高級中學名校試題PAGEPAGE1江蘇省鎮江市丹陽市2024-2025學年高一下學期3月質量檢測數學試題一、單項選釋題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.2.在中，點在線段上，且，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在中，由，得，則，所以.故選：A.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，則.故選：B.4.已知向量.若，則（）A.3 B.4 C.5 D.【答案】C【解析】因，則，因，，則，得.故選：C.5.已知向量，且在上的投影向量的坐標為，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知，則.因為在上的投影向量為，且投影向量的坐標為，所以.將，代入上式可得：，即，那么，解得.設向量與的夾角為，，可得：.因為，且，所以.

則向量與的夾角為.故選：A.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因，，可得，則.故選：D.7.已知，其中且，其中，則的值為（）A. B. C.2 D.3【答案】B【解析】∵，∴，，整理得：，由于，，所以，，左右同時乘以，則，即.故選：B.8.已知中，，若所在平面內一點滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取線段中點，則，則，則為線段的中點，，則，則.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列各式的值為的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A：因為，所以原式，A不符合；對于B：原式，B符合；對于C：原式，C符合；對于D：原式，D符合.故選：BCD.10.下列結論中正確的是（）A.若為非零向量，且，則B.對向量非零向量，若，則存在唯一實數使得C.在中，若，則與的面積之比為D.已知，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是【答案】BC【解析】A.若，則，則或，故A錯誤；B.此為共線定理，故B正確；C.令因，則，則為的重心，故，因，同理可得，則，故C正確；D.，當與共線時，有，得，因與的夾角為銳角，則且與不共線，則且，故D錯誤.故選：BC.11.如圖，在平面四邊形中，已知為的中點，為對角線的中點，下列選項中正確的是（）A.B.C.直線一定過的中點D.【答案】ACD【解析】連接，因分別為的中點，則，，則四邊形是平行四邊形，故C正確；則，則A選項正確；，則，則B選項錯誤；D.，則，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.12.已知，且是第一象限角，那么__________.【答案】【解析】因為為第一象限角，則，所以，又，所以，.13.在中，已知，點是的中點，點在上，且，則__________.【答案】【解析】在中，因為點是的中點，點在上，且，則，，則.14.式子的值為__________.【答案】【解析】.四、解答題：本大題共5小題，共77分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知是平面內兩個不共線的向量，.（1）若三點共線，求實數的值；（2）若四邊形為平行四邊形，點，且，求點的坐標.解：（1）.因為三點共線，所以存在實數，使得，即，得.因為是平面內兩個不共線的非零向量，所以，解得（2）設，則；因為，則，因為四邊形為平行四邊形，所以.所以，解得，即點的坐標為.16.已知角，且.（1）求的值；（2）求角的值.解：（1）法一：由，則，所以，解得：或，又，則，所以，所以.法二：因為，所以，又，則，則，所以，即，又，則，即，所以.（2）因為，所以，法一：因為①，②由①②得：，所以，又，則，所以.法二：則，所以.由，則，由，則，又在上為單調遞增函數，所以，故.17.在平面直角坐標系中，向量，其中.（1）若，求角的值；（2）記，若，求的值.解：（1）因為，則，化簡得：，即，又，即，所以，即.（2）由由，即，令，則，即，則18.如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，是扇形弧上的動點，記.（1）請用來表示平行四邊形的面積；（2）若.①求平行四邊形面積的最大值，以及面積最大時角的值；②記（其中），求的取值范圍.解：（1）過點作的垂線，垂足為，在中，，中，，則，所以，所以（2）①若，由題意可得，由（1）知：，故平行四邊形的面積，由于，故，故當時，即時，取得最大值為.②根據題意，建立如圖所示的坐標系，則，即，又，則，因，即，則，，解得：，，，由點是弧上一動點，則，則，所以即.則取值范圍為.19.如圖，在中，.若點分別在邊上，且滿足，直線與相交于點.（1）求的最小值；（2）當時.①求的值；②計算的值.解：（1）由，又，所以又點在邊上，則且，解得：所以當時