試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁【高中數學競賽真題?強基計劃真題考前適應性訓練】專題10復數真題專項訓練（全國競賽+強基計劃專用）一、單選題1．（2019·全國·高三競賽）在復平面上，滿足的點的軌跡是（

）.A．圓 B．橢圓C．一段圓弧 D．雙曲線【答案】C【詳解】設、、，對應的點為.由，可得.由托勒密逆定理知，的軌跡為外接圓上不含點的那一段.故答案為C2．（2020·北京·高三強基計劃）設a，b，c，d是方程的4個復根，則（

）A． B． C． D．前三個答案都不對【答案】A【分析】利用換元法將原方程轉化為高次方程，再結合高次方程的韋達定理可求代數式的值.【詳解】法1：設，則，類似的，定義，則是方程，即的4個復根，方程左側中的系數為，的系數為根據韋達定理，有．法2：題中代數式也即，因此是關于x的方程，即的4個復根，故為方程的4個復根，從而，原式為．故選：A.3．（2020·北京·高三校考強基計劃）已知復數在復平面內對應的點為，O為坐標原點．若，則的面積為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用復數乘法的幾何意義可求的面積.【詳解】根據題意，有，故，故可看出由旋轉并伸長為倍后所得，且旋轉角的正弦值的絕對值為，故故選：A4．（2020·北京·高三強基計劃）已知復數z滿足，則中不同的數有（

）A．4個 B．6個 C．2019個 D．以上答案都不正確【答案】B【分析】根據復數的三角形式可求，從而可判斷出不同的數的個數.【詳解】根據題意，有，于是中有6個不同的數．故選：B.二、多選題5．（2020·北京·高三校考強基計劃）設復數z滿足，令，則的（

）A．最大值為 B．最大值為C．最小值為 D．最小值為【答案】AD【分析】利用復數差的幾何意義可求的最值【詳解】根據題意，有，且，于是為以點為圓心，1為半徑的圓上的點到點的距離，其取值范圍是，因此的最小值為，最大值為．故選：AD.6．（2020·北京·高三校考強基計劃）已知，則（

）A．存在實數解B．共有20個不同的復數解C．的復數解的模長都等于1D．存在模長大于1的復數解【答案】BC【分析】設，利用換元法可求得，從而可判斷的20個復數解的模都是1.【詳解】設，則，于是，這兩個t的取值都在區間內．故有解，因此有20個不同的復數解．當時，由于，因此的復數解的模長都等于1．綜上所述，選項BC正確．故選：BC.7．（2020·湖北武漢·高三統考強基計劃）設是非零復數，它們的實部和虛部都是非負實數，則（

）A．最小值為 B．沒有最小值 C．最大值為2 D．沒有最大值【答案】AD【分析】在復平面內（為坐標原點），設復數對應的點分別為，利用復數的幾何意義及向量的加法和平面向量數量積，將進行等價變形，然后結合已知條件及均值不等式即可判斷的最值情況.【詳解】解：在復平面內（為坐標原點），設復數對應的點分別為，因為是非零復數，它們的實部和虛部都是非負實數，所以，從而有），所以，又由均值不等式有，當且僅當時等號成立，所以，當且僅當，且（比如）時等號成立.故選：AD.8．（2020·湖北武漢·高三統考強基計劃）設復數的實部和虛部都是整數，則（

）A．的實部都能被2整除B．的實部都能被3整除C．的實部都能被4整除D．的實部都能被5整除【答案】BD【分析】設分別計算出代入化簡即可.【詳解】設則因為可以被2整除，當為奇數時不能被2整除，故排除A.因為，由費馬小定理得能被3整除，故B對.的實部為，當為奇數時也為奇數，故不能被4整除，C排除.的實部為，由費馬小定理能被5整除，故能被5整除，故D對.故選：BD三、填空題9．（2018·遼寧·高三競賽）設、b均為實數，復數與的模長相等，且為純虛數，則+b=_____.【答案】【詳解】由題設知，且為純虛數，故.因此或解得或，故.故答案為10．（2019·全國·高三競賽）已知虛數、滿足，，.則實數______.【答案】1【詳解】由，知.又由方程解的定義知，、是二次方程的兩個虛根，則有.解方程得.于是，.解得.故答案為111．（2022·廣西·高二統考競賽）若復數滿足，則的虛部為______．【答案】0或1【詳解】設i,則i.設，，，或1，故答案為：0或1.12．（2019·全國·高三競賽）復平面上動點的軌跡方程為______.【答案】【詳解】注意到，則.故答案為13．（2020·江蘇·高三競賽）已知復數滿足，則的最大值為__________．【答案】3【詳解】解析：由題意可得，則表示復平面上點到的距離．如圖所示，，由此可得．故的最大值為3．故答案為：3.14．（2019·全國·高三競賽）設，其中，．則____________．【答案】【詳解】注意到，所以，且.故答案為15．（2019·全國·高三競賽）設是復數,關于的一元二次方程的兩個復數根為.若,則_____.【答案】0或或【詳解】因為，所以，.從而，

.代入，得或（當時）.當時，把代入，得.解得.綜上所述，或.故答案為0或或16．（2021·浙江·高二競賽）設復數的實虛部，所形成的點在橢圓上.若為實數，則復數______.【答案】或.【詳解】由，所以，則，所以或.故答案為：或.17．（2022·福建·高二統考競賽）已知復數?在復平面上對應的點分別為A?B，且，，O為坐標原點，則△OAB的周長為___________.【答案】【詳解】由，得，所以，所以，，又，所以，，所以△OAB的周長為，故答案為：.18．（2019·全國·高三競賽）已知正實數滿足，復數滿足，若，那么，當的輻角主值最小時，的值為______．【答案】【詳解】由，知,于是，在復平面上，對應的點在以對應的點為圓心、3為半徑的圓上,當的輻角主值最小時，與圓相切，而，，則,于是，,而的輻角主值，又，，于是，,因此，.19．（2019·全國·高三競賽）復數列滿足，.若，則可以有_________種取值.【答案】【詳解】顯然，對任意的非負整數均有.設.則.由，得，即.由，得.因此，滿足條件的共有（個）.故答案為20．（2021·浙江·高三競賽）復數，滿足，，則______.【答案】【詳解】如圖所示，設在復平面內對應的點分別為,由已知得,由余弦定理得向量所成的角為,不妨設,,,,,,,.故答案為：.21．（2021·全國·高三競賽）設復數??滿足，則___________.【答案】2【詳解】解析：.故答案為：2.22．（2021·北京·高三強基計劃）已知復數z滿足，則滿足條件的z有_________個．【答案】1【分析】將題設中的方程化為，再根據10，11均與111互質可得滿足條件的z的個數.【詳解】根據題意，有，于是，因此，從而，注意到10，11均與111互質，因此滿足條件的z只有1個，為．故答案為：1.23．（2021·全國·高三競賽）已知實數x、y滿足，則__________．【答案】【詳解】解析：令，則原方程組（令）（舍）或．故答案：.四、解答題24．（2018·全國·高三競賽）已知求的值.【答案】0【詳解】令.又,，.則.同理,.故則.所以,且.25．（2019·全國·高三競賽）已知、、是互不相等的復數，滿足，.求證：.【答案】見解析【詳解】由已知條件知，復數、、兩兩不等，且皆不為0.對題中比例式用合比、分比可得.設，則，，.但，故（但），有.同理，.因此，.26．（2019·全國·高三競賽）設．證明：為純虛數．【答案】見解析【詳解】首先證明：若，則

①令.則是一個次多項式，其首項系數為.又當時，.所以，.由因式定理得.在式①中令.則..命題獲證.27．（2021·全國·高三競賽）設，復數.求所有的，使得??依次成等比數列.【答案】答案見解析【詳解】因為，所以：，整理得：，所以（1）或，時，代入得；時，代入得；（2）若，則有：，故，故的值為或或或，對于的分別為、、、，故所有的為：.28．（2019·全國·高三競賽）設，其中為質數．對的一個子集，如果中所有元素的和（空集的元素和規定為）為的倍數，則稱是的一個“倍子集”．試求的所有倍子集的個數．【答案】【詳解】當時，，此時，有個倍子集：、，所以，.當時，為奇質數，令考察的元素和為的所有子集的個數.當時，它就是不定方程的正整數解的個數，也就是的展開式中的系數；當時，其和為的子集只有空集，子集的個數為.所以，的所有倍子集的個數，就是的展開式中那些次數為的倍數的項的系數和，即.設.當是的倍數時，；當不是的倍數時，有.于是，由，得.又，則其中，.注意到當時，，所以，是模的完系.而，則是的一個排列.故，.又，而為奇數，取，得.故，.則比較兩式的右邊得.故，.綜上，29．（2021·全國·高三競賽）設和為兩組復數，滿足：．求證：存在數組（其中），使得．【答案】證明見解析【詳解】用表示對所有數組的求和，下面用數學歸納證明如下的等式：

①(1)當時，①式顯然成立；當時，，即①式成立．（2）假設時，①式成立，則時，我們有，即時①式成立．由（1）（2）可得：．回到原題，由，可得，即，所以存在數組（其中，使得，即．30．（2021·全國·高三競賽）設、是無窮復數數列，滿足對任意正整數n，關于x的方程的兩個復根恰為、（當兩根相等時）．若數列恒為常數，證明：（1）；（2）數列恒為常數．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據題意和韋達定理可得，取模得，若，結論顯然成立，否則，由于數列恒為常數，則，即結論也成立；（2）由（1）和題意知，數列恒為常數，則只有互為共軛的兩種取值，不妨設為和，依據題意即可證明.【詳解】由題意和韋達定理得,則，即．

①（1）由①取模得，若，結論顯然成立；否則，由于數列恒為常數，則，即有．（2）由（1）知，對任意的，又數列恒為常數，因此只有互為共軛的兩種取