰(zhàn)成功的概率，有人設(shè)計了一個新方案：讓每一位玩家進入房間后，先打開編號為自己編號的盒子（例如編號為2的玩家打開編號為2的盒子），若盒子里的紙條編號恰為玩家自己的編號，則該玩家退出房間，讓下一位玩家進入房間；若盒子里的紙條編號（設(shè)該編號為）不是該玩家自己的編號，則該玩家接著去打開編號為的盒子，依此類推，直到打開的盒子里的紙條編號與自己的編號相同，且前提是打開盒子的個數(shù)不能超過.（1）當(dāng)時，設(shè)第個盒子內(nèi)放的紙條編號為，試問采用新方案后，挑戰(zhàn)是否能成功？說明你的理由.（2）當(dāng)時，在第1個和第6個盒子內(nèi)放的紙條編號分別為6和1的前提下，求采用新方案挑戰(zhàn)成功的概率.（3）當(dāng)時，求采用新方案挑戰(zhàn)成功的概率.（4）若玩家數(shù)量無限增大，試問采用新方案挑戰(zhàn)成功的概率是否始終會大于0.3？說明你的理由.參考數(shù)據(jù)：①取；②當(dāng)很大時，可用近似替代，其中常數(shù).解：（1）編號為1的玩家先打開編號為1的盒子，該盒子內(nèi)紙條編號為，該玩家接著去打開編號為6的盒子，該盒子內(nèi)紙條的編號為，而，因此玩家1可以挑戰(zhàn)成功；編號為2的玩家先打開編號為2的盒子，該盒子內(nèi)紙條編號為，該玩家接著去打開編號為5的盒子，該盒子內(nèi)紙條的編號為，而，因此玩家2可以挑戰(zhàn)成功；同理可得其他4位玩家都會在打開的第2個盒子內(nèi)找到與自己編號相同的紙條，且，所以用新方案后，挑戰(zhàn)能成功.（2）在第1個，第6個盒子內(nèi)放的紙條編號分別為6和1的前提下，設(shè)第2個，第3個，第4個，第5個盒子內(nèi)放的紙條編號分別為，則的所有情況共有24種，其中采用新方案挑戰(zhàn)失敗的有，共6種，所以所求概率為（或0.75）.（3）采用新方案后，設(shè)編號為的玩家恰好打開了個盒子才找到與自己編號相同的紙條，則稱數(shù)字的循環(huán)周期為，在這100個盒子內(nèi)有100張編號互不相等的紙條，10