山東省煙臺市牟平區2023-2024學年高二數學下學期6月月考試題一、單選題：1.已知函數的導函數是，若，則（）A. B.1 C.2 D.42.已知是等差數列的前項和，若，，則（）A.1 B.2 C.3 D.43.已知的二項式系數之和為64，則其展開式的常數項為（）A. B.240 C.60 D.4.下列說法正確的是（）A.隨機變量，則B.某人在7次射擊中，擊中目標的次數為且，則當時概率最大C.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，至少有一個黑球與至少有一個紅球是兩個互斥而不對立的事件D.從個紅球和個白球顏色外完全相同中，一次摸出個球，則摸到紅球的個數服從超幾何分布5.函數在定義域內有兩個極值點，則實數k的取值范圍為（）A. B. C. D.6.已知函數是奇函數，當時，，若的圖象在處的切線方程為，則（）A.4 B. C.2 D.7.若，且，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知，，，，則下列大小關系正確的是（）A. B. C. D.二、多選題9.已知等差數列的前項和為，，，則下列說法正確的是（）A. B.C.為遞減數列 D.的前5項和為10.學校食堂每天中午都會提供兩種套餐供學生選擇（學生只能選擇其中的一種），經過統計分析發現：學生第一天選擇套餐概率為，選擇套餐概率為；而前一天選擇了套餐的學生第二天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為；前一天選擇套餐的學生第二天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率也是；如此反復，記某同學第天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為；5個月（150天）后，記甲、乙、丙三位同學選擇套餐的人數為，則下列說法中正確的是（）A. B. C. D.11.已知函數（a為常數），若函數有兩個零點，，則下列說法正確是（）A B.C. D.三、填空題：12已知，，，則________.13.等差數列中，為的前n項和，，若不等式，對任意的恒成立，則實數k的取值范圍為_________.14.英國數學家布魯克?泰勒以發現泰勒公式、泰勒級數和泰勒展開式而聞名于世．計算器在計算，，，等函數函數值時，是通過寫入“泰勒展開式”程序的芯片完成的．“泰勒展開式”是：如果函數在含有的某個開區間內可以多次進行求導數運算，則當，且時，有．其中是的導數，是的導數，是的導數，階乘，．取，則的“泰勒展開式”中第三個非零項為______，精確到0.01的近似值為______．四、解答題：15.已知數列的首項為，且滿足.（1）求證：數列為等比數列；（2）設，記數列的前項和為，求，并證明：.16.已知函數．（1）求單調區間；（2）當時，證明：當時，恒成立．17.某學校為了解本學期學生參加公益勞動的情況，從學校內隨機抽取了500名高中學生進行在線調查，收集了他們參加公益勞動時間（單位:小時）分配情況等數據，并將樣本數據分成，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）為進一步了解這500名學生參加公益勞動時間的分配情況，從參加公益勞動時間在三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現從這10人中隨機抽取3人.記參加公益勞動時間在內的學生人數為，求的分布列和期望；（2）以調查結果的頻率估計概率，從該學校所有高中學生中隨機抽取20名學生，用“”表示這20名學生中恰有名學生參加公益勞動時間在]（單位:小時）內的概率，其中.當最大時，寫出的值.18.已知函數.（1）若函數在上單調遞減，求實數的取值范圍；（2）若函數有兩個極值點，，①求實數的取值范圍；②求證：.19.為應對新一代小型無人機武器，某研發部門開發了甲、乙兩種不同的防御武器，現對兩種武器的防御效果進行測試.每次測試都是由一種武器向目標無人機發動三次攻擊，每次攻擊擊中目標與否相互獨立，每次測試都會使用性能一樣的全新無人機.對于甲種武器，每次攻擊擊中目標無人機的概率均為，且擊中一次目標無人機墜毀的概率為，擊中兩次目標無人機必墜毀；對于乙種武器，每次攻擊擊中目標無人機的概率均為，且擊中一次目標無人機墜毀的概率為，擊中兩次目標無人機墜毀的概率為，擊中三次目標無人機必墜毀.（1）若，分別使用甲、乙兩種武器進行一次測試.①求甲種武器使目標無人機墜毀的概率；②記甲、乙兩種武器使目標無人機墜毀的數量為，求的分布列與數學期望.（2）若，且，試判斷在一次測試中選用甲種武器還是乙種武器使得目標無人機墜毀的概率更大？并說明理由.22級高二數學限時練6.16一、單選題：1.已知函數的導函數是，若，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】根據導數定義，將增量化成即可得到.【詳解】因為所以故選：B2.已知是等差數列的前項和，若，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根據已知結合等差數列的通項公式和求和公式求出首項和公差，即可求解.【詳解】由等差數列前項和公式,得，即.因為，所以,由，可得,所以，,所以.故選：D.3.已知的二項式系數之和為64，則其展開式的常數項為（）A. B.240 C.60 D.【答案】B【解析】【分析】根據二項式系數之和可得，結合二項展開式分析求解.【詳解】由題意可知：二項式系數之和為，可得，其展開式的通項為，令，解得，所以其展開式的常數項為.故選：B.4.下列說法正確的是（）A.隨機變量，則B.某人在7次射擊中，擊中目標的次數為且，則當時概率最大C.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，至少有一個黑球與至少有一個紅球是兩個互斥而不對立的事件D.從個紅球和個白球顏色外完全相同中，一次摸出個球，則摸到紅球的個數服從超幾何分布【答案】D【解析】【分析】由二項分布的概率計算公式代入計算，即可判斷AB，由互斥事件對立事件的定義即可判斷C，由超幾何分布的定義即可判斷D【詳解】由二項分布的概率公式可得，故A錯誤；在7次射擊中，擊中目標的次數為且，當時，對應的概率為，當時，，由可得，即當時概率最大，故B錯誤；至少有一黑球包含的基本事件為“一黑一紅，兩黑”，至少有一個紅球包含的基本事件為“一黑一紅，兩紅”，故至少有一個黑球與至少有一個紅球不互斥，故C錯誤；設摸出紅球的個數為，則，故滿足超幾何分布，故D正確；故選：D5.函數在定義域內有兩個極值點，則實數k的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求導，根據極值分析可得與有2個變號交點，對求導，利用導數判斷其單調性和最值，結合的圖象分析求解.【詳解】因為的定義域為，且，令，可得，由題意可知與有2個變號交點，則，令，解得；令，解得；可知在內單調遞增，在內單調遞減，可得，且當x趨近于0，趨近于，當x趨近于，趨近于0，可得的圖象，如圖所示：由圖象可得，解得，所以實數的取值范圍為.故選：D.6.已知函數是奇函數，當時，，若的圖象在處的切線方程為，則（）A.4 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得，，再根據函數為奇函數可得，，即可得解.【詳解】的圖象在處的切線方程為，則，，當時，，，因為是奇函數，圖象關于原點對稱，的圖象在處及處的切線也關于原點對稱，所以，，即，所以，，．故選：D.7.若，且，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由分離常數可得，設，根據的性質，結合函數與方程的關系即可求解.【詳解】由，得，設，則，設，則，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以，又，所以實數的取值范圍是.故選：A8.已知，，，，則下列大小關系正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】等價變形已知條件，，構造兩個函數，利用求導判斷單調性即可求解.【詳解】設，因為，，，所以即，，顯然在上單調遞減，，所以在上單調遞減，所以，即，又，當時，，所以在上單調遞增，所以,故選：B.二、多選題9.已知等差數列的前項和為，，，則下列說法正確的是（）A. B.C.為遞減數列 D.的前5項和為【答案】BC【解析】【分析】根據給定條件，利用等差數列的性質求出公差，再逐項求解判斷即可.【詳解】等差數列中，，解得，而，因此公差，通項，對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，為遞減數列，C正確；對于D，，所以的前5項和為，D錯誤.故選：BC10.學校食堂每天中午都會提供兩種套餐供學生選擇（學生只能選擇其中的一種），經過統計分析發現：學生第一天選擇套餐概率為，選擇套餐概率為；而前一天選擇了套餐的學生第二天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為；前一天選擇套餐的學生第二天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率也是；如此反復，記某同學第天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為；5個月（150天）后，記甲、乙、丙三位同學選擇套餐的人數為，則下列說法中正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對于A，依題知每人每次只能選兩種套餐中的一種即得；對于C，易得，推得等比數列，求其通項即可判斷；對于B,D兩項，由題意得，由推得，即可計算判斷.【詳解】因每人每次只能選擇兩種套餐中的一種，故必有，故A正確；依題意，，則，因，則，故數列是以為首項，為公比的等比數列.于是，，即故C正確；因，故，依題，當時，，故,則，因，則，故，故D正確；因，則，故B錯誤.故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：關鍵在于發現，從而推得等比數列，求得，繼而利用二項分布的相關公式計算即得.11.已知函數（a為常數），若函數有兩個零點，，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】函數有兩個零點，直線與函數在上的圖象有兩個交點，由導數研究函數單調性，結合函數圖象有，由，消去a可判斷選項A；設，可得，，構造函數，利用單調性證明，可得判斷選項B；，取，則，可判斷選項C；構造函數，證時，可得，證得選項D.【詳解】函數，定義域為，由可得，可知直線與函數在上的圖象有兩個交點.，當時，，此時函數單調遞增，當時，，此時函數單調遞減，則，且當時，，如下圖所示：當時，直線與函數在上的圖象有兩個交點.對于A選項，由已知可得，消去a可得，A對；對于B選項，設，因為，則，所以，，若證，需證，即證，即證，構造函數，其中，則，所以函數在上單調遞增，故，即有，B對；對于C選項，設，取，則，所以，，故，C錯；對于D選項，若證，則需證，即證，構造函數，其中，則，所以，函數在上單調遞減，則，即，D對.故選：ABD．【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式問題，方法如下：（1）直接構造函數法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數；（2）適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.三、填空題：12.已知，，，則________.【答案】##【解析】【分析】代入全概率公式，即可求解.【詳解】,，，即，則.故答案為：13.等差數列中，為的前n項和，，若不等式，對任意的恒成立，則實數k的取值范圍為_________.【答案】【解析】【分析】利用等差數列的定義及求和公式先計算基本量得，再分離參數，借助對勾函數的性質計算即可.【詳解】由題意可知，則的公差為，所以，則，即恒成立，由對勾函數的性質知在上單調遞減，在上單調遞增，而，即，所以.故答案為：14.英國數學家布魯克?泰勒以發現泰勒公式、泰勒級數和泰勒展開式而聞名于世．計算器在計算，，，等函數的函數值時，是通過寫入“泰勒展開式”程序的芯片完成的．“泰勒展開式”是：如果函數在含有的某個開區間內可以多次進行求導數運算，則當，且時，有．其中是的導數，是的導數，是的導數，階乘，．取，則的“泰勒展開式”中第三個非零項為______，精確到0.01的近似值為______．【答案】①.②.0.84【解析】【分析】根據泰勒展開式，化簡得到，求得的“泰勒展開式”中第三個非零項，令，代入上式，進而求得的近似值．【詳解】根據題意，，取時，可得，則，所以的“泰勒展開式”中第三個非零項為，令，代入上式可得．故答案為：；0.84四、解答題：15.已知數列的首項為，且滿足.（1）求證：數列為等比數列；（2）設，記數列的前項和為，求，并證明：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據等比數列的定義證明；（2）由錯位相減法求得和，再由分離出，證明恒成立即得證．【小問1詳解】由得

又，數列是以為首項，以為公比的等比數列.【小問2詳解】由（1）的結論有

①

②①②得：因為，所以恒成立16.已知函數．（1）求的單調區間；（2）當時，證明：當時，恒成立．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）求導，含參分類討論得出導函數的符號，從而得出原函數的單調性；（2）先根據題設條件將問題可轉化成證明當時，即可.【小問1詳解】定義域為，當時，，故在上單調遞減；當時，時，，單調遞增，當時，，單調遞減.綜上所述，當時，的單調遞減區間為；時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.【小問2詳解】，且時，，令，下證即可.，再令，則，顯然在上遞增，則，即在上遞增，故，即在上單調遞增，故，問題得證17.某學校為了解本學期學生參加公益勞動情況，從學校內隨機抽取了500名高中學生進行在線調查，收集了他們參加公益勞動時間（單位:小時）分配情況等數據，并將樣本數據分成，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）為進一步了解這500名學生參加公益勞動時間的分配情況，從參加公益勞動時間在三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現從這10人中隨機抽取3人.記參加公益勞動時間在內的學生人數為，求的分布列和期望；（2）以調查結果的頻率估計概率，從該學校所有高中學生中隨機抽取20名學生，用“”表示這20名學生中恰有名學生參加公益勞動時間在]（單位:小時）內的概率，其中.當最大時，寫出的值.【答案】（1）分布列見解析，期望為（2）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖列出方程，求出的值，由頻率分布直方圖求出這500名學生中參加公益勞動時間在，，三組內的學生人數分別為50人，40人，10人，采用分層抽樣的方法抽取了10人，則從參加公益勞動時間在內的學生中抽取4人，現從這10人中隨機抽取3人，則的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出的分布列，由分布列即可計算期望；（2）根據獨立重復試驗的概率公式得到不等式組，解得的取值范圍，即可得解.【小問1詳解】由頻率分布直方圖得:解得這500名學生中參加公益勞動時間在三組內的學生人數分別為:人，人，人，若采用分層抽樣的方法抽取了10人，則從參加公益勞動時間在14，16內的學生中抽取:人，現從這10人中隨機抽取3人，則可能取值為0，1，2，3，的分布列為:0123則其期望為【小問2詳解】由（1）可知參加公益勞動時間在的概率所以依題意，即，即，解得因為為非負整數，所以，即當最大時，18.已知函數.（1）若函數在上單調遞減，求實數的取值范圍；（2）若函數有兩個極值點，，①求實數的取值范圍；②求證：.【答案】（1）（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）依題意在上恒成立，參變分離可得在上恒成立，結合二次函數的性質計算可得；（2）①求出函數的定義域與導函數，分、兩種情況說明函數的單調性，即可求出參數的取值范圍；②利用韋達定理得到兩極值點的和與積，然后得到兩極值的和關于的函數表達式，將要證不等式轉化為關于實數的不等式，構造函數，利用導數研究其單調性，結合零點存在定理研究最值，從而證明原不等式.【小問1詳解】因為的定義域為，又，依題意在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，又，當且僅當時取等號，所以，即的取值范圍為.【小問2詳解】①函數的定義域為，且，若，即，則，此時的單調減區間為，不符合題意；若時，時，時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，此時只有一個極值點，不符合題意；若時，關于的方程有兩不相等實數根，，所以當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，此時只有一個極值點，不符合題意；若，即，則的兩根為，所以當或時，，當時，，所以的單調減區間為，，單調增區間為，所以當時，函數有兩個極值點，；②由①可知當時，函數有兩個極值點，，且，．因為，要證，只需證，令，，則，所以在上單調遞增，又，，且在定義域上連續，由零點存在定理，可知在上有唯一實根，且當時，當時，所以上單調遞減，上單調遞增，所以的最小值為，又，因為，當時，，又，所以，所以恒成立，所以，所以.【點睛】方法點睛：利用導數證明或判定不等式問題：1．通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性與極值（最值），從而得出不等關系；2．利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題，從而判定不等關系；3．適當放縮構造法：根據已知條件適當放縮或利用常見放縮結論，從而判定不等關系；4．構造“形似”函數，變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.19.為應對新一代小型無人機武器，某研發部門開發了甲、乙兩種不同的防御武器，現對兩種武器的防御效果進行測試.每次測試都是由一種武器向