22.1.二次根式（1）

二次根式的概念及其運用

當a是正數時，/表示a的算術平方根，即正數a的正的平方根.

當a是零時，&等于0,它表示零的平方根，也叫做零的算術平方根.

當a是負數時，、后沒有意義.

一、概括：&（aN0）表示非負數a的算術平方根，也就是說，4a（a20）是一個非負數，它的平方

等于a.即有：（1）4aNO（a20）；

（2）（Va）2=a（a20）.

形如后（aNO）的式子叫做二次根式.

注意：在二次根式后中，字母a必須滿足a，0,即被開方數必須是非負數.

二、例題講解_

思考：叱等于什么？

我們不妨取a的一些值，如2,-2,3,-3,……分別計算對應的a2的值，看看有什么規律：

概括：當a》0時，J/=a；當a<0時，=-a.

這是二次根式的又一重要性質.如果二次根式的被開方數是一個完全平方，運用這個性質，可以將

它“開方”出來，從而達到化簡的目的.例如：

V4x2=個（2x）2=2x（X2O）;-\[x^=J（X2）2=x2.

四、練習：X取什么實數時，下列各式有意義_______

（]）A/3—4x.（2）J3x-2；（3）d（x-3）；（彳）J3x-4+J4-3x

五、拓展

例：當x是多少時，j2x+3+,在實數范圍內有意義?

X+1

分析:要使j2x+3+一一在實數范圍內有意義,必須同時滿足j2x+3中的20和二一中的x+1W0.

x+1x+1

3

由①得：xN--由②得：xW-1

2

41

當X2--且xW-l時，j2x+3+——在實數范圍內有意義.

2x+1

例：已知y=j2-x+Jx-2+5,求上的值.(答案:2)

y

22.1二次根式(2)

教學內容：1.4a(a20)是一個非負數；2.(y[a)2=a(a^O).

五、應用拓展

例2計算______________________

1.(Jx+1)2(xNO),2.(Na?)2,3.(Na?+2a+1)2,4.(V4x2—12x+9)2

解：(1)因為x20,所以x+l>0,(Jx+1)2=x+l

(2),.*a2^0,)2=a2

(3)Va2+2a+l=(a+1)2,又丁(a+1)2^0,

.'.a2+2a+1^0,/.ya~+2tz+1=a2+2a+l

(4)V4X2-12X+9=(2X)2-2?2x?3+32=(2x-3)2,又：(2x-3)2^0

.\4X2-12X+9^0,(A/4X2-12X+9)2=4x2-12x+9

例3在實數范圍內分解下列因式：

(1)X2-3(2)X4-4(3)2X2-3

六、歸納小結：本節課應掌握：

1.y[a(a20)是一個非負數；2.(-\[a)2=a(aNO);反之:a=()2(a》0).

22.1二次根式（3）

教學內容J/=a（a2O）

教學過程：一、復習引入：（老師口述并板收上兩節課的重要內容）

1.形如、石（a20）的式子叫做二次根式；

2.8（a20）是一個非負數;

3.）2=a（a>0）.

那么，我們猜想當a20時，必=2是否也成立呢？下面我們就來探究這個問題.

二、探究新知：（學生活動）填空：

廳=；Vo.oi2=

（老師點評）：根據算術平方根的意義，我們可以得到:

=2；Jo.OF=0.01；3

7

因此，一般地：［V^'=a（a20）|

三、例題講解：

例1化簡：（1）百(2)7(-4)2⑶V25(4)7(-3)2

22

分析：因為（1）9=-3,(2)(-4)2=42,(3)25=5?,⑷(_3)2=3,

所以都可運用必=a（aNO）去化簡.

解：（1）乒后=3（2）,（—4）2=9=4

（3）V25==5（4）個（-3）2==3

五、應用拓展

例2填空：當a20時，疔=；當a<0時，J/=—,并根據這一性質回答下列問題.

（1）若J/=a,則a可以是什么數？（2）若必二a,則a可以是什么數？

（3）Vo?>a,則a可以是什么數？

分析：（a20）,.?.要填第一個空格可以根據這個結論，第二空格就不行，應變形，使“（）

2”中的數是正數，因為，當a<0時，必=J（-a）?,那么-aNO.

（1）根據結論求條件；（2）根據第二個填空的分析，逆向思想；（3）根據（1）、（2）可知J/=|a

I,而Ia|要大于a,只有什么時候才能保證呢？a<0.

解：（1）因為疔=a,所以a20；（2）因為行=-a,所以aWO；

(3)因為當a20時〃^=a,要使即使a>a所以a不存在；當a<0時，〃^=-a,要使

即使-a>a,a<0綜上，a<0

例3當x>2,化簡J(x-2)2_J(1—2x)2.

六、歸納小結：本課掌握：J/=a(a20)及運用，同時理解當a<0時，J/=-a的應用拓展.

七、布置作業:1.先化簡再求值：當a=9時，求a+Jl-2a+/的值,甲乙兩人的解答如下：

甲的解答為：原式=a+J(l_(z)2=a+(1-a)=1；乙的解答為：原式=a+J(l-a)2=a+(a-1)=2a-l=17.

兩種解答中，的解答是錯誤的,錯誤的原因是.

2.若|1995-a|+V?-2000=a,求a-1995?的值.(提示：注意根式有意義的隱含條件)

3,若-3WxW2時，試化簡|x-2|+J(X+3)2+\JX2—10x+25。

22.2二次根式的乘除(1)

教學內容：4a?>fb—4ab(a20,b>0),反之，石=&,4b(a20,b20)及其運用.

教學過程：一、設疑自探一解疑合探

自探.(學生活動)請同學們完成下列各題.______

1.填空：(1)A/4XV9=___,—4x9=；(2)V16X^25=,J16x25=.

(3)V100XV36=，7100x36=.

參考上面的結果，用“>、<或=”填空.

V?XV9____V479,V16XV25_____716x25,V100X736________J100x36

2.利用計算器計算填空__

(1)V2XV3_____V6,(2)V2XV5_____屈,

(3)垂)X\[6_____y/30,(4)A/4X-\/~5_____J20,

(5)V7xVio_____VTo.

(學生活動)讓3、4個同學上臺總結規律.

老師點評：(1)被開方數都是正數；(2)兩個二次根式的乘除等于一個二次根式，并且把這兩個二

次根式中的數相乘，作為等號另一邊二次根式中的被開方數.

一般地，對二.根式的乘法規定為

4a,4b—4ab.(a20,bNO)

反過來：4ab=4a,4b(aNO,bNO)

合探1.計算：(1)石XJ7,(2)/1XV9,(3)79X727,(4)/IX76

V3X2

分析：直接利用&,4b=4ab(a20,b20)計算即可.

合探2化簡(1)J9xl6,(2)A/16X81,(3)781x100,(4)再丁，(5)后

分析：利用=?4b(a20,b20)直接化簡即可.

三、應用拓展：判斷下列各式是否正確,不正確的請予以改正：

(1)&-4)x(—9)=廣義口

(2)J4—XV25=4xj—xV25=4J—X725=4712=873

V25\25V25

四、鞏固練習⑴計算(生練，師評)①/X次(2)3^6X2V10③瓦?

(2)化簡：同；灰；V24;V54;82a2b2

五、歸納小結(師生共同歸納)

本節課掌握：（1）4a,4b=-Jab=（aNO,b》O）,yfab=y/a,4b（aNO,b》O）及運用.

六、作業設計（寫在小黑板上）

（一）、選擇題__

1.直角三角形兩條直角邊的長分別為乖cm和cm,那么此直角三角形斜邊長是（）

A.3V2cmB.3A/3cmC.9cmD.27cm

2.化簡aL的結果是（）.A.4-aB.4aC.-4-aD.-4a

3.等式J77TJT萬=，%2—1成立的條件是（）

A.x》lB.x》-lC.-IWXWID.xNl或x〈-l

4.下列各等式成立的是（_____

A.46X26=8BB.50X4夜=206；C.4GX3女=76；D.573X4A/2=20A/6

（二）、填空題：

1.71014=_______.

2.自由落體的公式為S=|gt2（g為重力加速度，它的值為10m/s2）,若物體下落的高度為720m,則下

落的時間是.

（三）、綜合提高題探究過程：觀察下列各式及其驗證過程.

⑴

2

驗證：2j[2=V2X[2="2x2=1戶1/(23-2)+2

3N

313、3V3

"32,2__2⑵一]),=1.2_

V22-122-1-V22-122-1V3

驗證：3叵=后X叵=叵=6-3+3

vrvrv—32-1-

22.2二次根式的乘除（2）

教學內容：7a=j（a20,b>0）,反過來巴=Ja(aNO,b>0)及利用它們進行計算

教學過程；一、設疑自探一解疑合探

自探.（學生活動）請同學們完成下列各題：

1.填空（1）6=____，/~9~=_____;(2)Vlll=_____，]16=_____；

RV16^36V36

（3）V4=____,區=_____；(4)屈=_______,匡=________

VT?V16VsTv8i

規律：且____巴;_____匹;正[p~；/36".

A/T6V16下WV36VHrV16VsTV81

2.利用計算器計算填空：

（1）VT=____,（2）V2-=____,（3）邁=____，(4).

VTVTV8

規律：事m；vi[2.6[2.a[7o

■\4vr\3vU<5V8

一名學生上臺闡述運算結果.（老師點評），根據大家的練習和

告探：

【勺除法規定：

勺二次根式的除法規定：

=(a'O,b>0),反過來J—=-尸(aNO,b>0)

\b4b

,|啟）x（a>0）

22.2二次根式的乘除⑶

教學內容

最簡二次根式的概念及利用最簡二次根式的概念進行二次根式的化簡運算.

教學過程

一、設疑自探一解疑合探

自探1.（學生活動）請同學們完成下列各題（請三位同學上臺板書）

計算（1）正，（2）3正,（3）提

老師點評：6=VTT,三"=正，胡=23

5，273"2aa

自探2.觀察上面計算題的最后結果，可以發現這些式子中的二次根式有什么特點？（有如下兩個特點:

1.被開方數不含分母；2.被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.）

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式._

合探1.把下面的二次根式化為最簡二次根式：（1）3后；Q）

^x2y4+x4y2；（3）//父

合探2.如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,

求AB的長.

.3u2al/5、2”/169V16913,、

AB=V2.5+6=《（萬）+36=《—-—-—>——―=6.5（cm）

因此AB的長為6.5cm.

三、應用拓展

觀察下列各式，通過分母有理化，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式：

1_lx/_1）_艮1_乃］,

V2+1（V2+1）（72-1）-2-1

1_lx（V3-V2）_拒-6_1-行

TfTTF（用偽（百_①一^^77

同理可得：1=A/4-A/3,……

V4+VT

從計算結果中找出規律，并利用這一規律計算

（J+1+1+……1）（V2002+1）的值.

VF+1渡+VFVT+V3V2002+V2001

分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以達到化簡的目

的.

四、歸納小結（師生共同歸納）：本節課應掌握：最簡二次根式的概念及其運用.

五、作業設計（寫在小黑板上）

（一）、選擇題

1.如果J：（y>o）是二次根式，那么，化為最簡二次根式是（）.

A.3（y>0）B.6（盧°）C-Q（y>0）D.以上都不對

2.把（a-1）1中根號外的（a-1）移入根號內得（）.

Va-1

A.ci—1B.Jl—aC.-<a—1D.-Jl-a

3.在下列各式中，化簡正確的是()

A.=3^/1-5B.=+V2C.y]a4b=a28D.V-V3—x2=xVx—1

4.化簡-3、/T的結果是()A.-1；B.-2_；C.-VH；D.-V2

V27-3V33

(二)、填空題________

1.化簡Jx"+fy?=.(xNO)

2.a1五化簡二次根式號后的結果是.

Va2

(三)、綜合提高題

1.已知a為實數，化簡：JT-aFT，閱讀下面的解答過程，請判斷是否正確？若不正確，請寫

Va

出正確的解答過程：

解：J-a，-a/1=aJ—a-a?J_J-a=(a-1)J—a

Vaa

2.若x、y為實數，且尸，?-4+"—x2+1,求Jx+yJx—y的值.

x+2

22.3二次根式的加減⑴

教學內容：二次根式的加減

教學過程：

一、設疑自探一解疑合探

自探(學生活動)：計算下列各式.__

(1)2y/l,+3V2；(2)2Vs-3Vs+5V8；(3)-x/1+2V7+3<9x7；(4)3>J?>-2V3+V2

因此，二次根式的被開方數相同是可以合并的，如2起與質表面上看是不相同的，但它們可以合并

嗎？可以的.(板書)3V2+Vs=3V2+2V2=5V2和3V3+V27=3V3+3V3=6-\/3

所以，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合

并.

合探1.計算：(1)V8+V18(2)V16x+V64^

分析：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進行合

并.

合探2.計算____

(1)3V48-9+3V12^(2)(V48+J20)+(V12-V5)

三、應用拓展__

4x2+y2-4x-6y+10=0,求()-)的值.

分析：本題首先將已知等式進行變形，把它配成完全平方式，得(2x-l)2+(y-3)2=0,

即*=工，y=3.其次，根據二次根式的加減運算，先把各項化成最簡二次根式，再合并同類二

2

次根式，最后代入求值.

四、歸納小結(師生共同歸納)：本節課應掌握：

(1)不是最簡二次根式的，應化成最簡二次根式；(2)相同的最簡二次根式進行合并.

五、作業設計(寫在小黑板上)

(一)、選擇題

1.以下二次根式：①Jii；②萬；③點；④板中，與G是同類二次根式的是().

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①3百+3=6百；②上行=1；③行+&=&=2亞；④叵=2收，其中錯誤的

7F

有（）.A.3個B.2個C.1個D.0個

（二）、填空題

L在他、三近藐、三E、同、2g、3配、-2忙中,與風■是同類二次根式的有

aV8

2.計算二次根式5&1-3&-78+9&的最后結果是.

（三）、綜合提高題

1.已知后心2.236,求（廂-舊）-（舊+土斥）的值.（結果精確到0.01）

2.先化簡，再求值.

（6x^￡+2_Jxy3）-（4X^￡+yj36xy）,其中X=2_,y=27.

22.3二次根式的加減（2）

教學內容：利用二次根式化簡的數學思想解應用題.

教學過程：

一、設疑自探一解疑合探

上節課，我們已經學習了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個步驟：第一步，先將二次根式

化成最簡二次根式；第二步，再將被開方數相同的二次根式進行合并，下面我們研究三道題以做鞏固.

自探1.如圖所示的Rt^ABC中，/B=90°,點P從點B開始沿BA邊以1厘米/

秒的速度向點A移動；同時，點Q也從點B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點C移

動.問：幾秒后的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結果用最簡

二次根式表示）

分析：設x秒后4PBQ的面積為35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,根據三角形

面積公式就可以求出x的值.

解：設x后APBQ的面積為35平方厘米.則有PB=x,BQ=2x

依題意，得：—x,2x=35X2=35X=V35

2

所以莊秒后APBQ的面積為35平方厘米.

PQ=^PB2+BQ2=VX2+4X2=A/5%7=J5x35=5g

答：V35秒后APIiQ的面積為35平方厘米,PQ的距離為5J7厘米.

自探2.要焊接如圖所示的鋼架,大約需要多少米鋼材（精確到0.1m）?

解：由勾股定理，#AB=yjAD2+BD2=A/42+22=A/20=275

BC=^BD2+CD2=V22+l2=V5

所需鋼材長度為AB+BC+AC+BD=2石+6+5+2=36+7心3

X2.24+7^13.7（m）

答：要焊接一個如圖所示的鋼架，大約需要13.7m的鋼材.）

四、應用拓展

若最簡根式3T4a+3b與根式一面+6已是同類二次根式,求b的值.

注：（同類二次根式就是被開方數相同的最簡二次根式）

分析：同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數相同；事實上，根式

yjlab2-b3+6b1不是最簡二次根式，因此把y）2ab2-b3+6b2化簡成|b|■j2a-b+6,才由同類二次根

式的定義得3a-b=2,2a-b+6=4a+3b.

解：首先把根式J2ab2-^+6,化為最簡二次根式:

■\12ab2-Z?3+6b2=yjb2（2a-1+6）=|b|?-。+6

由題意得［4。+3。=2〃-。+612〃+4。=6.，.a=l,b=l

a—b=2a—b=2

六、作業設計（寫在小黑板上）

（一）、選擇題

1.已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和5,那么斜邊的長應為（）.

A.572B.屈C.2#>D.以上都不對

2.小明想自己釘一個長與寬分別為30cm和20cm的長方形的木框，為了增加其穩定性，他沿長方形的

對角線又釘上了一根木條，木條的長應為（）米._

A.13V100B.V1300C.loV13D.5^/13

（二）、填空題

1.某地有一長方形魚塘，已知魚塘的長是寬的2倍，它的面積是1600m2,魚塘的寬是m.

2.已知等腰直角三角形的直角邊的邊長為血，那么這個等腰直角三角形的周長是.

（三）、綜合提高題

1.若最簡二次根式2J3m2-2與‘飛4m2-10是同類二次根式,求m、n的值.

3

2.同學們，我們以前學過完全平方公式a?±2ab+b2=（a+b）2,你一定熟練掌握了吧!現在，我們又學習了

二次根式，那么所有的正數（包括0）都可以看作是一個數的平方，如3=（6）2,

5=（V5）2,你知道是誰的二次根式呢？下面我們觀察：

（V2-1）2=（V2）2-2?1?V2+12=2-2V2+1=3-272

反之，3-2&=2-2應+1=（后-1）2.*.3-2V2=（V2-1）2；.，3-2后=6-1

求：（1）,3+2收；（2）"+26；（3）你會算「4-巫嗎?

（4）yja+2y/b=4m±4n>則m、n與a、b的關系是什么？并說明理由.

22.3二次根式的加減（3）

教學內容：含有二次根式的單項式與單項式相乘、相除；多項式與單項式相乘、相除；多項式與多項式相

乘、相除；乘法公式的應用.

教學過程

一、設疑自探一解疑合探

自探1.（學生活動）：請同學們完成下列各題：.

1.計算：（1）（2x+y）?zx（2）（2x2y+3xy2）4-xy

2.計算：（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+l）2+（2x-l）2

老師點評：這些內容是對八年級上冊整式運算的再現.它主要有（1）單項式X單項式；（2）單項式

X多項式；（3）多項式+單項式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的運用.

如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運算規律是否仍成立呢？仍成立.

整式運算中的x、y、z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，當然也可以代表二次根

式，所以，整式中的運算規律也適用于二次根式._

自探2.計算：（1）（^6+V8）X-\/3（2）（4V6-3V2）4-2V2

分析：剛才已經分析，二次根式仍然滿足整式的運算規律，所以直接可用整式的運算規律.

自探3.計算：（1）（石+6）（3-5（2）（V10+V7）（V10-V7）

分析：剛才已經分析，二次根式的多項式乘以多項式運算在乘法公式運算中仍然成立.

三、應用拓展：已知=2—。，其中a、b是實數，且a+bWO,

ab

化簡―—+1-+"x+1+,并求值.

x+1+y/~xVx+1-^J~x

分析：由于（6TT+4）（J7Z1-4）=i,因此對代數式的化簡，可先將分母有理化，再通過解

含有字母系數的一元一次方程得到X的值，代入化簡得結果即可.

(Vx+i-V%)2+(JX+1+

=(x+1)+x-2yjx(x+Y)+x+2-yjx(x+1)=4x+2

(X+1)-X(X+1)-X

x—bx—a

*.*-------=2---------.*.b(x-b)=2ab-a(x-a)bx-b2=2ab-ax+a2

ab

(a+b)x=a2+2ab+b2(a+b)x=(a+b)2〈a+bWOx=a+b

二?原式=4x+2=4(a+b)+2

五、作業設計(寫在小黑板上)

(一)、選擇題

1.(后-3岳+2月)乂/的值是().

A.空百-3同B.3730-1V3C.2V30-1V3D.V3-V3O

3333

2.計算(6+Jx—l)(-Vx-1)的值是().A.2B.3C.4D.1

(二)、填空題

1.(-1+V1)2的計算結果(用最簡根式表示)是.

22

2.(1-2V3)(1+2百)-(2百-1)2的計算結果(用最簡二次根式表示)是

3.若x=\/2-1,貝(Jx?+2x+1=.

4.已知a=3+2\/^,b=3-241,則a?b-ab2=.

(三)、綜合提高題

1.化簡狙+a

VTo-++^/Fs+V2T

2.當x=7^時，求.+]+^^衛+，+]一旺三的值.(結果用最簡二次根式表示)

72-1x+1-Jx~+xx+l+Jx2+x

23.1一元二次方程

教學目標：

1、知道一元二次方程的定義，能熟練地把一元二次方程整理成一般形式a『+bx+c=°(。，0)2、在

分析、揭示實際問題的數量關系并把實際問題轉化為數學模型(一元二次方程)的過程中使學生感受方程

是刻畫現實世界數量關系的工具，增加對一元二次方程的感性認識。3、會用試驗的方法估計一元二次方程

的解。

教學過程：

一做一做：

1.問題一綠苑小區住宅設計，準備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地，

并且長比寬多10米，那么綠地的長和寬各為多少？

分析：設長方形綠地的寬為x米，不難列出方程

x(x+10)=900

整理可得x2+lOx-900=0.(1)

2.問題2

學校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預計到明年年底增加到7.2萬冊.求這兩年的年平均增長率.

解：設這兩年的年平均增長率為x,我們知道，去年年底的圖書數是5萬冊，則今年年底的圖書數是5(1

+x)萬冊；同樣，明年年底的圖書數又是今年年底的(1+x)倍，即5(1+x)(l+x)=5(l+x)2萬冊.可列

得方程

5(1+x)2=7.2,

整理可得5X2+10X-2.2=0.(2)

3.思考、討論

這樣，問題1和問題2分別歸結為解方程（1）和（2）.顯然，這兩個方程都不是一元一次方程.那么這兩個

方程與一元一次方程的區別在哪里？它們有什么共同特點呢？

（學生分組討論，然后各組交流）共同特點：（1）都是整式方程（2）只含有一個未知數（3）未

知數的最高次數是2

二、一元二次方程的概念

上述兩個整式方程中都只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2,這樣的方程叫做一元二次方程）.

通常可寫成如下的一般形式：

ax2+bx+c=0（a、b、c是已知數，aWO）。其中以？叫做二次項，。叫做二次項系數；法叫做一次項，卜叫

做一次項系數，。叫做常數項。.

三、例題講解與練習鞏固

1.例1下列方程中哪些是一元二次方程？試說明理由。

x-2_］_%2

（］）3%+2=5%-3（2）%2=4（3）x+1（4）,―4=（x+2/

2.例2將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數、一次項系數和常數項：

1）6y2=y2）（x-2）（x+3）=83）（%+3）（3x-4）=（x+2/

說明：一元二次方程的一般形式a/+bx+c=°（a=o）具有兩個特征：一是方程的右邊為0；二是

左邊的二次項系數不能為0。此外要使學生意識到：二次項、二次項系數、一次項、一次項系數、常數項都

是包括符號的。

3.例3方程（2a—4）x2—2bx+a=0,在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元一

次方程？

本題先由同學討論，再由教師歸納。

解：當。W2時是一元二姿方程；當。=2,%#0時是一元一次方程；

4.例4已知關于x的一元二次方程（m-l）x2+3x-5m+4=0有一根為2,求m。

分析：一根為2即x=2,只需把x=2代入原方程。

5.練習一將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數、一次項系數和常數項

2/=2-3x2X（X-1）=3（X-5）-4⑵一以-。.=。+3）（^—2）

練習二關于x的方程（祖-3）/+〃氏+也=（）,在什么條件下是一元二次方程？在什么條件下是一元一

次方程？

本課小結：

1、只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式為a/+bx+c=°一元二次方程的項及系數都是根據一般式定義

的，這與多項式中的項、次數及其系數的定義是一致的。

3、在實際問題轉化為數學模型（一元二次方程）的過程中，體會學習一元二次方程的必要性和重要性。

23.2.2一元二次方程的解法

教學目標：

1、會用直接開平方法解形如口（］一02（aWO,ab》O）的方程；

2、靈活應用因式分解法解一元二次方程。

3、使學生了解轉化的思想在解方程中的應用，滲透換遠方法。

教學過程：

問：怎樣解方程（x+1）=256的？

讓學生說出作業中的解法，教師板書。

解：1、直接開平方，得x+l=±16

所以原方程的解是xl=15,x2=-17

2、原方程可變形為

(%+1)2-256=0

方程左邊分解因式，得

(x+1+16)(x+1-16)=0

即可(x+17)(x—15)=0

所以x+17=0,x-15=0

原方程的蟹xl=15,x2=-17

二、例題講解與練習鞏固

1、例1解下列方程

(1)(x+1)2—4=0；(2)12(2-x)2-9=0.

分析兩個方程都可以轉化為—(aN0,ab\0)

的形式，從而用直接開平方法求解.

解(1)原方程可以變形為

(x+1)2=4,

直接開平方，得

x+l=±2.

所以原方程的解是xl=l,x2=-3.

原方程可以變形為

有.

所以原方程的解是xl=,x2=.

2、說明：(1)這時，只要把(X+D看作一個整體，就可以轉化為(b2o)型的方法去解決，這里

體現了整體思想。

3、練習一解下列方程：

(1)(x+2)2-16=0；(2)(X-1)2-18=0；

(3)(1-3X)2=1；(4)(2x+3)2—25=0.

三、讀一■讀

四、討論、探索：解下列方程

(1)(X+2)2=3(X+2)(2)2y(y-3)=9-3y(3)(x-2)2—x+2=0

222

(4)(2X+1)=(X-1)(5)%-2x+l=49o

本課小結：

1、對于形如—A)?(aW0,ab20)的方程，只要把(》一口看作一個整體，就可轉化為/=〃(n

20)的形式用直接開平方法解。

2、當方程出現相同因式(單項式或多項式)時，切不可約去相同因式，而應用因式分解法解。

23.2.3一元二次方程的解法

教學目標：

1、掌握用配方法解數字系數的一元二次方程.

2、使學生掌握配方法的推導過程，熟練地用配方法解一元二次方程。

3.在配方法的應用過程中體會“轉化”的思想，掌握一些轉化的技能。

重點難點：

使學生掌握配方法，解一元二次方程。

把一元二次方程轉化為a+PY=q

教學過程：

一、復習提問

解下列方程，并說明解法的依據：

22

⑴3-2x=1⑵(X+1)-6=0(3)(x-2)2-1=0

通過復習提問，指出這三個方程都可以轉化為以下兩個類型：

x2=b(b20)和(x-a)2=Z?(Z?>0)

根據平方根的意義，均可用“直接開平方法”來解，如果b<0,方程就沒有實數解。

請說出完全平方公式。

2

(X+Q)2-x+2QX+〃2

-x2-lax+a1

o

二、引入新課

我們知道，形如X?-4=0的方程，可變形為/=A(A20),再根據平方根的意義，用直接開平方

法求解.那么，我們能否將形如/+/+。=°的一類方程，化為上述形式求解呢？這正是我們這節課要解

決的問題.

三、探索：

1、例1、解下列方程：

22

X+2x=5；(2)X—4x+3=o.

思考

能否經過適當變形，將它們轉化為

()=a的形式，應用直接開方法求解？

2

解(1)原方程化為X+2x+l=6,(方程兩邊同時加上1)

2

(2)原方程化為x—4x+4=-3+4(方程兩邊同時加上4)

三、歸納

上面，我們把方程一一4x+3=0變形為(X—2)=i,它的左邊是一個含有未知數的完全平方式，右邊是一

個非負常數.這樣，就能應用直接開平方的方法求解.這種解一元二次方程的方法叫做配方法.

注意到第一步在方程兩邊同時加上了一個數后，左邊可以用完全平方公式從而轉化為用直接開平方法求解。

那么，在方程兩邊同時加上的這個數有什么規律呢？

四、試一試：對下列各式進行配方：

x2+8x____=(x+___2x2-10%____=(x+_2

_J;__)

2

—5x+=(x-_).%2—9x+=(x-_____)2

23)2

x—X+=(x-2

2x+bx+__—_(/■xV+1______)2

通過練習，使學生認識到；配方的關鍵是在方程兩邊同時添加的常數項等于一次項系數一半的平方。

五、例題講解與練習鞏固

1、例2、用配方法解下列方程：

22

(1)x—6x—7=0；(2)x+3x+l=0.

2、練習：

①.填空：

⑴/+6x+()=()⑵/-8x+()=(x-)2

22

(3)X+x+()=(x+)2；(4)4%-6x+()=4(X—)2

②用配方法解方程：

22

⑴X+8X—2=0(2)X-5x—6=0.

(3)X2+7=-6X六、試一試

用配方法解方程x2+px+q=0(p2—4q>0).

先由學生討論探索，教師再板書講解。

解：移項，得x2+px=-q,

PPP

配方，得X2+2?x-2+(2R=(2%

pp2-4q

即(X+2)2=4.

因為p2—4qK)時，直接開平方，得^_______

P_J/一鈉

x+2=±2.

￡Jp2_4q

所以x=-2土2,

_.土”-4q

即x=2.

思考：這里為什么要規定p2—4qK)?

七、討論

1、如何用配方法解下列方程？

4x2—12x—1=0;

請你和同學討論一下：當二次項系數不為1時，如何應用配方法？

2、關鍵是把當二次項系數不為1的一元二次方程轉化為二次項系數為1的一元二次方程。

先由學生討論探索，再教師板書講解。

解：(1)將方程兩邊同時除以4,得X2-3x——=0

4

移項，得X2-3X=-

4

313

配方，得X2-3X+(-)2=-+(-)2

242

直接開平方，得x--

22

3+癡3-癡

所以X12，X2=2

3,練習：用配方法解方程：

(1)2/—7x—2=0(2)3X2+2X-3=0.

(3)2X2-4X+5=0(原方程無實數解)

本課小結：讓學生反思本節課的解題過程，歸納小結出配方法解一元二次方程的步驟：1、把常數項移到

方程右邊，用二次項系數除方程的兩邊使新方程的二次項系數為1；2、在方程的兩邊各加上一次項系數的

一半的平方，使左邊成為完全平方；

如果方程的右邊整理后是非負數，用直接開平方法解之，如果右邊是個負數，則指出原方程無實根。

23.2.4一元二次方程的解法

教學目標：

1、使學生熟練地應用求根公式解一元二次方程。

2、使學生經歷探索求根公式的過程，培養學生抽象思維能力。

3、在探索和應用求根公式中，使學生進一步認識特殊與一般的關系，滲透辯證唯物廣義觀點。

1、,難點1掌握一元二次方程的求根公式，并應用它熟練地解一元二次方程；

2、重點：對文字系數二次三項式進行配方；求根公式的結構比較