高級中學名校試題PAGEPAGE1河南省鄭州市2025屆高三下學期第二次質量預測數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，所以.故選：B2.某小區隨機調查了10位業主2月份每戶的天然氣使用量，數據如下（單位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估計該小區業主月均用氣量的樣本數據的60%分位數為（）A.21 B.21.5 C.22 D.22.5【答案】B【解析】，則樣本數據的60%分位數為.故選：B.3.已知圓錐的側面展開圖是半徑為3的半圓，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設圓錐底面圓的半徑為，高為，母線長為，則，，所以，所以，所以該圓錐的體積為.故選：C4.若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，，所以，即，故．故選：D.5.函數與函數的圖象交點個數為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】通過五點法作出周期函數的圖象，再通過兩點法作出單調函數的圖象，因為，所以通過圖象可判斷它們有個交點，故選：A.6.某高校計劃安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名教師到4所不同的高中學校進行宣講，每個學校至少安排1人，其中甲、乙必須安排在同一個學校的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】將這6名教師分成四組，再分配到不同的學校，若教師人數為，則不同的安排方法種數為：種；若教師人數為，則不同的安排方法種數為：種，故不同的安排方法共有種.將這6名教師分成四組，再分配到不同的學校，甲、乙安排在同一個學校，若教師人數為，則不同的安排方法種數為：種；若教師人數為，則不同的安排方法種數為：種，故不同的安排方法共有種.所以所求事件的概率為.故選：A7.已知是拋物線的焦點，是的準線，點是上一點且位于第一象限，直線的斜率為正數，且與圓相切，過點作的垂線，垂足為，則的面積為（）A. B.4 C. D.【答案】C【解析】由題意可知，，∵，∴，，如圖：設點為與圓的切點，則，，∴，則，，∴直線，聯立方程組，即，解得（舍去）或，∴，∴，∴.故選：C.8.已知函數，，有恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴，當時，則恒成立，在上單調遞減，由一次函數與函數一定存在交點可知函數存在零點，即存在，使得時，，時，，不符合題意，舍去.當時，設直線為函數切線，設切點為則，即，則，，①當時，函數存在兩個零點，令，則，∴當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；故，∵，∴，即恒成立.此時無法滿足題意，舍去；②當時，由①可知，，滿足，③當時，恒成立，要使得恒成立，則需要恒成立，由①得，∴，即.綜上所述.故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.已知復數滿足，則下列說法正確的是（）A. B.C.若，則 D.若，則【答案】ABC【解析】設，則復數在復平面內對應點，設，則，同理，∴，即點的軌跡為橢圓，且橢圓長半軸，焦半徑，∴短半軸，∴點的軌跡方程為：，A選項：，A選項正確；B選項：，B選項正確；C選項：若，即，令，則，∴，C選項正確；D選項：，若，則或，當時，，此時；當時，，此時，D選項錯誤.故選：ABC.10.在棱長為1的正方體中，是棱的中點，則（）A.過點有且只有一條直線與直線和都相交B.過點有且只有一個平面與直線和所成角相等C.過，，三點的截面把正方體分成兩部分，則該截面的周長為D.點是正方形內的動點，，則點的軌跡長度【答案】AD【解析】對于A，點直線，點直線，點與直線確定平面，點與直線確定平面，平面與相交，該交線過點且與直線和都相交，A正確；對于B，由正方體的結構特征知，與平面都成角，則過與平面平行的平面與直線和所成角相等；直線和都平行于過與直線垂直的平面，該平面與直線和所成角相等，B錯誤；對于C，取中點，連接，由是棱的中點，得，四邊形是過三點的正方體截面，周長為，C錯誤；對于D，連接，由平面，平面，則，而，平面，于是平面，又，因此平面，又平面，則點的軌跡為平面與平面的交線，所以點的軌跡長度為，D正確.故選：AD11.已知對于任意非零實數，函數均滿足，，下列結論正確的有（）A.B關于點中心對稱C.關于軸對稱D.【答案】ABD【解析】對于A，由可得；對于B，由可得，即，所以關于點中心對稱，故B正確；對于C，由可得，所以關于軸對稱，故C錯誤；對于D，由中令可得，設，①又，②由①②可得，所以，即，所以，所以所以，故D正確；故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，向量在向量方向上的投影向量的模長為，寫出一個滿足條件的向量________．【答案】或（答案不唯一，寫出任意一個即可）【解析】設，則根據條件有，即.從而只要滿足或即可.故答案為：或（答案不唯一，寫出任意一個即可）.13.設，分別為雙曲線的左、右焦點，過且斜率為的直線與的右支交于點，與的左支交于點，點滿足，，則雙曲線的離心率為________．【答案】【解析】由，得為的中點；又，所以，所以；設，由雙曲線的定義，得，，所以，從而，所以；由直線的斜率為，得又，在中，，即；在中，由余弦定理，得，即，整理得，解得，所以.故答案為：14.已知正四棱錐的底面邊長與高均為2，設是正方形及其內部的點構成的集合，點是正方形的中心，若集合，則直線與平面所成角的正切值的最小值為________．【答案】2【解析】如圖，在正方形內，分別是的中垂線在正方形內部分，由，則點在五邊形及其內部，同理，，，點在相應的五邊形及其內部，綜上，點在正方形及其內部，可設與平面所成角為，由圖可得：，因為，所以要讓最小，只需最大，由幾何關系可知點在正方形的頂點時，，此時取得最小值2.故答案為：2.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.近年來，兒童近視問題日益嚴重，已成為影響兒童健康重要問題之一，教育部提出了一系列措施，旨在通過學校、家庭和社會的共同努力，減少兒童近視的發生率．多項研究表明，每天增加戶外活動時間可以顯著降低兒童近視的發生率．為研究近視是否與戶外活動時長有關，某學校數學興趣小組采用簡單隨機抽樣的方法調查了六年級的100名學生，其中有55名同學的戶外活動時間超過2小時；100名同學中近視的學生有60人，這60人中每天戶外活動時間不足2小時的有35人．（1）根據所給數據，得到成對樣本數據的分類統計結果，完成以下列聯表，依據小概率值的獨立性檢驗，分析學生患近視與戶外活動時間長短是否有關．近視人數未近視人數合計戶外活動時間不足2小時35戶外活動時間超過2小時55合計60（2）用頻率估計概率，從已經近視的學生中采用隨機抽樣的方式選出1名學生，利用“物理十藥物”治療方案對該學生進行治療．已知“物理+藥物”治療方案的治愈數據如下：在已近視的學生中，對每天戶外活動時間超過2小時的學生的治愈率為，對每天戶外活動時間不足2小時治愈率為，求近視學生被治愈的概率．參考公式與數據：，其中．0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）列聯表如下：近視人數未近視人數合計戶外活動時間不足2小時351045戶外活動時間超過2小時253055合計6040100零假設為：學生患近視與戶外活動時間長短無關．根據列聯表中數據，經計算得到，根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為學生患近視與戶外活動時間長短有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005．（2）設事件“使用“物理+藥物”治療方案并且治愈”，事件“該近視同學每天戶外活動時間超過2小時”，“該近視同學每天戶外活動時間不足2小時”，則，，且，，則，所以該近視學生使用“物理+藥物”治療方案被治愈的概率為．16.記的內角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，，，邊上的中線，相交于點．（i）求；（ii）求．解：（1）由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，∴．∵∴，即．（2）（i）∵，∴．（ii）在中，由余弦定理得，即（法一）由題知是的重心，∴，∴，在中，由余弦定理得．（法二）又，∴．∴．17.已知函數，．（1）若，求曲線的斜率為1的切線方程；（2）若不等式沒有整數解，求實數的取值范圍．解：（1）當時，，則，即，令，則，令，得，令，得，所以，故有且僅有，，此時，所以曲線的斜率為1的切線方程為在處的切線方程，該切線方程為．（2）由得，即，所以沒有整數解，設，，設，，所以單調遞增，且，，所以存在唯一的，使，即，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，又，所以當時，，所以當時，沒有整數解，即沒有整數解．18.已知等差數列的前項和為，且，，．（1）求的通項公式；（2）設其中是正整數．（i）求，，，；（ii）求．解：（1）由題意得，解得，∴的通項公式為.（2）（i）∵其中是正整數，∴，，，.（ii）．．19.若一個四面體三組對棱分別相等，我們稱它為“等腰四面體”．已知在等腰四面體中，分別為所在棱的中點，如圖所示．（1）求證：平面；（2）若，，求二面角的大小；（3）在空間直角坐標系中，平面內有橢圓，直線與交于，兩點．為空間中一點，若四面體為等腰四面體，求其外接球表面積的最小值．（1）證明：連接，，，，因為，，所以，四邊形為平行四邊形，又，，所以，所以四邊形為菱形，所以，同理，四邊形為菱形，，又因為四邊形為菱形，，交于一點，所以平面．（2）解：如圖，將該三棱錐補全