第9章KMV模型求解——方程與方程組的數(shù)值解9.1方程與方程組在實(shí)際問題中如果我們知道某幾個(gè)未知數(shù)間的關(guān)系，例如方程或方程組，則可以使用數(shù)值計(jì)算方法求解出方程或方程組的解(根)。若x為變量，對(duì)方程f(x)，若存在x*，使得f(x*)=0，則x*為方程

f(x)的解（根）。求解方程算法為迭代算法，通常使用優(yōu)化算法求解方程若上述方程有解，則對(duì)于上述優(yōu)化問題的最小值為0，對(duì)應(yīng)的最優(yōu)點(diǎn)即為方程的解（根），若方程有多解，則優(yōu)化問題存在多個(gè)極值使得函數(shù)值為0。例如注：上述方程未必有解，也可能解不唯一，具體理論可以參考相關(guān)數(shù)學(xué)理論書籍。9.1.1

方程9.1.1

方程組若x為變量，對(duì)方程組若存在x*,使得則x*為方程組的解或者根。求解方程（組）算法為迭代算法，通常可以使用優(yōu)化算法求解方程（組）。若上述方程組有解，則對(duì)于優(yōu)化問題的最小值為0，對(duì)應(yīng)的最優(yōu)點(diǎn)即為方程組的解（根），若方程（組）有多解，則優(yōu)化問題存在多個(gè)極值使得函數(shù)值為0。注：上述方程組未必有解，也可能解不唯一，具體理論可以參考相關(guān)數(shù)學(xué)理論書籍。9.2方程與方程組的求解fzero是MATLAB最主要內(nèi)置的求解單變量方程的函數(shù)。函數(shù)語法：［x,fval,exitflag,output］=fzero(fun,x0,options)輸入?yún)?shù)：fun:目標(biāo)函數(shù)，一般用M文件形式給出；x0：優(yōu)化算法初始迭代點(diǎn)；options:參數(shù)設(shè)置。注：方程組求解一般使用迭代算法，迭代是數(shù)值分析中通過從一個(gè)初始估計(jì)出發(fā)尋找一系列近似解來解決問題（一般是解方程或者方程組）的過程，為實(shí)現(xiàn)這一過程所使用的方法統(tǒng)稱為迭代法（iterativemethod）。這里輸入的x0為初始迭代點(diǎn)。函數(shù)輸出：x:最優(yōu)點(diǎn)輸出（或最后迭代點(diǎn)）；fval:最優(yōu)點(diǎn)（或最后迭代點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；exitflag:函數(shù)結(jié)束信息（具體參見MATLABHelp）；output:函數(shù)基本信息（包括迭代次數(shù)、目標(biāo)函數(shù)最大計(jì)算次數(shù)、使用的算法名稱、計(jì)算規(guī)模）。9.2.1

fzero函數(shù)9.2.2

fsolve函數(shù)fsolve是MATLAB最主要求解多變量方程與方程組的函數(shù)。函數(shù)語法：［x,fval,exitflag,output,jacobian］=fsolve(fun,x0,options)輸入?yún)?shù)：fun:目標(biāo)函數(shù)，一般用M文件形式給出；x0：優(yōu)化算法初始迭代點(diǎn)；options:參數(shù)設(shè)置。函數(shù)輸出：x:最優(yōu)點(diǎn)輸出（或最后迭代點(diǎn)）；fval:最優(yōu)點(diǎn)（或最后迭代點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；exitflag:函數(shù)結(jié)束信息（具體參見MATLABHelp）；output:函數(shù)基本信息（包括迭代次數(shù)、目標(biāo)函數(shù)最大計(jì)算次數(shù)、使用的算法名

稱、計(jì)算規(guī)模）；jacobian：Jacobian矩陣（主要用來判斷是否得到有效解）。9.2.3

含參數(shù)方程組求解例1求解多變量方程求解過程如下：①編寫目標(biāo)函數(shù)Eqfunobj2.m如下：②編寫求解函數(shù)SolveEqfun2.m如下：9.3

KMV模型方程組的求解9.3.1

KMV模型簡(jiǎn)介KMV模型是美國舊金山市KMV公司于20世紀(jì)90年代建立的用來估計(jì)借款企業(yè)違約概率的方法。KMV模型認(rèn)為，貸款的信用風(fēng)險(xiǎn)是在給定負(fù)債的情況下由債務(wù)人的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)值決定的。但資產(chǎn)并沒有真實(shí)地在市場(chǎng)交易，資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)值不能直接觀測(cè)到。為此，模型將銀行的貸款問題倒轉(zhuǎn)一個(gè)角度，從借款企業(yè)所有者的角度考慮貸款歸還的問題。在債務(wù)到期日，如果公司資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)值高于公司債務(wù)值（違約點(diǎn)），則公司股權(quán)價(jià)值為公司資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)值與債務(wù)值之間的差額；如果此時(shí)公司資產(chǎn)價(jià)值低于公司債務(wù)值，則公司變賣所有資產(chǎn)用于償還債務(wù)，股權(quán)價(jià)值變?yōu)榱恪MV模型的優(yōu)勢(shì)在于以現(xiàn)代期權(quán)理論基礎(chǔ)作依托，充分利用資本市場(chǎng)的信息而非歷史賬面資料進(jìn)行預(yù)測(cè)，將市場(chǎng)信息納入了違約概率，更能反映上市企業(yè)當(dāng)前的信用狀況，是對(duì)傳統(tǒng)方法的一次革命。KMV模型是一種動(dòng)態(tài)模型，采用的主要是股票市場(chǎng)的數(shù)據(jù)，因此，數(shù)據(jù)和結(jié)果更新很快，具有前瞻性，是一種“向前看”的方法。9.3.2

讀取數(shù)據(jù)函數(shù)xlsreadKMV模型又稱為預(yù)期違約率模型(ExpectedDefaultFrequency，EDF)，該模型把違約債務(wù)看作企業(yè)的或有權(quán)益,把所有者權(quán)益視為看漲期權(quán),將負(fù)債視為看跌期權(quán)，而把公司資產(chǎn)(股票加債務(wù))作為標(biāo)的資產(chǎn)。該模型認(rèn)為企業(yè)信用風(fēng)險(xiǎn)主要決定于企業(yè)資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)值、波動(dòng)率以及負(fù)債賬面價(jià)值。當(dāng)企業(yè)資產(chǎn)未來市場(chǎng)價(jià)值低于企業(yè)所需清償?shù)呢?fù)債面值時(shí),企業(yè)將會(huì)違約。企業(yè)資產(chǎn)未來市場(chǎng)價(jià)值的期望值到違約點(diǎn)之間的距離就是違約距離DD(DistancetoDefault),它以資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)表示，距離越遠(yuǎn)，公司發(fā)生違約的可能性越小，反之，公司發(fā)生違約的可能性越大。基于公司違約數(shù)據(jù)庫，模型可依據(jù)公司的違約距離得出一個(gè)期望違約頻率，這個(gè)期望違約頻率就是公司未來某一時(shí)期的違約概率。假設(shè)KMV模型方程組中的兩個(gè)未知變量Va和σa可由式下式求出。式中：E為公司的股權(quán)價(jià)值；D為公司負(fù)債的市場(chǎng)價(jià)值；Va為公司資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)值；τ為債務(wù)期限,一般設(shè)為1年；σa為公司資產(chǎn)價(jià)值的波動(dòng)率；r為無風(fēng)險(xiǎn)利率；σE為公司股權(quán)價(jià)值的波動(dòng)率。假設(shè)公司資產(chǎn)價(jià)值服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，那么可以通過KMV方程組計(jì)算出上市公司的違約距離。式中：E(Va)為公司資產(chǎn)未來價(jià)值的期望值；DP為違約點(diǎn)（DP=SD+0.5×LD，為企業(yè)1年以下短期債務(wù)的價(jià)值加上未清償長(zhǎng)期債務(wù)賬面價(jià)值的一半）。相應(yīng)的違約概率為Pt=N(-DD)，N(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。9.3.3

KMV模型計(jì)算程序例2某公司流動(dòng)負(fù)債為1億元，長(zhǎng)期負(fù)債為5000萬元，根據(jù)上市公司的股價(jià)行情（如表1所列），可以統(tǒng)計(jì)計(jì)算出E（公司的股權(quán)價(jià)值）與σE(公司股權(quán)價(jià)值的波動(dòng)率)，計(jì)算公司的違約率。表1公司股權(quán)價(jià)值與收益率表步驟1：基本參數(shù)計(jì)算。公司股價(jià)波動(dòng)率為8.35%（月度），公司股權(quán)價(jià)值的波動(dòng)率（年代）σE=σ12=0.2893（在實(shí)踐計(jì)算中，通常計(jì)算時(shí)日波動(dòng)率，假設(shè)一年的交易日為250個(gè)，則年化波動(dòng)率為日波動(dòng)率乘以交易日數(shù)量的平方根）。公司的股權(quán)價(jià)值E=141276427元。KMV模型違約點(diǎn)DP=SD+0.5×LD=1.25億元。步驟2：使用數(shù)值技術(shù)優(yōu)化方程組。利用fsolve函數(shù)求解KMV方程組，fsolve是MATLAB最主要內(nèi)置的求解方程組的函數(shù)，KMV模型方程組中的兩個(gè)未知變量Va和σa可從式(9.1)中求出。由于兩個(gè)未知變量Va和σa數(shù)量級(jí)相差巨大，Va數(shù)量級(jí)為億、千萬等，而σa取值范圍一般為［0,10］,fsolve函數(shù)使用迭代方法進(jìn)行方程組計(jì)算，為準(zhǔn)確求解方程組必須將Va標(biāo)準(zhǔn)化，將Va根據(jù)負(fù)債D進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，引入?yún)?shù)EtD（為E/D），便于fsolve函數(shù)迭代求解（若不變化，將出現(xiàn)程序失敗或計(jì)算結(jié)果誤差巨大的情況）。將Va=x·E代入KMV方程組，兩個(gè)未知變量是x和σa，KMV方程組變?yōu)橐雲(yún)?shù)EtD，上式簡(jiǎn)化為計(jì)算出x和σa，根據(jù)Va=x·E可以計(jì)算出公司資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)值。KMV方程組計(jì)算函數(shù)的M文件為KMVfun.m。函數(shù)語法：F=KMVfun(EtoD,r,T,EquityTheta,x)輸入?yún)?shù)：EtoD：E/D，公司的股權(quán)價(jià)值比公司負(fù)債的市場(chǎng)價(jià)值；r：無風(fēng)險(xiǎn)利率；T：預(yù)測(cè)周期；EquityTheta：公司股權(quán)價(jià)值的波動(dòng)率；x：公司資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)值Va=x·E比例。輸出參數(shù)：F：方程組的函數(shù)值。KMV方程組求解函數(shù)的M文件為KMVOptSearch.m。函數(shù)語法：［Va,AssetTheta］=KMVOptSearch(E,D,r,T,EquityTheta)輸入?yún)?shù)：E：公司的股權(quán)價(jià)值；D：公司負(fù)債的市場(chǎng)價(jià)值；r:無風(fēng)險(xiǎn)利率；T:預(yù)測(cè)周期；EquityTheta:公司的股權(quán)價(jià)值波動(dòng)率。輸出參數(shù)：Va：公司資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)值；AssetTheta：公司資產(chǎn)價(jià)值的波動(dòng)率。步驟3：程序測(cè)試計(jì)算。程序測(cè)試計(jì)算的M文件KMVcompute.m。公司的股權(quán)價(jià)值E=141276427元;公司負(fù)債的市場(chǎng)價(jià)值D=DP=SD+0.5LD=125000000元；