第10講特殊的平行四邊形【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解矩形、菱形、正方形的概念.2.掌握矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理與判定定理.3.了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關(guān)系.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、矩形、菱形、正方形的定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.有一組鄰邊相等并且有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做正方形.要點(diǎn)二、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)：1.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2.矩形的對(duì)角線相等；3.矩形的四個(gè)角都是直角；4.矩形是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸.菱形的性質(zhì)：1.菱形的四條邊都相等；2.菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；3.菱形是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸.正方形的性質(zhì)：1.正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等.2.正方形的兩條對(duì)角線相等并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.3.正方形是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸；又是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱中心.要點(diǎn)三、矩形、菱形、正方形的判定矩形的判定：1.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.2.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.3.定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.要點(diǎn)詮釋：在平行四邊形的前提下，加上“一個(gè)角是直角”或“對(duì)角線相等”都能判定平行四邊形是矩形.菱形的判定：1.四條邊相等的四邊形是菱形.2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.要點(diǎn)詮釋：前一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.后兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個(gè)條件來判定菱形，正方形的判定：1.有一組鄰邊相等的矩形是正方形.2.有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形.要點(diǎn)四、特殊平行四邊形之間的關(guān)系要點(diǎn)五、順次連接特殊的平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形的形狀（1）順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形.（2）順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形.（3）順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形.（4）順次連接正方形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形.要點(diǎn)詮釋：新四邊形由原四邊形各邊中點(diǎn)順次連接而成.（1）若原四邊形的對(duì)角線互相垂直，則新四邊形是矩形.（2）若原四邊形的對(duì)角線相等，則新四邊形是菱形.（3）若原四邊形的對(duì)角線垂直且相等，則新四邊形是正方形.【典型例題】（基礎(chǔ)）類型一、矩形的性質(zhì)和判定 1、如圖所示，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∠AOD＝120°，AB＝4，則矩形對(duì)角線AC長(zhǎng)為________．2、已知：平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，連結(jié)AF、CE.（1）求證：△BEC≌△DFA；（2）連接AC，若CA＝CB，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論.舉一反三：【變式】如圖，平行四邊形ABCD中P是AD上一點(diǎn)，E為BP上一點(diǎn)，且AE=BE=EP．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）過E作EF⊥BP于E，交BC于F，若BP=BC，S△BEF=5，CD=4，求CF．類型二、菱形的性質(zhì)和判定3、如圖所示，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝10．求：(1)AB的長(zhǎng)．(2)菱形ABCD的面積．舉一反三：【變式】菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)為6和8，則菱形的邊長(zhǎng)為________．4、如圖所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，DE∥AC，DF∥BC，四邊形DECF是菱形嗎?試說明理由．類型三、正方形的性質(zhì)和判定 5、如圖，在一正方形ABCD中．E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接EB、ED，（1）求證：△BEC≌△DEC；（2）延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F，若∠DEB＝140°．求∠AFE的度數(shù)．舉一反三：【變式】已知：如圖，E為正方形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，F(xiàn)是CD邊上一點(diǎn)，且CE＝CF，連接DE，BF．求證：DE＝BF． 6、如圖，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH=2，連結(jié)CF．（1）若DG=2，求證：四邊形EFGH為正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面積．【典型例題】（提高）類型一、矩形的性質(zhì)和判定 1、如圖所示，已知四邊形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等邊三角形，且點(diǎn)P在矩形上方，點(diǎn)Q在矩形內(nèi)．求證：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．舉一反三：【變式】如圖所示，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)處，點(diǎn)A落在點(diǎn)處．(1)求證：；(2)設(shè)AE＝，AB＝，BF＝，試猜想之間有何等量關(guān)系，并給予證明．2、如圖1，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D．

（1）求證：四邊形ABCD為矩形；

（2）E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD邊上一點(diǎn)，∠DFC=2∠BCE．

①如圖2，若F為AD中點(diǎn)，DF=1.6，求CF的長(zhǎng)度：

②如圖2，若CE=4，CF=5，則AF+BC=________，AF=_________．

舉一反三：【變式】已知ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于O，△ABO是等邊三角形，AB＝4，求這個(gè)平行四邊形的面積.類型二、菱形的性質(zhì)和判定3、如圖所示，菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．求∠CEF的度數(shù)．4、矩形ABCD中，O是AC與BD的交點(diǎn)，過O點(diǎn)的直線EF與AB、CD的延長(zhǎng)線分別交于E、F兩點(diǎn)．(1)求證：△BOE≌△DOF；(2)當(dāng)EF與AC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是菱形，并證明你的結(jié)論．舉一反三：【變式】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，AE∥CD，CE∥AB，連接DE交AC于點(diǎn)O．

（1）證明：四邊形ADCE是菱形；

（2）證明：DE=BC；

（3）若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）．

類型三、正方形的性質(zhì)和判定 5、如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F分別在OD、OC上，且DE＝CF，連接DF、AE，AE的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)M．求證：AM⊥DF．舉一反三：【變式】如圖四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E、K分別在BC，AB上，點(diǎn)G在BA的延長(zhǎng)線上，且CE＝BK＝AG．以線段DE、DG為邊作DEFG．(1)求證：DE＝DG，且DE⊥DG．(2)連接KF，猜想四邊形CEFK是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想．6、如圖所示，已知矩形ABCD的各內(nèi)角平分線AQ、DF、BE、CH分別交BC、AD于點(diǎn)Q、F、E、H，試證明它們組成的四邊形MNPO是正方形．【鞏固練習(xí)】一.選擇題1.下列關(guān)于矩形的說法中正確的是()A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形B．對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形C．矩形的對(duì)角線互相垂直且平分D．矩形的對(duì)角線相等且互相平分2.矩形一個(gè)角的平分線分矩形一邊為1和3兩部分，則它的面積為（）A.3B.4C.12D.4或123．已知菱形的周長(zhǎng)為40，兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度比為3：4，那么兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為（）A．6，8B.3，4C.12，16D.24，324.如圖，菱形ABCD中對(duì)角線交于點(diǎn)O，且OE⊥AB，若AC＝8，BD＝6，則,OE的長(zhǎng)是（）A．2.5B．5C．2.4D．不確定5.如圖，E是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BE=BC，P為CE上任意一點(diǎn)，PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥BE于點(diǎn)R，則PQ+PR的值是（）A.B.C.D.6.如圖，四邊形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四邊形ABCD面積為16，則DE的長(zhǎng)為（）A．3B．2C．4D．8二.填空題7．如圖四邊形ABCD中，AB=，BC=12，∠ABC=45°，∠ADC=90°，AD=CD，則BD=．8．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點(diǎn)E、F，連結(jié)CE，則CE的長(zhǎng)______．9．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)是2，E是AB中點(diǎn)，且DE⊥AB，則菱形ABCD的面積為______.10．已知菱形ABCD的周長(zhǎng)為20，且相鄰兩內(nèi)角之比是1∶2，則菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)和面積分別是．11.如圖，三個(gè)邊長(zhǎng)均為2的正方形重疊在一起，O1、O2是其中兩個(gè)正方形的中心，則陰影部分的面積是_______．12.如圖，平面內(nèi)4條直線是一組平行線，相鄰2條平行線間的距離都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，正方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D都在這些平行線上，其中點(diǎn)Ａ、Ｃ分別在直線和上，該正方形的面積是平方單位．三.解答題13．如圖，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．（1）求證：△ABE≌△ACD；（2）求證：四邊形BCDE是矩形．14.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O，過點(diǎn)O作直線EF⊥BD，分別交AD、BC于點(diǎn)E和點(diǎn)F，求證：四邊形BEDF是菱形.15．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動(dòng)，連結(jié)DP交AC于點(diǎn)Q．(1)試證明：無論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí)，都有△ADQ≌△ABQ；(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；(3)若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，再繼續(xù)在BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ADQ恰為等腰三角形．【課后作業(yè)】【鞏固練習(xí)】一.選擇題1．下列命題中不正確的是()．A.直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半B.矩形的對(duì)角線相等C.矩形的對(duì)角線互相垂直D.矩形是軸對(duì)稱圖形2．若矩形對(duì)角線相交所成鈍角為120°，短邊長(zhǎng)3.6，則對(duì)角線的長(zhǎng)為()．A.3.6 B.7.2 C.1.8 D.14.43．如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周長(zhǎng)是()A.4B.8C.12D.164.菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周長(zhǎng)為8，則此菱形的高等于()．A. B.4 C.1 D.25.如圖，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF為直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=FC=5，BE=DF=12，則EF的長(zhǎng)是（）

A．7B．8C．D．6.如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，連接BE，則∠AEB的度數(shù)為（）A．10°B．15°C．20°D．12.5°二.填空題7．矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10，則AB＝______，BC＝______．8.如圖，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿其對(duì)角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到△，若兩個(gè)三角形重疊部分的面積是1，則它移動(dòng)的距離等于____.9.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線分別交AD、BC于E、F，則陰影部分的面積是_______.10.如圖，兩條等寬的長(zhǎng)方形紙條傾斜的重疊著，已知長(zhǎng)方形紙條寬度為3cm，∠ABC=60°，則四邊形ABCD的面積為________cm2．11.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB＝13，AC＝10，過點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則△BDE的周長(zhǎng)為_____.12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），則