第21章資產收益率分而的擬合與檢驗在統計推斷中，通常假定總體服從一定的分布（例如正態分布），然后在這個分布的基礎上，構造相應的統計量，根據統計量的分布作出一些統計推斷，而統計量的分布通常依賴于總體分布的假設，也就是說總體所服從的分布在統計推斷中是至關重要的，會影響到結果的可靠性。從這個意義上來說，由樣本觀測數據去推斷總體所服從的分布是非常必要的。指數與基金的收益率，介紹根據樣本觀測數據擬合總體的分布，并進行分布的檢驗。21.1案例描述為使得整個分析過程更貼近實際，選取2007—2008年滬深300指數價格與博時主題（復權）凈值數據（如圖1所示）作為分析對象進行分布的擬合與檢驗。圖1

12007—2008年滬深300指數與博時主題21.2數據的描述性統計21.2.1

描述性統計量1.均值mean函數用來計算樣本均值，樣本均值描述了樣本觀測數據取值相對集中的中心位置。2.標準差樣本標準差描述了樣本觀測數據變異程度的大小，它有如下兩種定義：3.最大值max函數用來計算樣本最大值。4.最小值min函數用來計算樣本最小值。5.極差range函數用來計算樣本的極差，極差可以作為樣本觀測數據變異程度大小的一個簡單度量。6.中位數將樣本觀測值從小到大依次排列，位于中間的那個觀測值，稱為樣本中位數，它描述了樣本觀測數據的中間位置。median函數用來計算樣本的中位數。7.眾數mode函數用來計算樣本的眾數，眾數描述了樣本觀測數據中出現次數最多的數。8.變異系數變異系數是衡量數據資料中各變量觀測值變異程度的一個統計量。9.偏度skewness函數用來計算樣本的偏度，樣本偏度反映了總體分布密度曲線的對稱性信息，偏度越接近于0，說明分布越對稱，否則分布越偏斜。10.峰度kurtosis函數按

來計算樣本的峰度，其中B2為樣本的2階中心矩，B4為樣本的4階中心矩。樣本峰度反映了總體分布密度曲線在其峰值附近的陡峭程度。正態分布的峰度為3，若樣本峰度大于3，說明總體分布密度曲線在其峰值附近比正態分布來得陡；若樣本峰度小于3，說明總體分布密度曲線在其峰值附近比正態分布來得平緩。21.2.2

統計圖1.箱線圖箱線圖非常直觀的反映了樣本數據的分散程度以及總體分布的對稱性和尾重，利用箱線圖還可以直觀地識別樣本數據中的異常值。MATLAB統計工具箱中提供了boxplot函數，用來繪制箱線圖。2.經驗分布函數圖MATLAB統計工具箱中提供了cdfplot和ecdf函數，用來繪制樣本經驗分布函數圖。3.頻率直方圖4.正態概率圖MATLAB統計工具箱中提供了normplot函數，用來繪制正態概率圖。21.3分布的檢驗21.3.1

chi2gof函數chi2gof函數用來作分布的χ2（卡方）擬合優度檢驗，檢驗樣本是否服從指定的分布。它用若干個小區間把樣本觀測數據進行分組（默認情況下分成10個組），使得理論上每組（或區間）包含5個以上的觀測，即每組的理論頻數大于或等于5，若不滿足這個要求，可以通過合并相鄰的組來達到這個要求。chi2gof函數的語法如下：

h=chi2gof(x)［h,p］=chi2gof(…)［h,p,stats］=chi2gof(…)［…］=chi2gof(X,name1,val1,name2,val2,…)21.3.2

jbtest函數jbtest函數用來作JarqueBera檢驗，檢驗樣本是否服從正態分布，調用該函數時不需要指定分布的均值和方差。由于正態分布的偏度為0，峰度為3，若樣本服從正態分布，則樣本偏度應接近于0，樣本峰度應接近于3，基于此，JarqueBera檢驗利用樣本偏度和峰度構造檢驗統計量為式中:n為樣本容量;s為樣本偏度;k為樣本峰度。當樣本容量n足夠大時,JarqueBera公式的檢驗統計量近似服從自由度為2的χ2分布。21.3.3

kstest函數kstest函數用來作單個樣本的KolmogorovSmirnov檢驗，它可以作雙側檢驗，檢驗樣本是否服從指定的分布；也可以作單側檢驗，檢驗樣本的分布函數是否在指定的分布函數之上或之下，這里的分布是完全確定的，不含有未知參數。kstest函數根據樣本的經驗分布函數Fn(x)和指定的分布函數G(x)構造檢驗統計量kstest函數中也有內置的臨界值表，這個臨界值表對應5種不同的顯著性水平。對于用戶指定的顯著性水平，當樣本容量小于或等于20時，kstest函數通過在臨界值表上作線性插值來計算臨界值；當樣本容量大于20時，通過一種近似方法求臨界值。如果用戶指定的顯著性水平超出了某個范圍（雙側檢驗是0.01~0.2，單側檢驗是0.005~0.1）時，計算出的臨界值為NaN。21.3.4

kstest2函數kstest2函數用來作兩個樣本的KolmogorovSmirnov檢驗，它可以作雙側檢驗，檢驗兩個樣本是否服從相同的分布，也可以作單側檢驗，檢驗一個樣本的分布函數是否在另一個樣本的分布函數之上或之下，這里的分布是完全確定的，不含有未知參數。kstest2函數對比兩樣本的經驗分布函數，構造檢驗統計量。式中:F1(x)和F2(x)分別為兩樣本的經驗分布函數。kstest2函數的語法如下:h=kstest2(x1,x2)h=kstest2(x1,x2,alpha)h=kstest2(x1,x2,alpha,type)[h,p]=kstest2(…)[h,p,ks2stat]=kstest2(…)21.3.5

lillietest函數當總體均值和方差未知時，Lilliefors（1967）提出用樣本均值和標準差s代替總體的均值μ和標準差σ，然后使用KolmogorovSmirnov檢驗，這就是所謂的Lilliefors檢驗。lillietest函數用來作Lilliefors檢驗，檢驗樣本是否服從指定的分布，這里分布的參數都是未知的，需根據樣本作出估計。可用的分布有正態分布、指數分布和極值分布，它們都屬于位置尺度分布族（分布中包含位置參數和尺度參數），lillietest函數不能用于非位置尺度分布族分布的檢驗。Lilliefors檢驗是雙側擬合優度檢驗，它根據樣本經驗分布函數和指定分布的分布函數構造檢驗統計量。式中：SCDF(x)是樣本經驗分布函數；CDF(x)是指定分布的分布函數。21.3.6

最終的結論前面介紹了chi2gof、jbtest、kstest、kstest2、lillietest等函數的用法，并分別調用這些函數對2007—2008年滬深300指數收益率中的總成績數據進行了正態性檢驗（如下表所列），原假設是總成績數據服從均值為-2.6398e-004，標準差為0.0275。從表中可以看出,在顯著性水平α=0.05下,2007—2008年滬深300指數收益率序列不服從正態分布。21.4投資組合分布圖比較通常比較資產