高級中學名校試題PAGEPAGE1湖南省郴州市2025屆高三三模數學試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，，則中所有元素和為（）A.3 B.5 C.6 D.9【答案】C【解析】因為集合，得，又集合，所以，所以中所有元素之和為.故選：C.2.已知復數滿足，則（）A. B. C.3 D.1【答案】D【解析】滿足，則，則.則.故選：D.3.在平面直角坐標系xOy中，已知，，，若，則的值為（）A4 B.2 C. D.【答案】A【解析】因為，，所以，，又，得，又，所以，即，解得.故選A.4.已知橢圓：（）左、右焦點分別為，，點在橢圓上，若，橢圓的離心率為，則橢圓的焦距為（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】依題意，解得，所以焦距.故選：B5.已知，則的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，，所以.故選：B6.在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，BC邊上的高，則（）A. B. C.8 D.【答案】A【解析】已知BC邊上的高，，根據三角形面積公式.將，，代入可得：，，.

由余弦定理，可得：，即，可得：，即，把代入上式可得：，即.

因為、為三角形的邊，可得：.

故選：A.7.已知函數，若函數在區間的圖象上存在兩條斜率之積為的切線，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，不妨設這兩條相互垂直的切線的切點為，且若，則恒成立，不符合題意，可排除A項.所以，此時在上單調遞增，依題意需使，解得.故選：D8.定義：在空間直角坐標系中、兩點的“網線距離”為.設、、，其中、、均為整數，若滿足的點的個數為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為、、，則，由三角不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，同理可得，，當且僅當、時，等號成立，又因為，即，可得、、，又因為、、都是整數，則、、，故滿足條件的點的個數為個.故選：C.二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.某市為豐富市民的業余生活，春節前舉辦“迎春杯”歌手大獎賽，比賽分青年組、中年組和老年組.每組由6位專業評委對演唱評分（滿分10分），老年組的甲和乙參加比賽得分的折線統計圖如下圖所示，則下列結論正確的是（）A.甲得分的中位數大于乙得分的中位數B.甲得分的極差大于乙得分的極差C.甲得分的上四分位數小于乙得分的上四分位數D.甲得分的方差大于乙得分的方差【答案】ABD【解析】將甲的得分從小到大排列為：7.0，8.3，8.9，8.9，9.2，9.3.因為數據個數為偶數，所以甲得分的中位數為.將乙的得分從小到大排列為：8.1，8.5，8.6，8.6，8.7，9.1.同理，乙得分的中位數為.由于，所以甲得分的中位數大于乙得分的中位數，A選項正確.甲得分的最大值是9.3，最小值是7.0，則甲得分的極差為.乙得分的最大值是9.1，最小值是8.1，則乙得分的極差為.因為，所以甲得分的極差大于乙得分的極差，B選項正確.，，向上取整為.所以甲得分的上四分位數是9.2，乙得分的上四分位數是8.7，由于，所以甲得分的上四分位數大于乙得分的上四分位數，C選項錯誤.，，向上取整為.所以甲得分的上四分位數是9.2，乙得分的上四分位數是8.7，由于，所以甲得分的上四分位數大于乙得分的上四分位數，C選項錯誤.計算甲得分的平均數：,甲得分的方差：.計算乙得分的平均數：,乙得分的方差：.因為，所以甲得分的方差大于乙得分的方差，D選項正確.故選：ABD10.已知定義在上的函數的導數為，若，且，則下列式子中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】因為當時，，令，可得，所以在上單調遞增.因為，可得，對于A，因為在上單調遞增，所以，即，化簡可得，故A正確；對于B，因為在上單調遞增，所以，即，化簡可得，故B錯誤；對于C，因為在上單調遞增，所以，即，化簡可得，故C正確；對于D，因為在上單調遞增，所以，即，化簡可得，故D錯誤；故選：AC.11.已知正方體的表面積與體積的數值之比為3，，分別是棱BC，的中點，是線段上一個動點，則下列結論正確的是（）A.B.多面體的體積為C.存在一點，使得D.若平面PQG，則平面PQG截正方體的截面面積是【答案】BD【解析】對于A，因為正方體的表面積與體積之比為3，所以，解得，故A錯誤；對于B，因為四面體的體積為，所以多面體的體積為，正確；對于C，設的中點為，連接，則，因為在平面內，而是線段上一個動點，即點在平面內，點在平面外，所以為異面直線，故C錯誤；對于D，在正方體中，連接，易得，又結合正方體的結構特點易證，是平面內的兩條相交直線，所以平面，又在平面內，所以，同理可證，是平面內兩條相交直線，所以平面，又平面，所以平面平面，又分別是棱BC，的中點，所以平面截正方體的截面分別交棱的中點，所以截面為正六邊形，又，所以截面面積為，故D正確，故選：BD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知，則______.【答案】【解析】依題意，.故答案為：13.已知函數，若在區間上單調遞增，則實數的取值范圍為______.【答案】【解析】由解得，，令，得，依題意，在區間上單調遞增，則實數的取值范圍為.故答案為：14.已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上，且，點在直線：上，過向拋物線引兩條切線PQ，PR，切點分別為，，過點引直線QR的垂線，垂足為點，則直線FH的斜率的取值范圍是______.【答案】【解析】因為，所以，所以拋物線：；設，不妨設，由，可得，可得，則，可得切線的方程為因為點在直線上，可得，同理可得：，所以直線的方程為，可得直線過定點，又因為在直線上的射影為，可得且，所以點的軌跡為以為直徑的圓，其方程為，當與相切時，由拋物線，可得，設過點與圓相切的直線的斜率為，可得切線方程為，則，解得或，所以實數的范圍為.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.已知編號為甲、乙、丙的三個袋子中裝有除標號外完全相同的小球，其中甲袋內裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；乙袋內裝有兩個1號球，一個3號球；丙袋內裝有三個1號球，兩個2號球和一個3號球.（1）從甲袋中一次性摸出2個小球，記隨機變量為1號球的個數，求隨機變量的分布列和數學期望；（2）現按照如下規則摸球：連續摸球兩次，第一次先從甲袋中隨機摸出1個球，若摸出的是1號球放入甲袋，摸出的是2號球放入乙袋，摸出的是3號球放入丙袋；第二次從放入球的袋子中再隨機摸出1個球.求第二次摸到的是3號球的概率.解：（1）由題意可知：隨機變量的可能取值為0，1，2，則有：，可得隨機變量的分布列為012所以隨機變量的期望.（2）記第一次從甲袋中隨機摸出1個球，摸出的是1、2、3號球分別為事件，第二次摸到的是3號球為事件B，則，所以16.已知數列為等差數列，且，.（1）求數列的通項公式；（2）已知數列的前項和為，且，求數列的通項公式；（3）已知數列滿足：，求數列的前項和.解：（1）因為數列為等差數列，則，可得，所以，數列的公差為，故.（2）當時，，解得，當且時，由得，上述兩個等式作差可得，可得，所以，數列是首項和公比均為的等比數列，故.（3）由（1）（2）可得，所以，，則，上述兩個等式作差得，整理得.17.已知函數.（1）當時，求函數的最值；（2）若函數有兩個不同極值點，證明：.解：（1）當時，對函數求導可得.令，解得.當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；因此，在處取得最大值，最大值為，無最小值.（2）函數對求導可得令，得到.設是的兩個根，則①，②①-②得③；①+②得④.③④得，即，不妨設，令則，即.要證，即證，即證，即證，即證，即證.設，對求導可得恒成立，故在上單調遞增，即故成立，即成立.18.如圖所示，在圓柱中，矩形為圓柱的軸截面，圓柱過點的母線為，點，為圓上異于點，且在線段AB同側的兩點，且，點為線段的中點，.（1）求證：平面；（2）若平面與平面所成夾角的余弦值為，求的大小；（3）若，平面經過點，且直線與平面所成的角為，過點作平面的垂線（垂足為），求直線AQ與直線所成角的范圍.（1）證明：延長交于點Q，連接，因為，是中點，所以是的中位線，則點是中點，又因為是圓柱的母線，所以平行且相等，所以易得相交與點，是的中點，則在中，，又因因為，在延長線上，所以可得平面，而不在平面內，所以平面.（2）解：由題意可知面，且因為直徑，所以則，三線兩兩垂直，則建立如圖所示空間直角坐標系，又因為，所以設，則，可得點坐標為，，，，則，由題意平面在平面內，所以平面的法向量為，設平面的法向量為，則，即，令，則解得，所以，又因為平面與平面所成夾角的余弦值，解得或（舍），且因為，則，即.（3）解：因為過點的平面與直線所成的角為，又因為過點作平面的垂線（垂足為）所以為直角三角形，且，所以點是繞旋轉的圓，且半徑，圓心距離點的長度為所以設點且，又因為點為，所以，而，所以，又因為，所以，且因為，所以，所以直線AQ與直線所成角的范圍為.19.已知雙曲線：（，）的左、右焦點分別為，，離心率為2，過的直線與雙曲線交于，兩點，當直線垂直于軸時，的周長為16.（1）求雙曲線的標準方程；（2）與軸不重合的直線過點，雙曲線上存在兩點，關于對稱，且AB的中點的橫坐標為.（ⅰ）若，求實數的值；（ⅱ）若，為雙曲線右支上兩個不同點，過點，求的取值范圍.解：（1）因為當直線垂直軸時，將代入,得