PAGEPAGE9第3講機械能守恒定律及其應用◎基礎鞏固練1.(2024·合肥模擬)如圖所示，小車靜止在光滑的水平導軌上，一個小球用細繩懸掛在車上無初速度釋放，在小球下擺到最低點的過程中，下列說法正確的是()A．繩對小球的拉力不做功B．小球克服繩的拉力做的功等于小球削減的機械能C．繩對小車做的功等于小球削減的動能D．小球削減的重力勢能等于小球增加的動能解析：在小球下擺到最低點的過程中，小車向右運動，系統機械能守恒。繩對小球的拉力做負功，小球的機械能削減，選項A、D錯誤；對小球，由功能關系可知，小球克服繩的拉力做的功等于小球削減的機械能，繩對小車做的功等于小球克服繩的拉力做的功，選項B正確，選項C錯誤。答案：B2．(2024·桂林模擬)一棵樹上有一個質量為0.3kg的熟透了的蘋果P，該蘋果從樹上與A等高處先落到地面C最終滾入溝底D。已知AC、CD的高度差分別為2.2m和3m，以地面C為零勢能面，A、B、C、D、E面之間豎直距離如圖所示。算出該蘋果從A落下到D的過程中重力勢能的削減量和在D處的重力勢能分別是(g取10m/s2)A．15.6J和9J B．9J和－9JC．15.6J和－9J D．15.6J和－15.6J解析：以地面C為零勢能面，依據重力勢能的計算公式得D處的重力勢能Ep＝mgh＝0.3×10×(－3)J＝－9J從A下落到D的過程中重力勢能的削減量ΔEp＝mgΔh＝0.3×10×(2.2＋3)J＝15.6J，選項C正確。答案：C3．如圖所示，長為L的勻稱鏈條放在光滑水平桌面上，且使長度的eq\f(1,4)垂在桌邊，松手后鏈條從靜止起先沿桌邊下滑，則鏈條滑至剛剛離開桌邊時的速度大小為()A.eq\r(\f(3,2)gL) B.eq\f(\r(gL),4)C.eq\f(\r(15gL),4) D．4eq\r(gL)解析：由機械能守恒定律ΔEp減＝ΔEk增，即mg·eq\f(L,2)－eq\f(1,4)mg·eq\f(L,8)＝eq\f(1,2)mv2，所以v＝eq\f(\r(15gL),4)。答案：C4.(2024·云南模擬)如圖所示，由半徑為R的eq\f(3,4)光滑圓周和傾角為45°的光滑斜面組成的軌道固定在豎直平面內，斜面和圓周之間由小圓弧平滑連接。一小球恰能過最高點，并始終貼著軌道內側順時針轉動。則小球通過斜面的時間為(重力加速度為g)()A．2eq\r(gR) B．2eq\r(\f(R,g))C．(2eq\r(2)－2)eq\r(\f(R,g)) D．(eq\r(10)－eq\r(6))eq\r(\f(R,g))解析：小球恰好通過最高點的速度v1＝eq\r(gR)，由機械能守恒定律得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋mgR＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)，解得小球通過斜面頂端時的速度v2＝eq\r(3gR)，由運動學規律得eq\r(2)R＝v2t＋eq\f(1,2)gt2sin45°，則t＝(eq\r(10)－eq\r(6))eq\r(\f(R,g))，選項D正確。答案：D5．(2024·全國甲卷·16)小球P和Q用不行伸長的輕繩懸掛在天花板上，P球的質量大于Q球的質量，懸掛P球的繩比懸掛Q球的繩短。將兩球拉起，使兩繩均被水平拉直，如圖所示。將兩球由靜止釋放。在各自軌跡的最低點，()A．P球的速度肯定大于Q球的速度B．P球的動能肯定小于Q球的動能C．P球所受繩的拉力肯定大于Q球所受繩的拉力D．P球的向心加速度肯定小于Q球的向心加速度解析：兩球由靜止釋放到運動到軌跡最低點的過程中只有重力做功，機械能守恒，取軌跡的最低點為零勢能點，則由機械能守恒定律得mgL＝eq\f(1,2)mv2，v＝eq\r(2gL)，因LP＜LQ，則vP＜vQ，又mP＞mQ，則兩球的動能無法比較，選項A、B錯誤；在最低點繩的拉力為F，則F－mg＝meq\f(v2,L)，則F＝3mg，因mP＞mQ，則FP＞FQ，選項C正確；向心加速度a＝eq\f(F－mg,m)＝2g，選項D錯誤。答案：C6．(多選)(2024·常德質檢)重10N的滑塊在傾角為30°的光滑斜面上，從a點由靜止下滑，到b點接觸到一個輕彈簧，滑塊壓縮彈簧到c點起先彈回，返回b點離開彈簧，最終又回到a點，已知ab＝1m，bc＝0.2m，那么在整個過程中()A．滑塊動能的最大值是6JB．彈簧彈性勢能的最大值是6JC．從c到b彈簧的彈力對滑塊做的功是6JD．整個過程系統機械能守恒解析：以滑塊和彈簧為系統，在滑塊的整個運動過程中，只發生動能、重力勢能和彈性勢能之間的相互轉化，系統機械能守恒，D正確；滑塊從a到c重力勢能減小了mgacsin30°＝6J，全部轉化為彈簧的彈性勢能，A錯誤，B正確；從c到b彈簧復原原長，通過彈簧的彈力對滑塊做功，將6J的彈性勢能全部轉化為滑塊的機械能，C正確。答案：BCD7.(2024·佛山模擬)(多選)如圖所示，一根長為L不行伸長的輕繩跨過光滑的水平軸O，兩端分別連接質量為2m的小球A和質量為m的物塊B，由圖示位置釋放后，當小球轉動到水平軸正下方時輕繩的中點正好在水平軸O點，且此時物塊B的速度剛好為零，則下列說法中正確的是()A．物塊B始終處于靜止狀態B．小球A從圖示位置運動到水平軸正下方的過程中機械能守恒C．小球A運動到水平軸正下方時的速度小于eq\r(gL)D．小球A從圖示位置運動到水平軸正下方的過程中，小球A與物塊B組成的系統機械能守恒解析：當小球轉動到水平軸正下方時輕繩的中點正好在水平軸O點，所以小球A下降的高度為eq\f(L,2)，物塊B會上升肯定的高度h，由機械能守恒得eq\f(1,2)·2mv2＝2mg·eq\f(L,2)－mgh，所以小球A運動到水平軸正下方時的速度v<eq\r(gL)，A錯誤，C正確；在整個過程中小球A與物塊B組成的系統機械能守恒，B錯誤，D正確。答案：CD8．(2024·上海單科·19)如圖，與水平面夾角θ＝37°的斜面和半徑R＝0.4m的光滑圓軌道相切于B點，且固定于豎直平面內。滑塊從斜面上的A點由靜止釋放，經B點后沿圓軌道運動，通過最高點C時軌道對滑塊的彈力為零。已知滑塊與斜面間動摩擦因數μ＝0.25。(g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)求：(1)滑塊在C點的速度大小vC；(2)滑塊在B點的速度大小vB；(3)A、B兩點間的高度差h。解析：本題考查圓周運動、機械能守恒、動能定理。(1)對C點：滑塊豎直方向所受合力供應向心力mg＝eq\f(mv\o\al(2,C),R)①vC＝eq\r(gR)＝2m/s(2)對B→C過程：滑塊機械能守恒eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)＋mgR(1＋cos37°)②vB＝eq\r(v\o\al(2,C)＋2gR1＋cos37°)＝4.29m/s(3)滑塊在A→B的過程，利用動能定理：mgh－mgμcos37°·eq\f(h,sin37°)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)－0③代入數據解得h＝1.38m。答案：(1)2m/s(2)4.29m/s(3)1.38m◎實力提升練9．(2024·山東部分重點中學調研)如圖所示，物體A、B通過細繩及輕質彈簧連接在輕滑輪兩側，物體A、B的質量分別為2m、m，起先時細繩伸直，用手托著物體A使彈簧處于原長且A與地面的距離為h，物體B靜止在地面上，放手后物體A下落，與地面即將接觸時速度為v，此時物體B對地面恰好無壓力，則下列說法中正確的是()A．物體A下落過程中的某一時刻，物體A的加速度為零B．此時彈簧的彈性勢能等于2mgh－mv2C．此時物體B處于超重狀態D．彈簧勁度系數為eq\f(2mg,h)解析：在物體A的下落過程中，物體B還沒有脫離地面，繩子的拉力F≤mg，地面對物體B的支持力FN≤mg，此時物體B處于平衡狀態，可知物體A在下落過程中始終做加速運動，且物體A與彈簧組成的系統機械能守恒，有關系式2mgh＝eq\f(1,2)×2mv2＋Ep，此時彈簧的彈性勢能Ep＝2mgh－mv2，則選項A、C錯誤，B正確；A即將與地面接觸時，彈簧伸長量為h，彈簧彈力F彈＝kh，對B受力分析，有F彈＝mg，解得k＝eq\f(mg,h)，易知選項D錯誤。答案：B10.如圖，光滑軌道由半圓和一段豎直軌道構成，圖中H＝2R，其中R遠大于軌道內徑，比軌道內徑略小的兩小球A、B用輕繩連接，A在外力作用下靜止于軌道右端口，B球靜止在地面上，輕繩繃緊，現靜止釋放A小球，A落地后不反彈，此后B小球恰好可以到達軌道最高點。則A、B兩小球的質量之比為()A．3∶1 B．3∶2C．7∶1 D．7∶2解析：在A小球剛好釋放到A小球剛好落地過程中，A、B兩球系統的機械能守恒，即：(mAg－mBg)H＝eq\f(1,2)mAveq\o\al(2,A)＋eq\f(1,2)mBveq\o\al(2,B)①vA＝vB②B小球恰好到達軌道最高點時：v′B＝0。則對B球由機械能守恒定律得：eq\f(1,2)mBveq\o\al(2,B)＝mBgR③聯立①②③式得：mA＝3mB，故選項A正確。答案：A11．(2024·江蘇卷·5)如圖所示，一小物塊被夾子夾緊，夾子通過輕繩懸掛在小環上，小環套在水平光滑細桿上。物塊質量為M，到小環的距離為L，其兩側面與夾子間的最大靜摩擦力均為F。小環和物塊以速度v向右勻速運動，小環遇到桿上的釘子P后立即停止，物塊向上搖擺。整個過程中，物塊在夾子中沒有滑動。小環和夾子的質量均不計，重力加速度為g，下列說法正確的是()A．物塊向右勻速運動時，繩中的張力等于2FB．小環遇到釘子P時，繩中的張力大于2FC．物塊上升的最大高度為eq\f(2v2,g)D．速度v不能超過eq\r(\f(2F－MgL,M))解析：物塊受到的摩擦力小于最大靜摩擦力，即Mg<2F。A錯：物塊向右勻速運動時，物塊處于平衡狀態，繩子中的張力FT＝Mg≤2F。B錯：小環遇到釘子時，物塊做圓周運動，依據牛頓其次定律和向心力公式有：FT－Mg＝eq\f(Mv2,L)，FT＝Mg＋eq\f(Mv2,L)，所以繩子中的張力與2F大小關系不確定。C錯：若物塊做圓周運動到達的高度低于P點，依據機械能守恒定律有－Mgh＝0－eq\f(1,2)Mv2則最大高度h＝eq\f(v2,2g)若物塊做圓周運動到達的高度等于P點，則依據機械能守恒定律有－Mgh＝eq\f(1,2)Mv′2－eq\f(1,2)Mv2則最大高度h<eq\f(v2,2g)。D對：環遇到釘子后，物塊做圓周運動，在最低點，物塊與夾子間的靜摩擦力達到最大值，由牛頓其次定律知：2F－Mg＝eq\f(Mv2,L)故最大速度v＝eq\r(\f(2F－MgL,M))。答案：D12．如圖所示，豎直光滑的四分之三圓軌道BCD固定在水平面AB上，軌道圓心為O，半徑R＝1m，軌道最低點與水平面相切于B點，C為軌道最高點，D點與圓心O等高。一質量m＝1kg的小物塊從水平面上以速度v0＝8m/s豎直向上拋出，物塊從D點進入圓軌道，最終停在A點。物塊與水平面間的動摩擦因數μ＝0.4，g取10m/s2。求：(1)物塊運動到D點時的速度；(可以保留根式)(2)物體運動到C點時對軌道的壓力大小；(3)物塊從B點運動到A點所用的時間及A、B間的距離。解析：(1)由機械能守恒定律有eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝mgR＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,D)，代入數據解得vD＝2eq\r(11)m/s。(2)由機械能守恒定律有eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝mg·2R＋eq\f(1,2)