第12章馬可維茲均值方差

模型從歷史發(fā)展看，投資者很早就認(rèn)識(shí)到了將資金分散地進(jìn)行投資可以降低投資風(fēng)險(xiǎn)。但是第一個(gè)對(duì)此問(wèn)題做出實(shí)質(zhì)性分析的是美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬可維茲(Markowitz)。1952年馬可維茲發(fā)表了《證券組合選擇》，標(biāo)志著投資組合理論的正式誕生。馬可維茲的后繼者致力于簡(jiǎn)化投資組合模型。在一系列的假設(shè)條件下，威廉·夏普(WilliamF.Sharp)等學(xué)者推導(dǎo)出了資本資產(chǎn)定價(jià)模型，并以此簡(jiǎn)化了馬可維茲的資產(chǎn)組合模型。由于夏普簡(jiǎn)化模型的計(jì)算量相對(duì)于馬可維茲資產(chǎn)組合模型大大減少，且有效程度并沒有降低，所以得到了廣泛應(yīng)用。12.1模型理論經(jīng)典馬可維茲均值方差模型為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，有效前沿即多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的pareto解（即風(fēng)險(xiǎn)一定，收益最大；收益一定,風(fēng)險(xiǎn)最小），具體模型如下：

式中：R=(R1,R2,…,Rn)T；Ri=E(ri)是第i種資產(chǎn)的預(yù)期收益率；X=(x1,x2,…,xn)T是投資組合的權(quán)重向量；Σ=(σij)n×n是n種資產(chǎn)間的協(xié)方差矩陣；Rp=E(rp)和σ2p分別是投資組合的期望回報(bào)率和回報(bào)率的方差。點(diǎn)睛：馬可維茲模型以預(yù)期收益率期望度量收益；以收益率方差度量風(fēng)險(xiǎn)。在教科書中通常以資產(chǎn)的歷史收益率的均值作為未來(lái)期望收益率，可能會(huì)造成“追漲的效果”，在實(shí)際中這些收益率可能是由研究員給出；在計(jì)算組合風(fēng)險(xiǎn)值時(shí)協(xié)方差對(duì)結(jié)果影響較大，在教科書中通常以資產(chǎn)的歷史收益率的協(xié)方差度量資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)與相關(guān)性，這種計(jì)算方法存在預(yù)期誤差，即未來(lái)實(shí)際協(xié)方差矩陣與歷史協(xié)方差矩陣間的存在偏差。12.2收益與風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算函數(shù)在MATLAB的金融工具箱中計(jì)算組合收益與風(fēng)險(xiǎn)為portstats函數(shù)。

組合收益率為組合中各證券的收益率與權(quán)重乘積的和。E(rp)=XTR組合協(xié)方差為權(quán)重向量與協(xié)方差矩陣的乘積。其中，各參數(shù)含義同12.1節(jié)。函數(shù)語(yǔ)法：［PortRisk,PortReturn］=portstats(ExpReturn,ExpCovariance,PortWts)輸入?yún)?shù)：ExpReturn：資產(chǎn)預(yù)期收益率；ExpCovariance：資產(chǎn)的協(xié)方差矩陣；PortWts：資產(chǎn)權(quán)重。輸出參數(shù)：PortRisk：資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)（標(biāo)準(zhǔn)差）；PortReturn：資產(chǎn)組合預(yù)期收益（期望）。12.3有效前沿計(jì)算函數(shù)馬可維茲均值方差模型為經(jīng)典的帶約束的二次優(yōu)化問(wèn)題，在給定期望收益時(shí)，方差最小解唯一(可行解域?yàn)橥?，frontcon使用MATLAB優(yōu)化工具箱的fmincon函數(shù)進(jìn)行求解，fmincon函數(shù)說(shuō)明請(qǐng)參看MATLAB幫助。frontcon函數(shù)算法如下：將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。即：給定ei計(jì)算相應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)最小的組合，即得到有效前沿上一點(diǎn)（有效組合），給定一系列ei可以有效描繪出有效前沿。組合的收益介于單個(gè)資產(chǎn)的最大收益與最小收益之間，例如示例中最大收益為0.0540%、最小收益為0.0236%，ei為根據(jù)NumPorts在最大收益與最小收益間進(jìn)行等分即可。12.4約束條件下有效前沿在實(shí)際構(gòu)建投資組合時(shí)要考慮到合法合規(guī)或者風(fēng)險(xiǎn)管理等限制條件，這樣會(huì)給組合構(gòu)建帶來(lái)約束，例如基金“雙百分之十規(guī)則”：基金投資于某一證券的市值不能超過(guò)基金資產(chǎn)的10%，基金投資于某一上市公司股票不能超過(guò)該公司市值的10%；MATLAB求解約束條件下有效前沿的函數(shù)為portopt。函數(shù)語(yǔ)法：［PortRisk,PortReturn,PortWts］=portopt(ExpReturn,ExpCovariance,NumPorts,PortReturn,ConSet,varargin)輸入?yún)?shù)：ExpReturn：資產(chǎn)預(yù)期收益率；ExpCovariance：資產(chǎn)的協(xié)方差矩陣；NumPorts：（可選）有效前沿上輸出點(diǎn)的個(gè)數(shù)，默認(rèn)為10；PortReturn：（可選）給定有效前沿上輸出點(diǎn)回報(bào)求方差；ConSet：組合約束，一般通過(guò)portcons進(jìn)行設(shè)置；varargin:主要為優(yōu)化算法中的一些參數(shù)。輸出函數(shù)：PortRisk：資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)（標(biāo)準(zhǔn)差）；PortReturn：資產(chǎn)組合預(yù)期收益（期望）；PortWts：資產(chǎn)組合中各資產(chǎn)權(quán)重。12.5模型年化參數(shù)計(jì)算在實(shí)際進(jìn)行資產(chǎn)配置時(shí)周期常常為年，如何將日數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為年數(shù)據(jù)存在許多細(xì)節(jié)上的問(wèn)題。例1假設(shè)2005年到2011年上證綜合指數(shù)、上證50指數(shù)、滬深300指數(shù)及深證100指數(shù)的主要指標(biāo)如下表所列。其中，年化收益率使用的是2005—2011年累積收益率的1/7次方得到，年化波動(dòng)率為日波動(dòng)率乘以得到。由于市場(chǎng)變幻莫測(cè)，如果選取的時(shí)間長(zhǎng)度不同，可能得到的波動(dòng)率大小不同。問(wèn)題是我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)通過(guò)累積收益率來(lái)計(jì)算的年化收益率與日均收益率乘以每年交