華師大版八年級(jí)上冊數(shù)學(xué)

重難點(diǎn)突破

全冊知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型舉一反三鞏固練習(xí)

平方根

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解平方根、算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根和算術(shù)平方根.

2.了解開平方與平方互為逆運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會(huì)用計(jì)算器求平

方根.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、平方根和算術(shù)平方根的概念

1.平方根的定義

如果一個(gè)數(shù)的平方等于點(diǎn),那么這個(gè)數(shù)叫做白的平方根，也叫做。的二次方根.

一個(gè)正數(shù)有正、負(fù)兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0;負(fù)數(shù)沒有平方根.

求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方.平方與開平方互為逆運(yùn)算.

要點(diǎn)詮釋：一個(gè)正數(shù)0的正平方根用“石”表示；白的負(fù)平方根用“-石”表示；因

此，一個(gè)正數(shù)a的平方根用“土質(zhì)”表示，其中&叫做被開方數(shù).

2.算術(shù)平方根的定義

正數(shù)的正的平方根稱為算術(shù)平方根.(規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0);一個(gè)數(shù)a(0>0)

的算術(shù)平方根記作"石".

要點(diǎn)詮釋：當(dāng)式子志有意義時(shí)，&一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，即點(diǎn)>0,a>0.

要點(diǎn)二、平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系

1.區(qū)別：(1)定義不同；(2)結(jié)果不同：土近和血

2.聯(lián)系：(1)平方根包含算術(shù)平方根；

(2)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；

(3)0的平方根和算術(shù)平方根均為0.

要點(diǎn)詮釋：(1)正教的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的那個(gè)叫它的算術(shù)平方

根；負(fù)數(shù)沒有平方根.

(2)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出它

的另一個(gè)平方根.因此，我們可以利用算術(shù)平方根來研究平方根.

要點(diǎn)三、平方根的性質(zhì)

a(以>0)

=\a\=<0(a=0)

-a(a<0)

(而|=a(a>0)

要點(diǎn)四、平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律

被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者

向左移動(dòng)1位.例如：&2500=250,卮=25,而云=2.5,,0.0625=0.25.

【典型例題】

類型一、平方根和算術(shù)平方根的概念

1、下列說法錯(cuò)誤的是()

A.5是25的算術(shù)平方根B.1是1的一個(gè)平方根

C.'的平方根是一4D.0的平方根與算術(shù)平方根都是0

【答案】C；

【解析】利用平方根和算術(shù)平方根的定義判定得出正確選項(xiàng).

A.因?yàn)閾P(yáng)=5,所以本說法正確；

B.因?yàn)槭績?yōu)=±1,所以1是I的一個(gè)平方根說法正確；

c.因?yàn)橥?+V16=±4,所以本說法錯(cuò)誤；

D.因?yàn)槭績?yōu)=0,VO=0,所以本說法正確；

【總結(jié)升華】此題主要考查了平方根、算術(shù)平方根的定義，關(guān)鍵是明確運(yùn)用好定義解決問題.

舉一反三：

【變式】判斷下列各題正誤，并將錯(cuò)誤改正：

(1)-9沒有平方根.()

(2)V16=±4()

(--)2±-

(3)10的平方根是10.()

__24_

(4)5是25的算術(shù)平方根.()

【答案】，；x；M；x,

24_

提示：(2)J記=4；(4)5是25的算術(shù)平方根.

▼2、(2016?古冶區(qū)二模)如果一個(gè)正數(shù)的平方根為2a+l和3a-ll,則a=()

A.±1B.lC.2D.9

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)列出方程，求出方程的解即可得

到a的值.

【答案】C.

【解析】

解：根據(jù)題意得:2a+l+3a-ll=0

解得：a=2.

故選C.

【總結(jié)升華】本題考查了平方根，熟練掌握平方根的定義是解決本題的關(guān)鍵.

請你找出其中規(guī)律，并將第n(n>l)個(gè)等式寫出來.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)所給式子，找規(guī)律.

【答案】

【總結(jié)升華】本題考查了實(shí)數(shù)平方根，解決本題的關(guān)鍵是找到規(guī)律.

舉一反三：

【變式】(2015?恩施州一模)觀察數(shù)表：

1

2第1行

出

加第2行

0地3

而2、萬第3行

相

而

疝4

3、萬、麗2芯第4行

根據(jù)數(shù)陣排列的規(guī)律，第10行從左向右數(shù)第8個(gè)數(shù)是.

【答案】772.

類型二、平方根的運(yùn)算

tr4、求下列各式的值.

⑴J252_24?,歷不;⑵屜4g4師.

【思路點(diǎn)撥】(1)首先要弄清楚每個(gè)符號(hào)表示的意義.(2)注意運(yùn)算順序.

【答案與解析】

2222

解：(1)V25-24.73+4=-S/49'V25=7X5=35.

J20不——Jo.36——-y900=——x0.6——x30=-—0.2-6=-1.7

【總結(jié)升華】⑴混合運(yùn)算的運(yùn)算順序是先算平方開方，再乘除，后加減，同一級(jí)運(yùn)算按先后

順序進(jìn)行.⑵初學(xué)可以根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的意義和表示方法來解，熟練后直接根據(jù)

-a(a>0)來解?

舉一反三：

【變式】求下列各式的值：

(1)31^25（2）1+q36

V036.

⑶施行

6

【答案】（1）15;（2）15;（3）-0.3;（4）55

類型三、平方根的應(yīng)用

C5、要在一塊長方形的土地上做田間試驗(yàn)，其長是寬的3倍，面積是1323平方米.求

長和寬各是多少米？

【答案與解析】

解：設(shè)寬為X,長為3X,

由題意得，X?3工=1323

3犬=1323

x=d21

x=—21（舍去）

答：長為63米，寬為21米.

【總結(jié)升華】根據(jù)面積由平方根的定義求出邊長，注意實(shí)際問題中邊長都是正數(shù).【鞏固練

習(xí)】

一.選擇題

1.（2016?泰州）4的平方根是（)

±1

A.±2B.-2C.2D.2

2.下列各數(shù)中沒有平方根的是（)

1

D.-6'

3.下列說法正確的是（）

A.169的平方根是13B.1.69的平方根是±1.3

C.（一1"的平方根是一13D.-（-13）沒有平方根

4.若冽=如一4,則估計(jì)活的值所在的范圍是（）

A.\<m<2B.2<w<3C.3<w<4D.4<w<5

5.（2015?重慶模擬）若）X-1+（y+2）?=（）,則（x+y）3015等于（）

20142014

A.-lB.lC.3D,-3

6.一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是“，則比這個(gè)數(shù)大8數(shù)是（）

C.口.一+8

A.白+8B.a-4

二.填空題

7.計(jì)算：（1）=；（2）-V256=；（3）±Ji?=

（4）廳=;（5）Ji。=,（6）宿一______.

8.（2016?廣東）9的算術(shù)平方根是.

9.25的平方根是_______；0.0001算術(shù)平方根是_______;0的平方根是_______

10.）（一4）2的算術(shù)平方根是病的算術(shù)平方根的相反數(shù)是

11.一個(gè)數(shù)的平方根是±2,則這個(gè)數(shù)的平方是.________

12.（2015春?羅田縣期中）已知43.456=L859,V34.56=5,789,則/345600=.

三.解答題

13.求下列各式中的工.

⑴3143=1；（2）4?-1=0；

14.（2015春?昌江縣校級(jí)期中）小文房間的面積為10.8m2,房間地面恰巧由120塊相同的

正方形地磚鋪成，每塊地磚的邊長是多少？

15.思考題：估計(jì)與序最接近的整數(shù).

【答案與解析】

一.選擇題

1.【答案】A;

【解析】正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).

2.【答案】D;

【解析】負(fù)數(shù)沒有平方根.

3.【答案】B;

【解析】169的平方根是±13,（T31的平方根是±13.

4.【答案】B;

6

【解析】<740<7；所以2<J^-4<3.

5.【答案】A;___

【解析】解：Wx-1+（y+2）2=0,

.*.x=l,y=-2,

（x+y）2。15=（1-2）20,5=-1,

故選A.

6.【答案】D;

【解析】一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是°,則這個(gè)數(shù)是a1

二.填空題

_3

7.【答案】11；-16;±12;9;3;2.

8.【答案】3;

9.【答案】5；0.01;0.

10.【答案】2;-3;

【解析】J（一4）2=4,9=9,此題就是求4的算術(shù)平方根和9的算術(shù)平方根的相反

數(shù).

11.【答案】16;

【解析】一個(gè)數(shù)的平方根是±2,則這個(gè)數(shù)是4,4的平方是16.

12.【答案】578.9.

三.解答題

13.【解析】

解:(1)0=144⑵

x=±12

14.【解析】

解：設(shè)每塊地磚的邊長是X,

則120x2=10.8,

解得x=±0.3（舍負(fù)），

答：每塊地轉(zhuǎn)的邊長是0.3m.

15.【解析】

解：；25<35<36

：.岳<莊<736

即5<回<6

??-35比較接近36,

,而最接近的整數(shù)是6.

立方根

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解立方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的立方根；

2.了解開立方與立方互為逆運(yùn)算，會(huì)用立方運(yùn)算求某些數(shù)的立方根;

3.會(huì)用計(jì)算器求立方根.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、立方根的定義

如果一個(gè)數(shù)的立方等于口，那么這個(gè)數(shù)叫做。的立方根或三次方根.這就是說，記作怒

表示，其中a是被開方數(shù)，3是根指數(shù).符號(hào)"V"讀作"三次根號(hào)”.

求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方.

要點(diǎn)詮釋：開立方和立方互為逆運(yùn)算.

要點(diǎn)二、立方根的特征

立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.

要點(diǎn)詮釋：任何數(shù)都有立方根，一個(gè)數(shù)的立方根有且只有一個(gè)，并且它的符號(hào)與這個(gè)非

零數(shù)的符號(hào)相同.兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù).

要點(diǎn)三、立方根的性質(zhì)

l/-a=一而

-a

|'l/aI-a

要點(diǎn)詮釋：第一個(gè)公式可以將求負(fù)數(shù)的立方根的問題轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根的問題.

要點(diǎn)四、立方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律

被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)3位，它的立方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左

移動(dòng)］位.例如，VO.OOO216=0.06；VO.216=0.6；"市=6,^216000=60.

【典型例題】

類型一、立方根的概念

^^1、下列結(jié)論正確的是（）

_2_2

A.64的立方根是±4B.2是6的立方根

C.立方根等于本身的數(shù)只有0和1D.=-V27

【答案】D；

11

【解析】64的立方根是4;2是8的立方根；立方根等于本身的數(shù)只有o和±1.

【總結(jié)升華】一個(gè)非零數(shù)與它的立方根符號(hào)相同；鄧二=一而.

舉一反三：

【變式】下列說法正確的是（）

A.-個(gè)數(shù)的立方根有兩個(gè)B.一個(gè)非零數(shù)與它的立方根同號(hào)

C.若一個(gè)數(shù)有立方根，則它就有平方根D.一個(gè)數(shù)的立方根是非負(fù)數(shù)

【答案】B;提示：任何數(shù)都有立方根，但是負(fù)數(shù)沒有平方根.

J2x-16+，一2.+4|=0,求1y

▼2、（2016春?南昌期末）已知實(shí)數(shù)X、尸滿足3的

立方根.

【思路點(diǎn)撥】先由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得X、7的值，然后在求得代數(shù)式的值，最后再求得它的

立方根即可.

【答案與解析】

解：由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知：2x-16=0,x-2i+4=0,

解得：x=8,產(chǎn)6.

44

2x--,y=2x8--x6=8

2x--y

3的立方根是2.

【總結(jié)升華】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、立方根的定義，求得X、尸的值是解題的關(guān)鍵.

類型二、立方根的計(jì)算

32

(2)M11X4+5

4-^/(-3)2-V-T

(4)

【答案與解析】

32

(2)V11X4+5

f1

=1/Hx64+25=2xI—4

=</729

_1

3=9一2

⑷V-27+7(-3)2-V-1

=-3+3+1

=1

⑸-E后+B

=2--+1

2

4,7

=—+1=—

33

【總結(jié)升華】立方根的計(jì)算，注意符號(hào)和運(yùn)算順序,帶分?jǐn)?shù)要轉(zhuǎn)化成假分?jǐn)?shù)再開立方.

舉一反三：

【變式】(2015春?武漢校級(jí)期末)計(jì)算

3

【答案】4.

3

解:4

類型三、利用立方根解方程

^^4、(2015春?黃梅縣校級(jí)月考)若8x3-27=0,則x=.

【思路點(diǎn)撥】先求出/的值，然后根據(jù)立方根的定義解答.

3

【答案】2.

【解析】

解：8x3-27=0,

27

x3=~8,

327

???(2)3=8,

3

.,.x=2；

【總結(jié)升華】本題考查了利用立方根求未知數(shù)的值，熟記立方根的定義是解題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式】求出下列各式中的口：

(1)若1=0.343,則&=；(2)若/-3=213,則白=;

(3)若1+125=0,則白=；(4)若匕-"=8,則。=.

【答案】(1)a=0.7;(2)a=6;(3)a=-5;(4)a=3.

類型四、立方根實(shí)際應(yīng)用

^^5、在做物理實(shí)驗(yàn)時(shí)，小明用一根細(xì)線將一個(gè)正方體鐵塊拴住，完全浸入盛滿水的圓柱

體燒杯中，并用一量筒量得鐵塊排出的水的體積為64c幽\小明又將鐵塊從水中提

16

起，量得燒杯中的水位下降了9kcm.請問燒杯內(nèi)部的底面半徑和鐵塊的棱長各是

多少？

16

【思路點(diǎn)撥】鐵塊排出的64c於3水的體積，是鐵塊的體積，也是高為9kC冽燒杯的體積.

【答案與解析】

解：鐵塊排出的64c沿3的水的體積，是鐵塊的體積.

設(shè)鐵塊的棱長為VCM,可列方程1/=64,解得丁=4

216?

JTXx—=64

設(shè)燒杯內(nèi)部的底面半徑為xc加，可列方程9開，解得x=6.

答：燒杯內(nèi)部的底面半徑為6c冽，鐵塊的棱長4c網(wǎng).

【總結(jié)升華】應(yīng)該熟悉體積公式，依題意建立相等關(guān)系（方程），解方程時(shí)，常常用到求平

方根、立方根，要結(jié)合實(shí)際意義進(jìn)行取舍.本題體現(xiàn)與物理學(xué)科的綜合.

舉一反三：

【變式】將棱長分別為ac用和5c制的兩個(gè)正方體鋁塊熔化，制成一個(gè)大正方體鋁塊，這個(gè)

大正方體的棱長為cm.（不計(jì)損耗）

【答案】而+一.

【鞏固練習(xí)】

一.選擇題

1.下列結(jié)論正確的是（）

27,31

---土-—

A.64的立方根是4B.125沒有立方根

C.有理數(shù)一定有立方根D.（一1）的立方根是一1

2.（2016?湖北襄陽）-8的立方根是（）

A.2B.-2C.±2D.-也

3.下列說法中正確的有（）個(gè).

4+23_+2

①負(fù)數(shù)沒有平方根，但負(fù)數(shù)有立方根.②9的平方根是3'27的立方根是3

③如果'=（-2,1,那么工=—2.④算術(shù)平方根等于立方根的數(shù)只有1.

A.1B.2C.3D.4

4.X是（3的平方根，丁是64的立方根，則無+丁=（）

A.3B.7C.3,7D.1,7

3/

5.（2015?東營區(qū)校級(jí)模擬）M（-1）的立方根是（）

A.-lB.OC.1D.±l

6.有如下命題：①負(fù)數(shù)沒有立方根；②一個(gè)實(shí)數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；③一個(gè)正數(shù)或

負(fù)數(shù)的立方根與這個(gè)數(shù)同號(hào)；④如果一個(gè)數(shù)的立方根是這個(gè)數(shù)本身，那么這個(gè)數(shù)是1或

0,其中錯(cuò)誤的是（）

A.①②③B.①②④C.@@④D.①③④

二.填空題

7.（2016?安徽三模）癇的平方根為.

8.-8的立方根與屈的平方根的和是______.

9.（2015春?海珠區(qū)期末）已知如996=2.078,右、20.78,則y=.

10.一個(gè)數(shù)的平方等于64,則這個(gè)數(shù)的立方根是______.

11.如果弘+4=4那么（"一的值是

]2.若（彳—妙——g,則X=.

三.解答題

13.一個(gè)長方體的長為5cm,寬為2cm,高為3cm,而另一個(gè)正方體的體積是它的2倍，求

這個(gè)正方體的棱長a.（結(jié)果精確到0.01cm）

14.（2015春?羅平縣校級(jí)期中）已知M="中旭+3是m+3的算術(shù)平方根，N=

2?-4?+3/--o.,

7"-2是n-2的立方根，試求M-N的值.

a

15.若尋2。一1和尋1一劭互為相反數(shù),求小的值.

【答案與解析】

一.選擇題

1.【答案】C；

273&

【解析】64的立方根是Z；（一”的立方根是1.一個(gè)非零數(shù)與它的立方根符號(hào)相同.

2.【答案】B;

【解析】-8的立方根是：舛=-2.

3.【答案】A;

【解析】只有①正確.算術(shù)平方根等于立方根的數(shù)有0和1.

4.【答案】D;

【解析】：X是?的平方根，y是64的立方根，；.*=±3,'=4則'+^=3+

4=7或x+丁=-3+4=1.

5.【答案】A;________

【解析】解：N（T）=一1,

印（-1）的立方根是刃-1=-1,

故選A.

6.【答案】B;

【解析】①負(fù)數(shù)有立方根；②一個(gè)實(shí)數(shù)的立方根是正數(shù)、0、負(fù)數(shù)；④如果一個(gè)數(shù)的立方

根是這個(gè)數(shù)本身，那么這個(gè)數(shù)是±1或0.

二.填空題

7.【答案】±2.

【解析】:4的立方是64,」.64的立方根是4,4的平方根是±2,故答案為：士2.

8.【答案】1或一5;

【解析】注意病=9,9的平方根是±3.

9.【答案】8996;

【解析】解：,:如996=2.078,20.78,/.y=8996,故答案為：8996.

10.【答案】2或-2;

【解析】?；64的平方根是±8,±8的立方根是±2,這個(gè)數(shù)的立方根是±2.

11.【答案】-343；

=-343

【解析】以+4=64,°=60,以-67=—7,.

12.【答案】X=-l；

［解析］x—1=—2,^=—1.

三.解答題

13.【解析】

解：依題意得：1=5X2X3X2=60,

解得：=3.91,

答：這個(gè)正方體的棱長是3.91cm.

14.【解析】

m-4i-----2m-4n+3/~~—

解：因?yàn)镸=V/3是m+3的算術(shù)平方根，N=Vn-N是口一2的立方根，

所以可得：m-4=2,2m-4n+3=3,

解得：m=6,n=3,

把m=6,n=3代入m+3=9,n-2=1,

所以可得M=3,N=l,

把M=3,N=1代入M-N=3—l=2.

15.【解析】

解：?.?尋24-1和附1-%互為相反數(shù)

也2-1+小-3b=0,

；N2a—1--_3b,

.尋2a-l=耳TH啰）,

:.2a-1=38-l,2a=3占，

a3

,-.b=2.

實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)的運(yùn)算（基礎(chǔ)）

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解無理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng).；

2.會(huì)用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無理數(shù)的大致范圍.

3,會(huì)進(jìn)行簡單的實(shí)數(shù)四則運(yùn)算，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)近似數(shù)的概念.

4.能用實(shí)數(shù)的運(yùn)算解決一些簡單的實(shí)際問題.

【要點(diǎn)梳理】

［389317立方根、實(shí)數(shù)，知識(shí)要點(diǎn)】

要點(diǎn)一、有理數(shù)與無理數(shù)

有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).

要點(diǎn)詮釋：(1)無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，

不能表示成分?jǐn)?shù)的形式.

(2)常見的無理數(shù)有三種形式：①含兀類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：

1.313113111…….③帶有根號(hào)的數(shù)，但根號(hào)下的數(shù)字開方開不盡，如6

要點(diǎn)二、實(shí)數(shù)

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).

1.實(shí)數(shù)的分類

按定義分：

’有理數(shù)：有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)［無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)

按與0的大小關(guān)系分：

［正數(shù)嚴(yán)有理數(shù)

止姒［正無理數(shù)

-0

臺(tái)烈J負(fù)有理數(shù)

…就負(fù)無理數(shù)

2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng).

數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都對應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，反之任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之

對應(yīng).

要點(diǎn)三、實(shí)數(shù)大小的比較

對于數(shù)軸上的任意兩個(gè)點(diǎn)，右邊的點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)總是比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大.

正實(shí)藪大于0,負(fù)實(shí)數(shù)小于0,兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小.

要點(diǎn)四、實(shí)數(shù)的運(yùn)算

有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實(shí)數(shù).

實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序是：先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減.如果遇到括號(hào)，則先進(jìn)行

括號(hào)里的運(yùn)算.

【典型例題】

類型一、實(shí)數(shù)概念

^^1、指出下列各數(shù)中的有理數(shù)和無理數(shù)：

0—,兀_?事,啊0,1-72,560,1010010001……

73

【思路點(diǎn)撥】對實(shí)數(shù)進(jìn)行分類時(shí)，應(yīng)先對某些數(shù)進(jìn)行計(jì)算或化簡，然后根據(jù)它的最后結(jié)果進(jìn)

行分類，不能僅看到根號(hào)表示的數(shù)就認(rèn)為是無理數(shù)①是無理數(shù)，化簡后含”的代數(shù)式也是無

理數(shù).

尊取0.

【答案與解析】有理數(shù)有73

無理數(shù)有點(diǎn)，兀乖，”也洋,0.1010010001……

【總結(jié)升華】有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).

常見的無理數(shù)有三種形式：①含兀類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：0.1010010001

③帶有根號(hào)的數(shù)，但根號(hào)下的數(shù)字開方開不盡，如5石，出,血，1-72.

舉一反三：

【變式】（2015春?武昌區(qū)期中）下列說法正確的是（）

A.無限小數(shù)都是無理藪B.無理數(shù)都是無限小數(shù)

C.帶根號(hào)的數(shù)都是無理數(shù)D.TT-3.14=0

【答案】B；

解：A.無理數(shù)指的是無限不循環(huán)小數(shù)，無限小數(shù)還包括無限循環(huán)小數(shù)，錯(cuò)誤；

B,無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以都是無限小數(shù)，正確；

C、開方開不盡的數(shù)是無理數(shù)，錯(cuò)誤；

D、"近似值是3.14,但兀-3.14K0,錯(cuò)誤；

故選B.

類型二、實(shí)數(shù)大小的比較

?返二至

WF2、（2015?成都）比較大小：28.（填?>”，“<"或"=”）

【答案】<

【解析】

聲15

解：2-8

W5-4_5

=~~8-8

蛆_9

="""8-

..（475）2-9^=80-81=-1<0

.?W

娓一、5

2-8<o,

?西T5

2<8.

【總結(jié)升華】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是判斷出

述一15

2-5的差的正、負(fù).

舉一反三：

【變式】比較大小

3/9

-7T_-3,14幣—有3~2邪_3&2一出—0

-3_-V10

【答案】<;>;<;<;<;>;<.

^^3、（2016?通州區(qū)二模）如圖，數(shù)軸上的A,B,C,D四點(diǎn)中，與表示數(shù)值的點(diǎn)數(shù)

接近的點(diǎn)是（）

ABCD

?,：--!---!----?--??A

-?-10124456

A.點(diǎn)AB.點(diǎn)BC.ACD.點(diǎn)D

【思路點(diǎn)撥】先估算出與值比較接近的兩個(gè)整數(shù)，再根據(jù)數(shù)軸即可得到哪個(gè)點(diǎn)與最接

近，本題得以解決.

【答案】C；

【解析】解：?.?仍苗<俯<體，

.-.4<VT7<5,

二數(shù)軸上與表示數(shù)S廳的點(diǎn)數(shù)接近的點(diǎn)是C,

故選C.

【總結(jié)升華】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是明確數(shù)軸的特點(diǎn)，可以估算出值與哪

兩個(gè)整數(shù)最接近.

類型三、實(shí)數(shù)的運(yùn)算

4、計(jì)算：（1）I-6|—抬一（一1）;（2）7t-而（精確到0.001）

【答案與解析】

解：（1）原式=6—3—1=2.

（2）原式=3.1416-4.4721%—1.331

【總結(jié)升華】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，涉及的知識(shí)有：平方根的定義，絕對值的代

數(shù)意義，近似數(shù)，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

6若I2|+也-3+（c-4y=0,則a-5+c=.

【思路點(diǎn)撥】由有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和為零，則每個(gè)數(shù)都應(yīng)為零可得到方程中0,b,c的值.

【答案】3;

【解析】

a-2=0a=2

<b-3=0<b=3

解：由非負(fù)數(shù)性質(zhì)可知：1c-4=°,即卜=4,...a-b+c=2-3+4=3.

【總結(jié)升華】初中階段所學(xué)的非負(fù)數(shù)有|aI,a2,非負(fù)數(shù)的和為0,只能每個(gè)非負(fù)數(shù)

分別為0.

舉一反三：

【變式】已知（*+16尸+1丁+3|地-3=0,求揚(yáng)^的值.

【答案】

x+16=0x=-16

<y+3=0<y=-3

解：由已知得〔2-3=0,解得［z=3

16x3x312

,V^=V（-）（-）=.

【鞏固練習(xí)】

一.選擇題

1.（2016?煙臺(tái)）下列實(shí)數(shù)中，有理數(shù)是（）

71

A.V8B,V4C.2D.0.101001001

2.下列說法正確的是（）

A.無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)B.無限小數(shù)都是無理數(shù)

C.有理數(shù)都是有限小數(shù)D.帶根號(hào)的數(shù)都是無理數(shù)

3.估計(jì)配的大小應(yīng)在（）

A.7?8之間B.8.0?8.5之間

C.8.5~9.0之間D.9?10之間

4.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)戶表示的數(shù)可能是（）.

A.MB.75C.73D.0

、、B、、r

-101234

5.實(shí)數(shù)26、幣和20的大小關(guān)系是（）

A.2.6<2五B,不<2.6<2五

C.2,6<77<2-72D.2板<2.6<手

6.一個(gè)正方體水晶磚，體積為100。幽;它的棱長大約在（）

A.4?5c冽之間B.5?6c那之間

C.6?7c加之間D.7?8CM之間

二.填空題_______

7.（2014秋?株洲縣期末）下列各數(shù)：①3.141、②0.33333…、③爬-限④小⑤±也.25、

2

⑥-3、⑦0.3030003000003…（相鄰兩個(gè)3之間0的個(gè)數(shù)逐次增加2）、⑧0中.其中是

有理數(shù)的有；是無理數(shù)的有.（填序號(hào)）

8.在數(shù)軸上與1距離是/的點(diǎn)，表示的實(shí)數(shù)為.

9.13.14-n|=—；|24-30|=

10.5一宕的整數(shù)部分,小數(shù)部分4________.

11.已知x為整數(shù)，且滿足在一④與石之間，則工=.

——2

12.（2016?南京）比較大小：V5-3____2.

三.解答題

1

13.（2015?昆明）計(jì)算：V9+（-1）?於+（6_兀）0-（-2）-2.

14.天安門廣場的面積大約是440000網(wǎng),若將其近似看作一個(gè)正方形，那么它的邊長大約

是多少？（用計(jì)算器計(jì)算，精確到活）

15.已知后二^+*一3引13|=0,求芯+丁的值

【答案與解析】

一.選擇題

1.【答案】D;_

【解析】解：A、?不能正好開方，即為無理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、Vd不能正好開方，即為無理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、n為無理數(shù)，所以2為無理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、小數(shù)為有理數(shù)，符合.

2.【答案】A;

【解析】根據(jù)無理數(shù)的定義作答.

3.【答案】C;

【解析】國〈辰〈歷,8<-/76<9,因?yàn)?6比較接近81,所以M在8.5?9.0

之間.

4.【答案】B;

【解析】2c/<3

5.【答案】C;

【解析】不<足=2圾

6.【答案】A;

【解析】64<100<125,遍<^100<^125,4<7100<5.

二.填空題

7.【答案】①②⑤⑥⑧；③④⑦.

_____2

【解析】解：有理數(shù)的有3.141、0.33333…、±-2.25、-3、0;是無理數(shù)的有正-

沂、兀、0.3030003000003--?（相鄰兩個(gè)3之間0的個(gè)數(shù)逐次增加2）.

8.【答案】1士遭；

【解析】與1的距離是后的點(diǎn)在1的左右兩邊各有一個(gè)點(diǎn)，分別是1一出、1+J5.

9.【答案】it-3.14;3圾-2也.

【解析】負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù).

10.【答案】2;3-；

【解析】2<5一右<3,故整數(shù)部分為2,5一右一2為小數(shù)部分.

11.【答案】一1,0,1;

12.【答案】<;

【解析】<:??-4<5<9,

.?.2<V5<3,

.-.V5-3<0,V5-2>0,

娓-2

.-.V5-3<2

三.解答題

13.【解析】

解：原式=3-1+1-4

=-1.

14.【解析】

解：設(shè)廣場的邊長為X,由題意得：

-2_

X-440000

x=7440000

=200A^~1~663幽.

答：它的邊長約為663m.

15?【解析】

解：..而善H--3伊-13|=0,

x一2=0且/-3丁-13=0

解得*=2,丁=—3,

x+丁=2-3=-l.

《數(shù)的開方》全章復(fù)習(xí)與鞏固一知識(shí)講解（基礎(chǔ)）

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解平方根、立方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根、立方根；了解開方與平方互為逆

運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會(huì)用立方運(yùn)算求某些數(shù)的立方根，會(huì)用計(jì)算器

求平方根和立方根；

2.理解無理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)對應(yīng)，了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴(kuò)大

為實(shí)數(shù)后，概念、運(yùn)算等的一致性及其發(fā)展變化；

3.能用適當(dāng)?shù)挠欣頂?shù)估計(jì)一個(gè)無理數(shù)的大致范圍.

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】

【要點(diǎn)梳理】

，要點(diǎn)一：平方根和壬方根

類型

二平方根立方根

項(xiàng)目

被開方數(shù)非負(fù)數(shù)任意實(shí)數(shù)

符號(hào)表示±&版

一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且互為一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；

相反數(shù)；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；

性質(zhì)

零的平方根為零；零的立方根是零；

負(fù)數(shù)沒有平方根；

(五)2_儀(々>0)=乙

在=同=［心加

重要結(jié)論=a

ri<0)

可-a=-^fa

要點(diǎn)二：實(shí)數(shù)

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).

1.實(shí)數(shù)的分類

按定義分：

’有理數(shù)：有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)［無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)

按與0的大小關(guān)系分：

［正數(shù)］正有理數(shù)

止姒i正無理數(shù)

<0

臺(tái)第J負(fù)有理數(shù)

負(fù)數(shù)〈也工工田特

實(shí)數(shù)［I負(fù)無理數(shù)

要點(diǎn)詮釋：

(1)所有的實(shí)數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù).其中有限小數(shù)和

無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

(2)無理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如石，沖等；②有特殊意義的數(shù)，

如兀；③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…

(3)凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)形式.

(4)實(shí)數(shù)和數(shù)軸上點(diǎn)是一一對應(yīng)的.

2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系

數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都對應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，反之任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之

對應(yīng)，即實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)---對應(yīng).

3.實(shí)數(shù)的三個(gè)非負(fù)性及性質(zhì)

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的非負(fù)數(shù)有如下三種形式：

(1)任何一個(gè)實(shí)數(shù)0的絕對值是非負(fù)數(shù)，即|白|》0;

(2)任何一個(gè)實(shí)數(shù)以的平方是非負(fù)數(shù)，即a”2。；

(3)任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即忘之°(0>0).

非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì)：

(1)非負(fù)數(shù)有最小值零；

(2)有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)；

（3）幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0,則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0.

4.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

數(shù)以的相反數(shù)是一a;一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對值是它的相反

數(shù)；0的絕對值是0.

有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先乘方、

開方、再乘除，最后算加減.同級(jí)運(yùn)算按從左到右順序進(jìn)行，有括號(hào)先算括號(hào)里.

5.實(shí)數(shù)的大小的比較

有理數(shù)大小的比較法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.

法則1.實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)

大；

法則2.正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而

小；

法則3.兩個(gè)數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.

【典型例題】

類型一、平方根與立方根

1、在①2的平方根是也;②2的平方根是士也;③2的立方根是也;④2的立方

根是士也中，正確的結(jié)論有幾個(gè)（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)立方根平方根的定義分別求出2的平方根與立方根，則可求得答案.

【答案】B;

【解析】

解：的平方根是土血，2的立方根是我,

...②③正確，①④錯(cuò)誤；...正確的結(jié)論有2個(gè).

【總結(jié)升華】此題主要考查了平方根與立方根的定義和性質(zhì).注意熟記定義是解此題的關(guān)

鍵.

舉一反三：

【變式】（2015春?濰坊期中）已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的立方根是4,求a+b

的平方根.

【答案】

解：的平方根是±3,

「.2a-1=9,

.,.a=5,

3a+b—1的立方根是4,

3a+b-1=64,