高級中學名校試題PAGEPAGE1江蘇省揚州市2023-2024學年高一下學期期末數學試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求.）1.設復數滿足，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】由可得，所以.故選：B.2.方程的解所在區間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，在上連續，且單調遞增，對于A，因為，，所以的零點不在內，所以A錯誤；對于B，因為，，所以的零點不在內，所以B錯誤；對于C，因為，，所以的零點在內，所以方程的解所在區間為，所以C正確；對于D，因為，，所以的零點不在內，所以D錯誤.故選：C.3.數據的45百分位數為（）A.73 B.76 C.77 D.78【答案】B【解析】因為，所以這10個數的45百分位數為第5個數76.故選：B.4.已知平面向量，則在上的投影向量為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由可得，，根據投影向量的定義可得在上的投影向量為.故選：A.5.如圖，為了測量河對岸兩點之間的距離，在河岸這邊找到在同一直線上的三點.從點測得，從點測得，從點測得.若測得（單位：百米），則兩點的距離為（）百米.A. B. C. D.3【答案】D【解析】在中，，，則，，在中，，，，則，，，在中，，，則，.故選：.6.在正方體中，分別是棱的中點，下列結論正確的是（）A. B.C.平面 D.平面平面【答案】C【解析】對于A，連接，如下圖所示：因為分別是棱的中點，所以，由正方體性質可得，因此可得，而相交，所以錯誤，即A錯誤；對于B，取的中點，連接，如下圖所示：易知，，所以即為異面直線與所成的角（或其補角）；不妨設正方體的棱長為2，則，，顯然，可知不是直角，所以與不垂直，即B錯誤；對于C，連接，如下圖所示：由正方體性質可得平面，而平面，所以；因為是正方形，所以，又，平面，所以平面，又因為分別是棱的中點，所以，可得平面，即C正確；對于D，如下圖所示：易知平面，且，而平面，所以平面；因此可得平面與平面有公共點，可知兩平面必有一條過的共公交線；因此平面平面是錯誤的，即D錯誤.故選：C.7.如圖，在中，是上的兩個三等分點，，則的值為（）A.50 B.80 C.86 D.110【答案】B【解析】因為在中，是上的兩個三等分點，，所以，，所以.故選：B.8.已知，則值（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故選：D.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.）9.在中，角所對的邊為，根據下列條件解三角形，其中僅有一解的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A，三角形中，已知三邊，由三角形全等知，三角形的形狀唯一確定，故僅有一解，即A正確；對于B，三角形中，已知兩個角和夾邊，由三角形全等知，三角形的形狀唯一確定，故僅有一解，即B正確；對于C，由正弦定理，可得，，因，則，因，結合正弦函數的圖象可知角有兩解，故C錯誤；對于D，三角形中，已知兩邊和夾角，由三角形全等知，三角形的形狀唯一確定，故僅有一解，即D正確.故選：ABD.10.連續拋擲兩次骰子，“第一次拋擲，結果向上的點數小于3”記為事件A，“第二次拋擲，結果向上的點數是偶數”記為事件B，“兩次拋擲，結果向上的點數之和為奇數”記為事件，則下列敘述中正確的有（）A.A與互斥 B.A與相互獨立C.與對立 D.【答案】BD【解析】A選項，事件A中的基本事件有，，事件B中的基本事件有，，，故，事件A和事件B不互斥，A錯誤；B選項，連續拋擲兩次骰子，共有36種情況，其中事件A中的基本事件數為12，故，事件C中的基本事件有，，共18種情況，故，事件AC中的基本事件有，共9種情況，故，由于，故A與相互獨立，B正確；C選項，由AB選項知，，事件B與事件C不互斥，故不對立，C錯誤；D選項，事件中的基本事件有，，，，，共24種情況，故，D正確.故選：BD.11.如圖，正方形的中心為，邊長為4，將其沿對角線折成直二面角，設為的中點，為的中點，則下列結論正確的有（）A.三棱錐的外接球表面積為B.直線與平面所成角的正切值為C.點到平面距離為D.三角形沿直線旋轉一周得到的旋轉體的體積為【答案】ACD【解析】對于A，由于，所以O為三棱錐的球心，表面積為，A正確；對于B，過M作MH⊥AC于H，則MH⊥平面ABC，所以∠MNH即為直線MN與平面ABC所成的角；易知MH=，NH=，所以，B錯誤；對于C，由，所以，又，所以，，所以，所以C到平面OMN的距離，C正確；對于D，過O作OT⊥MN于T，則旋轉體體積是以OT為底面半徑，以TM為高的圓錐的體積的兩倍，所以，D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知一個正四棱臺的體積為，上?下底面邊長分別為，則棱臺的高為__________.【答案】【解析】設棱臺高為，由棱臺的體積公式知，其中分別為上下底面面積.故答案為：6.13.若復數滿足，則的最小值是__________.【答案】【解析】如圖，設復數對應的點為，則由可知點到點的距離為1，即點的軌跡為以點為圓心，以1為半徑的圓，而則表示動點到原點的距離，由圖可知，圓上與原點距離最小的點為，故的最小值是1.故答案為：1.14.已知的面積為滿足條件，則__________；若，延長至點，使得，則__________.【答案】【解析】由題得，，因為，所以；由可得，設，由正弦定理可知，所以，如圖所示：過A作，交BC的于E點，，，所以在中可算得.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知.設.（1）若三點共線，求值；（2）若，求的值.解：（1）因為，，又因為三點共線，所以，則，解得.（2）由，可得，即，解得.16.某保險公司為了給年齡在20~70歲的民眾提供某種醫療保障，設計了一款針對某疾病的保險.現從10000名參保人員中隨機抽取100名進行分析，并按年齡段分成了五組，其頻率分布直方圖如圖所示，每人每年所交納的保費與參保年齡如下表所示：年齡保費（單位：元）（1）若采用分層抽樣的方法，從年齡段在和內的參保人員中共抽取6人進行問卷調查，再從中選取2人進行調查對該種保險的滿意度，求這2人中恰好有1人年齡段在內的概率.（2）由于10000人參加保險，該公司每年為此項保險支出的各種費用為200萬元.為使公司不虧本，則年齡段的參保人員每人每年需要繳納的保費至少為多少元？解：（1）由得，設“抽取2人中恰好有1人年齡段在內”為事件，由題設可知，年齡在和內的頻率分別為0.16和0.32，則抽取的6人中，年齡在內的有2人，年齡在內的有4人，記年齡在內2位參保人員為，年齡在的4位參保人員為，則從6人中任取2人，樣本空間，共包含15個樣本點，共包含8個樣本點，所以.（2）保險公司每年收取的保費為：，所以要使公司不虧本，則，即，解得，所以年齡段需要繳納的保費至少為250元.17.已知函數.（1）當時，求函數的值域；（2）求函數在區間上的所有零點之和.解：（1）易知，因為，所以，由正弦函數單調性可得，則的值域為.（2）因為，所以，由得，所以，解得，所以函數在區間上的所有零點之和為.18.如圖，在斜三棱柱中，側面為菱形，，為中點，與的交點為.（1）求證：//平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的正弦值.解：（1）如圖（1），連接，由三棱柱可知側面為平行四邊形，所以為中點；又因為為中點，所以//，又平面平面，所以//平面.（2）如圖（2），連接，由菱形可知，因為，可得為等邊三角形；因是中點，則，且；由可得，；因為，則有，即，又平面平面，故平面.（3）由（2）可知平面，因為平面，所以平面平面；如圖（3），過點作，垂足為，過作，垂足為，連接，因為平面平面平面，所以平面，因為平面平面，所以；因為平面平面，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，在中，，可得，在中，，可得，