試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁【高中數學競賽真題?強基計劃真題考前適應性訓練】專題12多項式真題專項訓練（全國競賽+強基計劃專用）一、單選題1．（2020·北京·高三強基計劃）設p，q均為不超過100的正整數，則有有理根的多項式的個數為（

）A．99 B．133 C．150 D．前三個答案都不對2．（2020·北京·高三強基計劃）設a，b，c，d是方程的4個復根，則（

）A． B． C． D．前三個答案都不對3．（2018·全國·高三競賽）已知.則多項式除以后，所得余式為（

）.A．0 B．1 C． D．二、填空題4．（2020·北京·高三強基計劃）已知是的2019個根，則__________．5．（2021·全國·高三競賽）已知多項式有2020個非零實根（可以有重根），其中為非負整數，求的最小值．6．（2020·浙江·高三競賽）設曲線：，若對于任意實數，直線與曲線有且只有一個交點，則的取值范圍為__________.7．（2021·浙江·高三競賽）已知方程有兩個不同的實數根，則有______個不同的實數根.8．（2021·全國·高三競賽）若實數a，b滿足則_________．9．（2019·全國·高三競賽）若是關于的一元三次方程的三個兩兩不等的復數根，則代數式的值為______．10．（2019·全國·高三競賽）已知實數、、、滿足，，，.則______.11．（2019·全國·高三競賽）對，，定義．設是一個6次多項式且滿足，．用表示______．12．（2018·全國·高三競賽）多項式的三個根成等比數列．則的值為______．13．（2018·全國·高三競賽）已知除多項式所得余式是.則______.14．（2018·全國·高三競賽）已知，且時，．則________15．（2018·全國·高三競賽）設．若，則n的取值集合為________．16．（2014·吉林·高三競賽）方程組的一組實數解為______.三、解答題17．（2023·全國·高三專題練習）已知，且能被整除，求的值．18．（2023·全國·高三專題練習）設是多項式的四個根中的三個根，求所有這樣的三個數19．（2023·全國·高三專題練習）設，是兩個實系數非零多項式，且存在實數使得記，證明：20．（2023·全國·高三專題練習）設多項式，證明：至少有一個根為虛根．21．（2021·全國·高三競賽）設、是無窮復數數列，滿足對任意正整數n，關于x的方程的兩個復根恰為、（當兩根相等時）．若數列恒為常數，證明：（1）；（2）數列恒為常數．22．（2021·全國·高三競賽）設函數有三個正零點，求的最小值.23．（2020·浙江·高三競賽）已知，為整系數多項式，若，求，.24．（2021·全國·高三競賽）已知實數x、y、z滿足求證：x、y、z中至少一個為2020．25．（2019·全國·高三競賽）已知正的三個頂點在拋物線上.試求正中心的軌跡方程.26．（2019·全國·高三競賽）設2006個實數滿足，，，……，求代數式的值.27．（2021·全國·高三競賽）記（在模p意義下，其中p為奇質數），為系數定義在F上的多項式且，n為未定元的個數．若，證明：除外還有一個零點，即存在，使得．（注：取值也均從F中取，本題中所有等于與取值均在模意義下進行）28．（2018·全國·高三競賽）求滿足條件的實系數多項式：（1）對于任意的實數，有；（2）存在某一實數，使，，…，，，其中為的次數.29．（20