高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1黑龍江省大慶市2025屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則a的值為（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】由題，，又為純虛數(shù)，.故選：A．2.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A. B. C.3 D.9【答案】B【解析】設(shè)，則即，故選：B．3.已知等比數(shù)列中，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)，得，所以.故選：D4.已知是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則m，n可能平行或異面，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則m垂直于內(nèi)的任意直線，，所以B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則m，n可能平行或相交或異面，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則或，所以D錯(cuò)誤.故選：B5.設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，則點(diǎn)M的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則由已知得化簡(jiǎn)得，故選：C．6.若銳角滿足，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】且平方得，又，故選：A．7.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)為奇函數(shù)，對(duì)任意的,,，都有，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè),由為奇函數(shù)可知為偶函數(shù)因?yàn)槿我獾?,，都有所以時(shí),單調(diào)遞減,由對(duì)稱性可知在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋匀?則化為,即,由單調(diào)性可知．若，則化為，即，由單調(diào)性可得．綜上,．故選:C8.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差，直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知：圓的圓心為，半徑，設(shè)數(shù)列公差為d，則直線可化為，即．令，解得，可知直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最小，此時(shí)最小．又因?yàn)椋瑒t，可知，則．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)是兩個(gè)非零向量，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.在方向上的投影向量的模為【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，由可知，當(dāng)時(shí)，，所以．所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，由可知，與共線，不一定是．所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，由，得，即，所以，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，由投影向量定義可知，在方向上的投影向量為，所以其模長(zhǎng)為，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD．10.已知函數(shù)，其中，且．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確是（）A.的圖象關(guān)于對(duì)稱B.在上單調(diào)遞增C.直線是的一條切線D.若在區(qū)間上的圖象與直線有且只有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為【答案】AC【解析】由且，都有同號(hào)可知，,又，由得，由知關(guān)于對(duì)稱，故A正確．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)先增后減，故B錯(cuò)誤．．令得或，其中，時(shí)在處得切線為，故C正確．由得．由正弦函數(shù)圖象知道，得．故D錯(cuò)誤．故選：AC．11.廣東汕頭海灣大橋被譽(yù)為“中國(guó)第一座大跨度現(xiàn)代懸索橋”，懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線，其方程為（為參數(shù)，）．當(dāng)時(shí)，該方程是雙曲余弦函數(shù)，類似的函數(shù)還有雙曲正弦函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.，B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值C.，D.，【答案】BCD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，則，則，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)．設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，函數(shù)上單調(diào)遞增，則，即，又，當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞增，所以，．故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)．當(dāng)時(shí)，則，則在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減．設(shè)，可在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋瑒t，所以，存在，使得，即存在，使得，故D正確故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，則的所有元素之和為_(kāi)_______．【答案】【解析】,即,的所有元素之和為．故答案為：.13.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與C交于M，N兩點(diǎn)，且．若四邊形的周長(zhǎng)為，則C的離心率為_(kāi)_______．【答案】【解析】由雙曲線的對(duì)稱性，可知四邊形為平行四邊形，又，則四邊形為矩形，設(shè)，則，兩個(gè)方程平方后相加得，在直角三角形中，所以，化簡(jiǎn)得，由得．故答案為：14.在正四棱臺(tái)中，，則該正四棱臺(tái)的高為_(kāi)_______；若點(diǎn)P在四邊形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)_______．【答案】①.②.【解析】取正方形的中心為，正方形ABCD的中心為O，連接，則平面ABCD．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)H，則，所以平面ABCD，且四邊形為矩形，，．在中，，即該正四棱臺(tái)的高為．連接PH，在中，，點(diǎn)P的軌跡為以H為圓心，為半徑的圓在正方形ABCD內(nèi)的部分，即．過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)E，過(guò)H作于點(diǎn)F，則．在中，．同理，，的長(zhǎng)度為，故點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，．（1）求B；（2）求函數(shù)在上的最大值．解：（1）在中，由正弦定理得或．又為鈍角.（2）由（1）可知．∴當(dāng)，即時(shí)．16.已知函數(shù)在處取得極值．（1）求a的值；（2）若存在使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1），由已知，又當(dāng)時(shí)，令得，且當(dāng)時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減．在處取得極大值.綜上，.（2）問(wèn)題等價(jià)于存在使得．設(shè)，則當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，故m的范圍是．17.設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．令，為數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．（1）解：由題意得，①，當(dāng)時(shí)，②由①②得：，即．又時(shí)，滿足.（2）證明：由得，.①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，此時(shí)，，故②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，綜上，當(dāng)時(shí)，．18.在四棱錐中，底面ABCD為正方形，O是AD中點(diǎn)，平面ABCD，，平面平面．（1）求證：；（2）如圖，且，求點(diǎn)M到平面PBC的距離；（3）設(shè)四棱錐的外接球球心為Q，在線段PB上是否存在點(diǎn)E，使得直線PQ與平面AEC所成的角的正弦值為?若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）證明：四邊形ABCD為正方形又平面PCD，平面PCD平面PCD又平面PAB，平面平面（2）解：取BC中點(diǎn)N，連接ON，則平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD∴以O(shè)為原點(diǎn)，OA，ON，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為則，得，取點(diǎn)M到平面PBC的距離為（3）解：存在點(diǎn)E，使得直線PQ與平面AEC所成的角的正弦值為，，且平面ABCD為正方形，點(diǎn)Q在平面上的射影是ABCD的中心，可設(shè)則，解得．即設(shè)，，設(shè)平面AEC一個(gè)法向量為，則得，取設(shè)直線PQ與平面AEC所成的角為化簡(jiǎn)得，即或（舍）．∴存在點(diǎn)E為PB上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，使得直線PQ與平面AEC所成角的正弦值為．19.已知曲線，點(diǎn)在曲線W上．（1）求曲線W在點(diǎn)Q處的切線方程；（2）如圖1，過(guò)曲線W外一點(diǎn)A（不在y軸上）作W的兩條切線AB，AC，切點(diǎn)為B，C，過(guò)曲線W上一點(diǎn)M的切線交AB，AC于點(diǎn)，且，把這樣的叫做“外切三角形”．①連接AM交BC于點(diǎn)E，求證：A，M，E三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列；②如圖2，從點(diǎn)A出發(fā)做出的第一個(gè)外切三角形是再過(guò)點(diǎn)分別做出2個(gè)“外切三角形”，即和；繼續(xù)過(guò)點(diǎn)分別做出4個(gè)“外切三角形”以此類推，依次做出1，2，4，8，…，個(gè)外切三角形．設(shè)的面積為S，求這些“外切三角形”的面積之和T，并證明．解：（1）由題可得，則，，，故點(diǎn)Q處的切線方程為即．（2）①則由（1）可知直線AB為直線AC為，由A在AB上，同時(shí)A在AC，可知直線BC的方程為，即，，又由（1）可知直線斜率為，又，，即，則直線AM為，E點(diǎn)橫坐標(biāo)為，又在BC上，，，