第1頁（共1頁）2025年上海交大附中中考數(shù)學一模試卷一．選擇題（共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）將圖形甲通過縮小得到圖形乙，那么在圖形甲與圖形乙的對應量中，沒有被縮小的是（）A．圖形的面積 B．圖形的周長 C．角的度數(shù) D．邊的長度2．（4分）下列事件為必然事件的是（）A．某著名射擊運動員射擊一次，命中靶心 B．班級里有同年同月同日出生的同學 C．從裝滿紅球的袋子中隨機摸出一個球，是白球 D．長度為9、40、41的三條線段可以組成一個直角三角形3．（4分）2024年12月4日，我國最隆重最富有特色的傳統(tǒng)節(jié)日之一的“春節(jié)”申遺成功，“春節(jié)”被納入聯(lián)合國教科文組織非物質文化遺產(chǎn)名錄和項目．過春節(jié)貼窗花是我國古老的習俗．窗花吉事祥物、美好愿望表現(xiàn)得淋漓盡致，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．（4分）勾股容圓記載于《九章算術》，是關于直角三角形的三邊與其內切圓的直徑的數(shù)量關系的研究．劉徽用出入相補原理證明了勾股容圓公式，其方法是將4個如圖1所示的全等的直角三角形（直角邊分別為a，b，斜邊為c），拼成如圖2所示的矩形（無縫隙、不重疊），再根據(jù)面積的關系可求出直角三角形的內切圓的直徑d（用含a，b，c的式子表示）為（）A． B． C． D．5．（4分）在平面直角坐標系xOy中，已知點O（0，0），點A（1，0），B（0，2），C（3，0），如果以點D、O、C為頂點的三角形與△AOB相似，那么這樣的點D有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝BC，BM是AC邊中線，點D，DB＝DE，EF⊥AC于點F；②△NBE∽△DBC；③AC＝2DF，其中正確結論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空題（共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）分解因式：ax4﹣ax2＝．8．（4分）在2024年4月，中國自主研發(fā)的第三代超導量子計算機“本源悟空”正式接入國家超算互聯(lián)網(wǎng)平臺，截至10月，正確的是．9．（4分）已知點P是線段AB的黃金分割點，且AB＝2，AP＜BP．10．（4分）同學用兩枚釘子就把校運動會團體總分第一名的獎狀掛在墻上，請你用數(shù)學知識來解釋原理：．11．（4分）為了弘揚中華傳統(tǒng)文化，某班開展了背誦古詩詞競賽，滿分10分．現(xiàn)從40名同學中隨機抽取5名同學的得分，6，8，10，10．該樣本的方差為．12．（4分）執(zhí)行神舟十九號載人飛行任務的航天員乘組由蔡旭哲（男）、宋令東（男）、王浩澤（女），北京時間2024年10月29日，3名航天員與中外記者集體見面．如果從2名男航天員1名女航天員中任選2人回答記者問．13．（4分）如圖，是一個面碗的截面圖，碗身可近似看作拋物線，已知碗口BC寬28cm，碗深OA＝9.8cm，碗中湯面的水平寬度為cm．14．（4分）如圖，將兩個全等的正六邊形一邊重合放置在一起，中心分別為O1，O2，連接O1O2，其中一個正六邊形的外接圓與O1O2交于點A．若外接圓O2的半徑為2，則O1A＝．15．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，直線AB的解析式為y＝x+1，與y軸相交于點A，過點A的直線AC與x軸相交于點C（3，0），連接BD，則BD的長為：．16．（4分）如圖，觀察方框中數(shù)字的規(guī)律，并根據(jù)你得到的規(guī)律．17．（4分）最近我校要召學生代表大會，規(guī)定各班每10人推選1名代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關系用取整函數(shù)y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整數(shù)）可以表示為．18．（4分）如果正數(shù)x、y、z可以是一個三角形的三邊長，那么稱（x，y，z）是三角形數(shù)．若（a，b，c）和，且a≤b≤c，則的取值范圍是．三．解答題（滿分78分）19．（8分）先化簡，再求值：，其中．20．（8分）解不等式組：并寫出其整數(shù)解．21．（12分）在菱形ABCD中，E，F(xiàn)為線段BC上的點，且CD＝2BE＝4BF，DF交于點G．（1）如圖（1）所示，若∠BAE＝∠ADF；（2）連接CG，在圖（2）上求作在與（保留作圖痕跡即可）．22．（12分）簪花結束后，小強和爸爸牽著媽媽的手，到蟳埔村參觀游玩拍照紀念，極具泉州古民居特色，給小強一家留下來極其深刻的印象時，聰明的小強發(fā)現(xiàn)有的窗花是由幾種形狀的正多邊形組合鑲嵌而成，具有很好的對稱美，請幫幫小強一起解決．問題1．已知一扇窗戶在某個結點處由兩種邊長相等的正多邊形鑲嵌而成，其中一種是等邊三角形，另一個種不能是下列哪種形狀的正多邊形（填序號）①正三角形②正四邊形③正五邊形④正六邊形問題2．小強發(fā)現(xiàn)某個花紋用4個全等的正八邊形進行拼接，使相等的兩個正八邊形有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個正方形；小強猜想，如果用n個全等的正六邊形按這種方式進行拼接，若圍成一圈后中間形成一個正多邊形，則n的值為，并簡要說明理由．23．（12分）如圖，△ABC中，D、E分別為AB，滿足∠A+∠ABD+∠ACE＝90°，P為BE的中點（1）求證：AE?AB＝AD?AC；（2）當△ADE和△BCD相似的時候，求證：BC＝CE．24．（12分）在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣2，0）、B（6，0），與y軸交于點C，直線AD與直線BC交于點E．（1）求b、c的值和直線BC的表達式；（2）設∠CAD＝45°，求點E的坐標；（3）設點D的橫坐標為d，用含d的代數(shù)式表示△ACE與△DCE的面積比．25．（14分）新定義：平行四邊形一組鄰邊的中點與不在這組鄰邊上的頂點順次連接而成的三角形如果是直角三角形，則稱這個三角形為平行四邊形的“中直三角形”，并且把該平行四邊形的長邊與短邊之比成為該平行四邊形的“度量值”（1）如圖1，已知矩形ABCD，△BEF為其“中直三角形”，求：矩形ABCD的“度量值”；（2）如圖2，△CEF為?ABCD的“中直三角形”，其中∠CFE＝90°，求：?ABCD的“度量值”；（3）在△ABC中，∠A＝90°，，請直接寫出以△ABC為中直三角形的平行四邊形的“度量值”．

2025年上海交大附中中考數(shù)學一模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）題號123456答案CDBADC一．選擇題（共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）將圖形甲通過縮小得到圖形乙，那么在圖形甲與圖形乙的對應量中，沒有被縮小的是（）A．圖形的面積 B．圖形的周長 C．角的度數(shù) D．邊的長度【解答】解：由題意可知：圖形甲和圖形乙相似，∵相似圖形對應角相等，對應邊的長成比例，∴在圖形甲與圖形乙的對應量中，沒有被縮小的是角的度數(shù)，周長和邊長都被縮小，故選：C．2．（4分）下列事件為必然事件的是（）A．某著名射擊運動員射擊一次，命中靶心 B．班級里有同年同月同日出生的同學 C．從裝滿紅球的袋子中隨機摸出一個球，是白球 D．長度為9、40、41的三條線段可以組成一個直角三角形【解答】解：根據(jù)必然事件、不可能事件A．某著名射擊運動員射擊一次，是隨機事件；B．班級里有同年同月同日出生的同學，故選項B不符合題意；C．從裝滿紅球的袋子中隨機摸出一個球，是不可能事件；D．∵92+403＝412，∴長度為9、40，是必然事件；故選：D．3．（4分）2024年12月4日，我國最隆重最富有特色的傳統(tǒng)節(jié)日之一的“春節(jié)”申遺成功，“春節(jié)”被納入聯(lián)合國教科文組織非物質文化遺產(chǎn)名錄和項目．過春節(jié)貼窗花是我國古老的習俗．窗花吉事祥物、美好愿望表現(xiàn)得淋漓盡致，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)軸對稱性質逐項分析判斷如下：A、不是軸對稱圖形；B、是軸對稱圖形；C、不是軸對稱圖形；D、不是軸對稱圖形；故選：B．4．（4分）勾股容圓記載于《九章算術》，是關于直角三角形的三邊與其內切圓的直徑的數(shù)量關系的研究．劉徽用出入相補原理證明了勾股容圓公式，其方法是將4個如圖1所示的全等的直角三角形（直角邊分別為a，b，斜邊為c），拼成如圖2所示的矩形（無縫隙、不重疊），再根據(jù)面積的關系可求出直角三角形的內切圓的直徑d（用含a，b，c的式子表示）為（）A． B． C． D．【解答】解：設內切圓的半徑為r，根據(jù)題意得，矩形的面積＝4個全等的直角三角形的面積和＝4×，∵矩形的面積＝（a+b+c）?2r，∴6××ab＝（a+b+c）?3r，∴r＝，∴d＝，故選：A．5．（4分）在平面直角坐標系xOy中，已知點O（0，0），點A（1，0），B（0，2），C（3，0），如果以點D、O、C為頂點的三角形與△AOB相似，那么這樣的點D有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：設點D（m，n）（m＞0，∵A（1，6），2），0），∴OA＝6，OB＝2，AB＝，CD＝，∵∠AOB＝90°，∴△AOB是直角三角形，∵點D在第一象限內，∴∠COD＜90°，∵以點D、O、C為頂點的三角形與△AOB相似，∴∠COD＝∠OAB或∠COD＝∠OBA，①當∠COD＝∠OAB時，△COD∽△OAB或△COD∽△BAO，Ⅰ、當△COD∽△OAB時，＝，∴＝，∴m＝3，n＝8或n＝﹣6（舍去），∴D（3，4）；Ⅱ、當△COD∽△BAO時，＝，∴＝，∴m＝，n＝，∴D（，），②當∠COD＝∠OBA時，△COD∽△OBA或△COD∽△ABO，Ⅰ、當△COD∽△OBA時，＝，∴＝，∴m＝8，n＝（舍去），∴D（3，）；Ⅱ、當△COD∽△ABO時，＝，∴＝，∴m＝，n＝（舍去），∴D（，）；∴D（3，6）或（7，，）或（，，故選：D．6．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝BC，BM是AC邊中線，點D，DB＝DE，EF⊥AC于點F；②△NBE∽△DBC；③AC＝2DF，其中正確結論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①設∠EDC＝x，則∠DEF＝90°﹣x，∴∠DBE＝∠DEB＝∠EDC+∠C＝x+45°，∵BD＝DE，∴∠DBM＝∠DBE﹣∠MBE＝45°+x﹣45°＝x．∴∠DBM＝∠E，∵AB＝BC，∠ABC＝90°．∴∠BMD＝90°，∵EF⊥AC，∴∠DFE＝90°＝∠BMD，在△BMD和△DFE中，，∴△BMD≌△DFE（AAS）．故①正確；②∵DB＝DE，∴∠BEN＝∠CBD．又∵∠C＝∠NBE＝45°，∴△DBC∽△NEB；而其對應點未寫在對應位置上，故②錯誤；③∵∠ABC＝90°，M是AC的中點，∴BM＝AC，∵△BMD≌△DFE，∴BM＝DF，∴AC＝8DF．故③正確；④∵∠C＝45°，EF⊥AC，∴∠CEF＝45°＝∠C，∴CF＝EF，∵AB＝BC，∴EF?AB＝CF?BC，故④正確；故選：C．二．填空題（共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）分解因式：ax4﹣ax2＝ax2（x+1）（x﹣1）．【解答】解：先提取公因式，再利用平方差公式因式分解可得：原式＝ax2（x2﹣2）＝ax2（x+1）（x﹣5），故答案為：ax2（x+1）（x﹣2）．8．（4分）在2024年4月，中國自主研發(fā)的第三代超導量子計算機“本源悟空”正式接入國家超算互聯(lián)網(wǎng)平臺，截至10月，正確的是2.7×105．【解答】解：270000＝2.7×102．故答案為：2.7×105．9．（4分）已知點P是線段AB的黃金分割點，且AB＝2，AP＜BP3﹣．【解答】解：∵P為線段AB＝2的黃金分割點，且AP＜BP，∴AP＝3﹣，故答案為：3﹣，10．（4分）同學用兩枚釘子就把校運動會團體總分第一名的獎狀掛在墻上，請你用數(shù)學知識來解釋原理：兩點確定一條直線．【解答】解：用數(shù)學知識來解釋原理就是：兩點確定一條直線，故答案為：兩點確定一條直線．11．（4分）為了弘揚中華傳統(tǒng)文化，某班開展了背誦古詩詞競賽，滿分10分．現(xiàn)從40名同學中隨機抽取5名同學的得分，6，8，10，10．該樣本的方差為3.2．【解答】解：∵，∴該樣本的方差是：＝＝＝＝3.2，故答案為：2.2．12．（4分）執(zhí)行神舟十九號載人飛行任務的航天員乘組由蔡旭哲（男）、宋令東（男）、王浩澤（女），北京時間2024年10月29日，3名航天員與中外記者集體見面．如果從2名男航天員1名女航天員中任選2人回答記者問．【解答】解：根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，選中1名男航天員1名女航天員結果有四種，∴恰好選中3名男航天員1名女航天員的概率為．故答案為：．13．（4分）如圖，是一個面碗的截面圖，碗身可近似看作拋物線，已知碗口BC寬28cm，碗深OA＝9.8cm，碗中湯面的水平寬度為16cm．【解答】解：設拋物線解析式為y＝ax2，由條件可得9.7＝a×142，∴，∴拋物線的解析式為，∵9.2﹣6.6＝5.2cm，令，解得x＝±5，碗中湯面的水平寬度為8×2＝16cm，故答案為：16．14．（4分）如圖，將兩個全等的正六邊形一邊重合放置在一起，中心分別為O1，O2，連接O1O2，其中一個正六邊形的外接圓與O1O2交于點A．若外接圓O2的半徑為2，則O1A＝．【解答】解：將兩個全等的正六邊形一邊重合放置在一起，中心分別為O1，O2，如圖，連接BO6，BO1，CO2，CO7，∴，∴四邊形BO2CO1是菱形，∴∠BO3O1＝30°，BC⊥O2O7，∴，∴，∴，故答案為：．15．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，直線AB的解析式為y＝x+1，與y軸相交于點A，過點A的直線AC與x軸相交于點C（3，0），連接BD，則BD的長為：．【解答】解：過點D作EF∥x軸，交y軸于E，∵直線AB的解析式為y＝x+1，與x軸相交于點B，∴B點坐標為（﹣1，5）A點坐標為（0，∵△ACD是以AC為斜邊的等腰直角三角形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDF＝90°，∵∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠CDF，∵∠AED＝∠DFC＝90°，∴△ADE≌△DCF（AAS），∴DE＝CF，∴設D（m，﹣m），∵AD＝DC，∴（0﹣m）7+（1+m）2＝（6﹣m）2+（0+m）2，∴m＝1，∴D（1，﹣4），∴BD＝＝．故答案為：．16．（4分）如圖，觀察方框中數(shù)字的規(guī)律，并根據(jù)你得到的規(guī)律81．【解答】解：根據(jù)所給圖形，觀察各方框中數(shù)字之間的關系可知：∵9＝（1+5）2，25＝（2+3）2，49＝（3+7）2，∴e＝（4+4）2＝81，故答案為：81．17．（4分）最近我校要召學生代表大會，規(guī)定各班每10人推選1名代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關系用取整函數(shù)y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整數(shù)）可以表示為y＝．【解答】解：由題意可知當余數(shù)是7，8，6時，即人數(shù)最小應該增加3，∴推選代表人數(shù)，故答案為：．18．（4分）如果正數(shù)x、y、z可以是一個三角形的三邊長，那么稱（x，y，z）是三角形數(shù)．若（a，b，c）和，且a≤b≤c，則的取值范圍是．．【解答】解：方法一、∵（a，b，∴a+b＞c．∴b＞c﹣a，∴，∵為三角形數(shù)，∴，∴，∴，兩邊同時乘以a（a＞0），得，，即，化簡得，a2﹣3ac+c8＜0，兩邊除以c2得，，∴∵a≤b≤c，∴，∴；故答案為：＜≤5．方法二、設，∵（a，b，c）為三角形數(shù)，∴a+b＞c，∴b＞c﹣a，∴b＞（1﹣k）c，∴，∵為三角形數(shù)，∴，∴，∴，化簡得，k7﹣3k+1＜7，解得，∵a≤b≤c，∴k≤1，∴，故答案為：．三．解答題（滿分78分）19．（8分）先化簡，再求值：，其中．【解答】解：原式＝＝＝＝＝，當x＝時，原式＝＝﹣＝．20．（8分）解不等式組：并寫出其整數(shù)解．【解答】解：，解不等式3x﹣2≤6x﹣5得：x≥﹣1，解不等式得：x＜2，∴不等式組的解集為：﹣6≤x＜2，∴整數(shù)解為：﹣1，3，1．21．（12分）在菱形ABCD中，E，F(xiàn)為線段BC上的點，且CD＝2BE＝4BF，DF交于點G．（1）如圖（1）所示，若∠BAE＝∠ADF；（2）連接CG，在圖（2）上求作在與（保留作圖痕跡即可）．【解答】解：（1）由條件可知AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，設BF＝a，則BE＝2a，EF＝a，∵AD∥BC，∴△ADG∽△EFG，∴，∴，∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠GFE，∵∠BAE＝∠ADF，∴∠BAE＝∠GFE，又∵∠BEA＝∠GEF，∴△EAB∽△EFG，∴，∴5EG2＝3a2，GF＝2EG，∴，，∴，，如圖，過點A作AH⊥FD于點H，設GH＝x，則，由勾股定理可得AG6﹣GH2＝AD2﹣HD3＝AH2，∴，解得，∴；（2）如圖，取AD的中點Q，過點D作PD∥CG交CQ的延長線于點P，則，即為所求作，理由如下：如圖，設GD交PC于點T，∵Q是AD的中點，E是BC的中點，∴AQ＝EC，又∵AD∥BC，∴AECQ是平行四邊形，∴PC∥AE，∴，∴DT＝GT，∵PD∥CG，∴∠PDT＝∠CGT，在△PTD和△CTG中，，∴△PTD≌△CTG（ASA），∴PD＝CG，∴四邊形PDCG是平行四邊形，∴PG∥CD，由菱形性質可知CD∥AB，∴PG∥AB，∴在與方向上的分向量分別為，．22．（12分）簪花結束后，小強和爸爸牽著媽媽的手，到蟳埔村參觀游玩拍照紀念，極具泉州古民居特色，給小強一家留下來極其深刻的印象時，聰明的小強發(fā)現(xiàn)有的窗花是由幾種形狀的正多邊形組合鑲嵌而成，具有很好的對稱美，請幫幫小強一起解決．問題1．已知一扇窗戶在某個結點處由兩種邊長相等的正多邊形鑲嵌而成，其中一種是等邊三角形，另一個種不能是下列哪種形狀的正多邊形③（填序號）①正三角形②正四邊形③正五邊形④正六邊形問題2．小強發(fā)現(xiàn)某個花紋用4個全等的正八邊形進行拼接，使相等的兩個正八邊形有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個正方形；小強猜想，如果用n個全等的正六邊形按這種方式進行拼接，若圍成一圈后中間形成一個正多邊形，則n的值為6，并簡要說明理由．【解答】解：問題1：①正三角形的內角是60°，60°×6＝360°，不符合題意；②正四邊形的內角是90°，60°×2+90°×2＝360°，不符合題意；③正五邊形的內角是108°，60°×2+108°×8＝336°≠360°°，符合題意；④正六邊形的內角是120°，60°×2+120°×2＝360°°，不符合題意，故答案為：③；問題7：n＝6，理由如下：由題意得，這n個正六邊形圍成的圖形是一個正多邊形，圍成的這個正多邊的每個內角的度數(shù)是120°所以，（n﹣2）180°＝120°n，解得n＝8．故答案為：6．23．（12分）如圖，△ABC中，D、E分別為AB，滿足∠A+∠ABD+∠ACE＝90°，P為BE的中點（1）求證：AE?AB＝AD?AC；（2）當△ADE和△BCD相似的時候，求證：BC＝CE．【解答】（1）證明：延長PO交AC于點H，則PH⊥AC，在△ABC中，∠CBO+∠BCO＝90°，∴BD⊥CE，∵P為BE的中點，∴BP＝OP，∴∠BOP＝∠ABD，∵∠BOP+∠POE＝∠ACE+∠COH＝90°，且∠POE＝∠COH，∴∠BOP＝∠ACE＝∠ABD，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE，∴，即AE?AB＝AD?AC；（2）證明：∵∠A+∠ABD＝∠BDC，∴∠A≠∠BDC，∵△AED∽△BDC，∴∠A＝∠CBD，∵∠A+∠ABD＝∠BDC，∠CBD+∠ABD＝∠ABC，∴∠BDC＝∠ABC，由條件可知∠BEC＝∠BDC，∴∠ABC＝∠BEC，∴BC＝CE．24．（12分）在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣2，0）、B（6，0），與y軸交于點C，直線AD與直線BC交于點E．（1）求b、c的值和直線BC的表達式；（2）設∠CAD＝45°，求點E的坐標；（3）設點D的橫坐標為d，用含d的代數(shù)式表示△ACE與△DCE的面積比．【解答】解：（1）∵拋物線y＝x6+bx+c與x軸交于點A（﹣2，0），4），∴，解得，∴拋物線解析式為y＝x2﹣3x﹣6，當x＝0時，y＝﹣7，∴點C（0，﹣6），設直線BC解析式為y＝mx+n，則，解得：，∴直線BC解析式為y＝x﹣6；（2）如圖3，過點E作EH⊥OC于H，∵點C（0，﹣6），7），0），∴OB＝OC＝6，OA＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝6＝＝6，∵∠ABC＝∠CAD＝45°，∠ACE＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴，∴＝，∴CE＝，∵EH⊥CO，∠ECH＝45°，∴EH＝HC＝，∴OH＝，∴點E（，﹣）；（3）∵點D的橫坐標為d，∴點D（d，d7﹣2d﹣6），（2＜d＜6），如圖2，過點D作DF∥AB交BC于點F，∴△ABE∽△DFE，∴，∵＝，∴＝．∵點F在直線BC上，