試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁【高中數學競賽真題?強基計劃真題考前適應性訓練】專題12多項式真題專項訓練（全國競賽+強基計劃專用）一、單選題1．（2020·北京·高三強基計劃）設p，q均為不超過100的正整數，則有有理根的多項式的個數為（

）A．99 B．133 C．150 D．前三個答案都不對【答案】B【分析】根據的范圍可得，從而可得多項式的個數.【詳解】函數單調遞增，因此有唯一負有理根，注意到最高項系數為1，因此的有理根為負整數，設為，則，因此．當時，有，其中，共99組；當時，有，其中，共34組；綜上所述，符合題意的多項式的個數為．故選：B.2．（2020·北京·高三強基計劃）設a，b，c，d是方程的4個復根，則（

）A． B． C． D．前三個答案都不對【答案】A【分析】利用換元法將原方程轉化為高次方程，再結合高次方程的韋達定理可求代數式的值.【詳解】法1：設，則，類似的，定義，則是方程，即的4個復根，方程左側中的系數為，的系數為根據韋達定理，有．法2：題中代數式也即，因此是關于x的方程，即的4個復根，故為方程的4個復根，從而，原式為．故選：A.3．（2018·全國·高三競賽）已知.則多項式除以后，所得余式為（

）.A．0 B．1 C． D．【答案】A【詳解】，是的十次單位方根.即，且.更有是的根，其中，2，…，9.又.則是方程的根，其中，2，…，9.故.選A.二、填空題4．（2020·北京·高三強基計劃）已知是的2019個根，則__________．【答案】1009【分析】利用換元法結合韋達定理可求的值.【詳解】設，則，從而是關于t的方程的2019個根，因此．故答案為：1009.5．（2021·全國·高三競賽）已知多項式有2020個非零實根（可以有重根），其中為非負整數，求的最小值．【答案】【詳解】設2020個非零實根為，易知．當時，，所以．由均值不等式知．這2020個式子相乘，得．當時，等號成立．故的最小值為．故答案為：.6．（2020·浙江·高三競賽）設曲線：，若對于任意實數，直線與曲線有且只有一個交點，則的取值范圍為__________.【答案】.【詳解】直線與曲線聯立，消去得：，法1：由題設，該方程對任意的，均有且又只有一個實數解，設，則，則對任意的恒成立，這不可能成立，故的取值范圍為.法2：設方程的根為，則.由題意得，方程無解，或方程的根為.對比兩邊的系數得：.因為，所以，方程化為.

（1）方程無解時，則，即對任意恒成立，故的取值范圍為.（2）方程有唯一的解，則，于是，矛盾.綜上所述，的取值范圍為.故答案為：7．（2021·浙江·高三競賽）已知方程有兩個不同的實數根，則有______個不同的實數根.【答案】4【詳解】設與是方程的兩個不同的根.由韋達定理知，.不難驗證,,剩下只需證明,方程的根是實數且兩兩不同.事實上,這兩個方程的判別式顯然都是正的,所以個有兩個不同的實數根，而若是這兩個方程的公共根,則有(,于是，是卻明顯不是它們的根.所以方程有四個實數根.故答案為：4.8．（2021·全國·高三競賽）若實數a，b滿足則_________．【答案】82【詳解】，，．故答案為：82.9．（2019·全國·高三競賽）若是關于的一元三次方程的三個兩兩不等的復數根，則代數式的值為______．【答案】625【詳解】由韋達定理得，，．則.10．（2019·全國·高三競賽）已知實數、、、滿足，，，.則______.【答案】20【詳解】由，

①，

②聯立式①、②解得，.則.故答案為2011．（2019·全國·高三競賽）對，，定義．設是一個6次多項式且滿足，．用表示______．【答案】【詳解】由，知存在多項式使得．故，有．又有多項式使得，即．故，有．從而，又有多項式使得．則．又由，知．故，．進一步有．繼續下去并利用是6次多項式可得．故答案為12．（2018·全國·高三競賽）多項式的三個根成等比數列．則的值為______．【答案】729【詳解】設多項式的三個根為，且.由韋達定理得則.故.13．（2018·全國·高三競賽）已知除多項式所得余式是.則______.【答案】0【詳解】由題設，有.則，，，.解得..14．（2018·全國·高三競賽）已知，且時，．則________【答案】75315【詳解】設，則時，．故知1，2，3，4為的根．因為五次式，故設．于是，．∴15．（2018·全國·高三競賽）設．若，則n的取值集合為________．【答案】【詳解】將題設等式左右兩邊同乘得比較系數得，.由此易得數列開始的一些項依次為：1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,從而，.接下來證明，當n更大時，不會有滿足的項.這只需證明：.事實上，當時，更不會有滿足的項.下面用數學歸納法證明.當n=3,4,5時結論顯然成立.假設當n≤k時結論成立.則因此，當n≥3時，有.綜上，滿足條件的n的取值集合為{1,9}.16．（2014·吉林·高三競賽）方程組的一組實數解為______.【答案】【詳解】由韋達定理知a、b、c、d恰為方程的四個實根.注意到，.解得方程組的四個實數解為的排列.即一組實數解為三、解答題17．（2023·全國·高三專題練習）已知，且能被整除，求的值．【答案】【分析】由題意可知存在整系數多項式，使得，則當取整數時，為整數，分別取，可逐步確定的取值，得到，驗證可知滿足題意.【詳解】令，，則存在整系數多項式，使得，即，則當取整數時，為整數；令，則，；令，則，；則只能取，，；令，則，，只能取，；令，則，，只能取，；令，則，，只能取；令，則，，只能取；若，則，此時，滿足題意；綜上所述：.18．（2023·全國·高三專題練習）設是多項式的四個根中的三個根，求所有這樣的三個數【答案】答案見解析.【分析】根據給定條件，按和兩種情況討論，再結合韋達定理分析、推理計算作答.【詳解】若則是方程的根，因此余下的要求出所有形如的多項式使得和是它的根，記這個多項式的第三個根為，則由韋達定理有，于是，因此多項式的三個根其中；若，由韋達定理知道的四個根滿足：，由可得，于是，從而，，從而，又，所以，由，于是，因此，解得或或或，所以所有的為：19．（2023·全國·高三專題練習）設，是兩個實系數非零多項式，且存在實數使得記，證明：【答案】證明見解析.【分析】根據給定條件，利用多項式恒等定理求出多項式的對應項系數的關系，再按和討論，并結合含絕對值不等式的性質推理作答.【詳解】因為，即，則有，于是，若，則，，，所以，于是，若，則由，得，于是，于是，，所以，于是，綜上得：.20．（2023·全國·高三專題練習）設多項式，證明：至少有一個根為虛根．【答案】證明見解析.【分析】令，可知的個根為，根據韋達定理可說明必有一個為虛數，由此可得結論.【詳解】，的根不為，設的個根為，令，則的個根為，由韋達定理知：，必有一個為虛數，從而為虛數，即至少有一個根為虛根.21．（2021·全國·高三競賽）設、是無窮復數數列，滿足對任意正整數n，關于x的方程的兩個復根恰為、（當兩根相等時）．若數列恒為常數，證明：（1）；（2）數列恒為常數．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據題意和韋達定理可得，取模得，若，結論顯然成立，否則，由于數列恒為常數，則，即結論也成立；（2）由（1）和題意知，數列恒為常數，則只有互為共軛的兩種取值，不妨設為和，依據題意即可證明.【詳解】由題意和韋達定理得,則，即．

①（1）由①取模得，若，結論顯然成立；否則，由于數列恒為常數，則，即有．（2）由（1）知，對任意的，又數列恒為常數，因此只有互為共軛的兩種取值和．若存在，使得，不妨設，則．若，則，即或2；若，則，且．因此，要么，要么呈、周期．故顯然是常數，即證數列恒為常數.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查數列不等式的證明，解題關鍵在于利用韋達定理得出，再取模，對這種特殊情形和一般情形討論即可證明結論成立；（2）本題主要考查常數列的證明，解題關鍵在于的取值情況和的假設，由（1）和題意知，數列恒為常數，則只有互為共軛的兩種取值，不妨記為和，若存在，使得，不妨設，則，對分類討論即可證明.22．（2021·全國·高三競賽）設函數有三個正零點，求的最小值.【答案】【詳解】一方面，當時，方程，故此函數有三個相等的零點，此時，下面證明即為所求的最小值.設方程的三個正實根分別為??，則由根與系數的關系可得.故.由知：，可得.①又由知：，可得，從而有，故，解得，所以，即，所以②由①②可得，其中，設，則，故在為減函數，故.故.23．（2020·浙江·高三競賽）已知，為整系數多項式，若，求，.【答案】答案見解析【詳解】由題意得：，即.因為，故無公約式，若，則，若，因為，為整系數多項式，則或，其中無公約式，若，則，故，，同理當時，，，綜上，，或，，為整系數的多項式.24．（2021·全國·高三競賽）已知實數x、y、z滿足求證：x、y、z中至少一個為2020．【答案】證明見解析【詳解】由題意知，故：，故x、y、z中至少一個為2020．25．（2019·全國·高三競賽）已知正的三個頂點在拋物線上.試求正中心的軌跡方程.【答案】，其中，參數.【詳解】設：.

①由對稱性，先不妨設.將式①與聯立得.則，，.從而，的中點，且.則：，即.

②由，其中，.將式②與聯立得，其中，，且從而，.故.設的中心.則，，其中，參數.26．（2019·全國·高三競賽）設2006個實數滿足，，，……，求代數式的值.【答案】見解析【詳解】記，并定義.則所求代數式為.

①記，

②其中，，是次數小于的多項式.由定義可知從而，多項式的次數不大于，且是方程的根.由代數基本定理有.③其中，是依賴于的常數，比較式③兩端的系數可得.將代入式③，可得.另外，將代入式③得.由式②得.將上式代入式①得.27．（2021·全國·高三競賽）記（在模p意義下，其中p為奇質數），為系數定義在F上的多項式且，n為未定元的個數．若，證明：除外還有一個零點，即存在，使得．（注：取值也均從F中取，本題中所有等于與取值均在模意義下進行）【答案】證明見解析.【詳解】反證法：若結論不成立，則對任意有．考慮多項式，則．

①下證，則結論成立．對n歸納證明，當時，由拉格朗日定理知結論成立（即）．設時，對應的g滿足．對時，記．考慮以為主元，對g用h作帶余除法，有，且在p中的次數小于．而對任意我們知當時，，故．即對任意一給定的，有．而給定后，相當于的多項式，而關于次數小于．故此時p相對為零多項式（由拉格朗日定理），故也為0．故在取值上，恒為0．（僅在取值上！如可取）．故，此時作為關于的多項式也滿足①式．由歸納假設知，故．28．（2018·全國·高三競賽）求滿足條件的實系數多項式：（1）對于任意的實數，有；（2）存在某一實數，使，，…，，，其中為的次數.【答案】【詳解】取，由（1）可得，從而，不含常數項，記.再由條件（1）可知：展開后比較兩邊系數可得，故.由（2）可得，但，故.所求的多項式為.29．（2018·全國·高三競賽）設實系數三次多項式有三個非零實根．證明：．【答案】見解析【詳解】設、、為的三個根．由根與系數關系得．要證結論成立，只要證．①