試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁【高中數學競賽真題?強基計劃真題考前適應性訓練】專題13數學歸納法真題專項訓練（全國競賽+強基計劃專用）一、填空題1．（2019·全國·高三競賽）在數列中，，，其中，[x]表示不超過實數x的最大整數.則=_______.2．（2019·全國·高三競賽）已知實數列定義為，.設.則中有______個完全平方數.二、解答題3．（2021·全國·高三競賽）數列滿足：，求的通項公式．4．（2021·全國·高三競賽）求所有的函數，滿足，且對于所有整數，有.5．（2021·全國·高三競賽）已知.證明：當時，.6．（2018·全國·高三競賽）設，求證:（1）;（2）．7．（2018·全國·高三競賽）設個實數；滿足條件（1）；（2），；（3），.求證：.8．（2019·全國·高三競賽）設數列滿足,,.證明:對任意的,.9．（2018·全國·高三競賽）若百位數字為9的位自然數的各位數字之和為，其中，當的值最小時，是多少？10．（2019·全國·高三競賽）求證：數列的每一項都是整數，但都不是3的倍數.11．（2019·全國·高三競賽）設數列滿足，，試求．12．（2018·全國·高三競賽）已知數列滿足，且對所有正整數有.求證：存在正整數，使得.13．（2021·全國·高三競賽）給定正整數m、k，有n個選手參加一次測試，該測試由m個項目構成，每個項目完成后都會取得一個評分，沒有兩個人在一個項目取得相同的評分．求n的最小值，使得總存在k個選手，在第j個項目中的k個得分要么單調遞增，要么單調遞減，．14．（2018·全國·高三競賽）正整數數列滿足：（1）求；（2）求最小的正整數，使得．15．（2018·全國·高三競賽）給定兩個數列，滿足，;，，證明：對任意的可表為兩個正整數的平方和．16．（2021·全國·高三競賽）設和為兩組復數，滿足：．求證：存在數組（其中），使得．17．（2021·全國·高三競賽）已知n個非負實數和為1．求證：．18．（2021·全國·高三競賽）設數列滿足.求證：.19．（2018·全國·高三競賽）定義在正整數集上，且滿足，.求證：對所有整數，有.20．（2021·全國·高三競賽）給定正整數．求最大的實數．使得對任意正實數恒成立，其中．21．（2018·全國·高三競賽）數列滿足：，.求證：對一切，均有.其中表示不大于實數的最大整數，是斐波那契數列：.22．（2018·全國·高三競賽）已知數列．求證：．23．（2018·全國·高三競賽）給定正整數，對于正整數，集合.集族滿足如下條件：（1）的每個集合都是的元子集；（2）中的任意兩個集合至多有一個公共元素；（3）的任意一個元素恰出現在中的兩個集合中.試求的最大值.24．（2018·全國·高三競賽）奧運會排球預選賽有支球隊參加，其中每兩隊比賽一場，每場比賽必決出勝負．如果其中有支球隊滿足：勝，勝，勝，勝，則稱這支球隊組成一個“階連環套”．證明：若全部支球隊組成一個階連環套，則對于每個及每支球隊，必與另外某些球隊組成一個階連環套．25．（2019·全國·高三競賽）求滿足下列條件的最小正整數t，對于任何凸n邊形，只要，就一定存在三點，使的面積不大于凸n邊形面積的.26．（2019·全國·高三競賽）正整數數列滿足：，．試求通項公式．27．（2019·全國·高三競賽）設是定義在自然數集合上并在上取值的函數,滿足:對任何兩個不相等的自然數,有.(1)求;(2)假設是100個兩兩不相等的自然數,求;(3)是否存在符合題設條件的函數,使,證明你的結論.28．（2018·全國·高三競賽）設，其中，b為正奇數.定義數列滿足，.若正整數，使得為素數.證明：.29．（2019·全國·高三競賽）求證:存在唯一的正整數數列，使得，.30．（2022·浙江杭州·高三學軍中學校考競賽）我們稱為“花式集合”，如果它滿足如下三個條