高級中學名校試題PAGEPAGE1黑龍江省齊齊哈爾市2025屆高三一模數學試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．）1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為集合，，則.故選：D.2.已知，則在復平面內所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】因為，所以，所以對應的點的坐標是，位于第一象限.故選：A.3.雙曲線的漸近線方程為，則的關系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，因為雙曲線漸近線方程為，所以，所以.故選：A4.圓柱的母線長為4，底面半徑為2，該圓柱的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為圓柱的母線長為4，底面半徑為2，所以圓柱的體積為.故選：C.5.如圖，在平面四邊形中，，建立如圖所示的平面直角坐標系，且，，，則（）A.3 B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】在平面四邊形中，，可以建立如圖平面直角坐標系，，，設，因為，所以，解得，所以，又，所以，所以，，所以．故選：C．6.為了分析某次數學模擬考試成績，在90分及以上的同學中隨機抽取了100名同學的成績，得到如下成績分布表：分數區間人據表中的數據，下列結論中正確的是（）A.所抽取的100名同學的成績的中位數小于120B.所抽取的100名同學的成績低于130所占比例超過C.所抽取的100名同學的成績的極差不小于40且不大于60D.所抽取的100名同學的成績的平均分數介于100至110之間【答案】C【解析】對于A選項，根據人數分布可知，所以所抽取的100名同學的成績的中位數不小于120，所以A選項不正確；對于B選項，所抽取的100名同學的成績低于130的人數為，故所抽取的名同學的成績低于所占比例低于，所以B選項不正確；對于C選項，所抽取的100名同學的成績的極差最大值為，極差最小值大于，所以C選項正確；對于D選項，成績的平均分數，所以D選項不正確，故選：C.7.已知曲線，從曲線上任意一點向軸作垂線，垂足為，且，則點的軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設點，由軸于點，且，得，則，又點是曲線上的任意一點，因此，所以點的軌跡方程為.故選：A8.函數結構是值得關注的對象為了研究的結構，兩邊取對數，可得，即，兩邊取指數，得，即，這樣我們就得到了較為熟悉的函數類型結合上述材料，的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，兩邊取對數，可得，即，令，則，當時，，為減函數，當時，，為增函數，∴，∴，，的最小值為，故選：C.二、多項選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.對于函數和，下列說法中正確的有（）A.與有相同的零點 B.與有相同的最大值C.與最小正周期不相同 D.與的圖象存在相同的對稱軸【答案】BCD【解析】因為，，對于A選項，對于函數，由，可得，對于函數，由，可得，故函數的零點為，函數的零點為，所以，函數、沒有相同的零點，A錯；對于B選項，的最大值為，的最大值為，故與的最大值相同，B對；對于C選項，函數的最小正周期為，函數的最小正周期為，這兩個函數的最小正周期不同，C對；對于D選項，因為，，所以，函數與的圖象存在相同的對稱軸，D對.故選：BCD.10.泰戈爾說過一句話：世界上最遠的距離，不是樹枝無法相依，而是相互瞭望的星星；世界上最遠的距離，不是星星之間的軌跡，卻在轉瞬間無處尋覓．已知點，直線，動點到點的距離是點到直線的距離的2倍，若某直線上存在這樣的點，則稱該直線為“最遠距離直線”，則下列結論中正確的是（）A.點的軌跡方程是B.直線是“最遠距離直線”C.圓的方程為：，其上一動點，則的最小值為D.點的軌跡與圓是沒有交匯的軌跡（也就是沒有交點）【答案】AC【解析】對于A，設，則有，整理可得，故點的軌跡方程是，故A正確；對于B，由點的軌跡方程是知，雙曲線的漸近線為，可得直線為其一條漸近線，故直線與點的軌跡方程沒有交點，則直線不是“最遠距離直線”，故B錯誤；對于C，圓方程為：，其圓心，半徑為，由點與圓的位置關系可知，，又即，根據點與雙曲線的位置關系可得，故，故C正確；對于D，聯立圓與點的軌跡方程，有，可得，，故點的軌跡與圓有交點，故D錯誤.故選：AC.11.已知函數，則（）A.當時，函數有兩個極值B.過點且與曲線相切的直線有且僅有一條C.當時，若是與的等差中項，直線與曲線有三個交點，則D.當時，若，則【答案】BCD【解析】由得，對于A，當時，則有，所以當時，，所以單調遞增，此時函數沒有兩個極值，故A錯誤；對于B，設過點且與曲線相切于點，則斜率為，可得切線方程為，代入得，整理得，令，則，令得或，令得，所以和上單調遞增，在上單調遞減，又，，，所以函數只有一個零點，即方程只有一個解，所以過點且與曲線相切的直線有且僅有一條，故B正確；對于C，當時，，又因為是與的等差中項，所以直線即為直線，即，該直線過定點，且此點在曲線上，又，令得或，令得，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，由題意作出函數的示意圖，設函數的對稱中心為，則，即，整理得，所以，解得，所以函數圖象關于點中心對稱，設，則有，所以，故C正確；對于D，當時，，則，令得或，令得，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，又，，作出作出函數的示意圖所以在上單調遞減，所以，即，令，當時，，則在上單調遞減，所以，所以，即，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.設數列滿足，且，則____________．【答案】4【解析】由以及可得：，故，故答案為：413.在中內角的對邊分別為，已知，則____________．【答案】3【解析】由可得,故,,由正弦定理可得，故答案為：314.在如圖的的方格表中隨機選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則事件“選中方格中的4個數之和為”的概率為______.11131315202223243132333541424244【答案】【解析】在如圖的的方格表中隨機選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則所有的可能為：共24種可能；其中滿足“選中方格中的4個數之和為”的可能為：，共3種可能；故所求為.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.階行列式是一種二階方陣的行列式，其計算方法如下：，函數，（其中），若，函數的最小正周期為．（1）求函數的解析式；（2）中，若，為銳角，三個內角分別對應邊，面積為，則的最小值為？解：（1）由題知∴∵的最小正周期為，∴，∴∴（2）∵為銳角，∴∴，∴，∵，∴∴當且僅當時，取最小值416.已知函數.（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若，求實數的取值范圍.解：（1）當時，，，則，所以所求切線方程為，即；（2），即，即，即對恒成立，令，則，當時，，當，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以.17.如圖，在直三棱柱中，．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：由題知平面，又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又，所以四邊形是正方形，得到，又，平面，所以平面.（2）解：如圖，建立空間直角坐標系，因為，則，得到平面與平面夾角為，設平面的法向量為，則，令，則，所以平面的法向量為，設平面的法向量為，則：，令，則，所以平面的法向量為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.現市場上治療某種疾病的藥品有兩種，其治愈率與患者占比如表所示，為試驗一種新藥，在有關部門批準后，某醫院把此藥給100個病人服用．設藥的治愈率為，且每位病人是否被治愈相互獨立．ABC（新藥）治愈率患者占比（1）記100個病人中恰有80人被治愈的概率為，求的最大值點；（2）設用新藥的患者占比為（藥品減少的患者占比，均為新藥增加占比的一半，，以（1）問中確定的作為的值，從已經用藥的患者中隨機抽取一名患者，求該患者痊愈的概率（結果用表示）（3）按照市場預測，使用新藥的患者占比能達到以上，不足的概率為，不低于且不超過的概率為，超過的概率為，某藥企計劃引入藥品的生產線，但生產線運行的條數受患者占比的影響，關系如下表：患者占比最多投入生產線條數123若某條生產線運行，年利潤為1000萬，若某條生產線未運行，年虧損300萬，欲使該藥企生產藥品的年總利潤均值最大，應引入幾條生產線？解：（1）100個病人中恰好有80人被治愈的概率為，則，令，得，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以的最大值點為.（2）設事件“從患者人群中抽一名痊愈者”，事件“該患者服用藥品治療”，事件“該患者服用藥品治療”，事件“該患者服用藥品治療”，則因此：所以.（3）設隨機變量為生產藥品產生的年利潤①若投入1條生產線，由于服用藥品的患者的占比總大于，所以一條生產線總能運行，此時對應的年利潤②若投入2條生產線，當，1條生產線運行，年利潤，當時，2條生產線運行，年利潤，此時的分布列如下：7002000所以；③若投入3條生產線，當時，1條生產線運行，年利潤，當時2條生產線運行，年利潤，當時，3條生產線運行，年利潤，此時的分布列如下：40017003000所以綜上所述，欲使該藥企生產藥品的年度總利潤均值最大，應引入兩條生產線.19.如圖所示，已知動圓與直線相切，并與定圓相內切．（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）過原點作斜率為1直線交曲線于（為第一象限點），又過作斜率為2的直線交曲線于，再過作斜率為4的直線交曲線于，…，如此繼續，過作斜率為的直線交曲線于，設．①令，求證：數列是等比數列；②數列的前項和為，試比較與的大小．（1）解：方法1：由題意知，點到原點的距離等