高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江西省部分校2025屆高三下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】已知集合，，則.故選：D.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，即，則.故選：C.3.已知向量滿足，，且，則夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，解?故選：A.4.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，即，可得，所以.故選：B.5.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以是偶函?shù)，排除選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)A，D．故選：C.6.為了得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，或向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度（均為正數(shù)），則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，，，即得，，，故得，，?dāng)時(shí)，的最小值是.故選：B7.已知函數(shù)若關(guān)于的方程恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖所示，設(shè)，則原方程可化為，解得或．由圖可知當(dāng)時(shí)，有2個(gè)根．因?yàn)樵匠逃?個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則有2個(gè)根，所以或或，解得或或，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.8.下面四個(gè)繩結(jié)中，可以無(wú)損傷地變?yōu)橄聢D中的繩結(jié)的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】題圖中的繩結(jié)是兩個(gè)相扣的圓環(huán)，而（1）與（3）中的繩結(jié)由一根繩子扭成，（4）中的繩結(jié)由兩個(gè)沒(méi)有相扣的圓環(huán)構(gòu)成，都不可能扭成題圖中的繩結(jié).（2）中的繩結(jié)可以無(wú)損傷地變?yōu)轭}圖中的繩結(jié).故這四個(gè)繩結(jié)中，可以無(wú)損傷地變?yōu)轭}圖中的繩結(jié)的個(gè)數(shù)是1.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.近年來(lái)，人工智能（AI）技術(shù)發(fā)展迅猛，其市場(chǎng)規(guī)模也在不斷變化．以下是收集到的2015年至2024年這十年間世界AI市場(chǎng)規(guī)模（單位：十億美元）的數(shù)據(jù)：年份2015201620172018201920202021202220232024市場(chǎng)規(guī)模6.49.513.820.129.040.758.080.4110.0150.0從表中數(shù)據(jù)可以得出的正確結(jié)論為（）A.2015年至2024年這十年間世界AI市場(chǎng)規(guī)模逐年增加B.2015年至2024年這十年間世界AI市場(chǎng)規(guī)模的第80百分位數(shù)為80.5C.2015年至2024年這十年間世界AI市場(chǎng)規(guī)模的方差比去掉其中的最小值與最大值后的方差大D.2015年至2024年這十年間世界AI市場(chǎng)規(guī)模與去掉其中的最小值與最大值后市場(chǎng)規(guī)模的中位數(shù)不變【答案】ACD【解析】從數(shù)據(jù)看2015年至2024年這十年間世界AI市場(chǎng)規(guī)模是逐年增加的，A正確；，所以第80百分位數(shù)為，B錯(cuò)誤；2015年至2024年這十年間世界AI市場(chǎng)規(guī)模的數(shù)據(jù)比去掉其中的最小值與最大值后市場(chǎng)規(guī)模的數(shù)據(jù)更加分散，方差更大，C正確；2015年至2024年這十年間世界AI市場(chǎng)規(guī)模與去掉其中的最小值與最大值后市場(chǎng)規(guī)模的中位數(shù)都是，D正確，故選：ACD10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的方程為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在第四象限，設(shè)直線的斜率分別為，下列結(jié)論正確的是（）A.若為正三角形，則 B.若為正三角形，則C. D.【答案】AC【解析】因?yàn)闉檎切?，所以點(diǎn)在的中垂線上，所以點(diǎn)的坐標(biāo)，所以，解得，A正確，B錯(cuò)誤．設(shè)，，且，則，．聯(lián)立方程組消去得，所以，．故，，C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.如圖1，在矩形中，已知，為的中點(diǎn)，分別沿和將和折起，使點(diǎn)、重合為一點(diǎn)，記為，得到三棱錐，如圖2，設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)一定在的平分線上 B.長(zhǎng)度的取值范圍為C.三棱錐的高的最大值為 D.三棱錐的體積的最大值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接，則，，設(shè)．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以．又平面，所以平面，從而平面平面，則點(diǎn)在平面內(nèi)的投影在射線上，且平分，故A正確．對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋裕?，得，則，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，由，得，，，設(shè)三棱錐的高為，則，令，，則，可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即三棱錐的高最大，且最大值為，故C正確．由上知三棱錐體積，令，，則，可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)，的值最大，體積的最大值為，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機(jī)變量的分布列為03其中成等差數(shù)列，則______．【答案】【解析】由題意可知，，，，故答案為：.13.已知圓的圓心在直線上，圓與軸相切，且圓截軸所得的弦長(zhǎng)為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，則，且半徑，所以，所以，解得，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：14.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，，若，則______．【答案】【解析】可化為．設(shè)，則，所以（為常數(shù)），則，所以，則．由，知，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)圖象上某點(diǎn)的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，求的圖象在該點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值之和．解：（1）設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以切線方程為，令，得，令，得，所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，解得，所以的圖象在該點(diǎn)處的切線方程為或；（2）因?yàn)?，所以，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，從而在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上的最大值與最小值之和為．16.在非等腰中，角對(duì)邊分別為，已知，．（1）求的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)椋?，即．因?yàn)?，所以，從而，則的外接圓直徑為．由，得，，得．因?yàn)榍?，所以且，所以，即的取值范圍為．?）．設(shè)，則，所以．又是上的增函數(shù)，從而在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以的取值范圍為．17.如圖所示幾何體是由直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面）被一個(gè)不平行于底面的平面所截得的，已知，，是線段上的一點(diǎn)，平面．（1）求的長(zhǎng)；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值；（3）在（2）的條件下，求平面和平面夾角的余弦值．解：（1）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．因?yàn)?，所以四點(diǎn)共面．又平面，平面，平面平面，所以，則四邊形是平行四邊形，從而．又，，，，所以由，可得．由，可得．所以．（2）由（1）知，又，，所以，即．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，由得取，得．設(shè)直線與平面所成的角為，則．（3）設(shè)平面的法向量為，，由得取，得．，所以平面與平面夾角的余弦值為．18.已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，且它的一條漸近線的方程為．（1）求雙曲線的方程；（2）若是雙曲線上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的兩條漸近線的平行線，與直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）分別交于點(diǎn)，證明：．（1）解：由題意知解得故雙曲線的方程為．（2）證明：設(shè)，，，直線的方程分別為，．因?yàn)?，，所以，，所以，．所以，．故．因?yàn)?，所以?9.已知數(shù)列滿足，．（1）求的通項(xiàng)公式．（2）對(duì)于數(shù)列的任意一個(gè)排列，即，是的一個(gè)排列，記集合．①當(dāng)時(shí)，設(shè)事件為“，”，求事件發(fā)生的概率；②求，并計(jì)算對(duì)應(yīng)排列的個(gè)數(shù)．解：（1）因?yàn)?，所以，兩式相減得，化簡(jiǎn)可得．在中，令，得，當(dāng)時(shí)，有，則．又也滿足上式，所以，即的通項(xiàng)公式為．（2）①由于，為一個(gè)排列，則當(dāng)時(shí)，的個(gè)數(shù)為，由，不妨設(shè)滿足，則有，，或，，或，，，共三種情況．同理可得或，對(duì)應(yīng)的排列都有三種情況，則事件包含的基本事件個(gè)數(shù)為9，所以．②因?yàn)?，所以，即．下面?duì)為偶數(shù)與奇數(shù)分別