2.7正多邊形與圓第2章圓情境引入問(wèn)題1

觀(guān)察下面多邊形，它們的邊、角有什么特點(diǎn)？它們的各邊都相等，各內(nèi)角也相等.各邊相等，各內(nèi)角也相等的多邊形叫做正多邊形.如果一個(gè)正多邊形有

n(n≥3)條邊，那么這個(gè)正多邊形叫做正

n邊形.概念學(xué)習(xí)正多邊形與圓的關(guān)系1.如圖①，矩形

ABCD是正四邊形嗎？(

)

2.如圖②，菱形ABCD是正四邊形嗎？(

)

圖①圖②(理由：AB

BC，CD

DA.)(理由：∠A

∠B，∠C

∠D.)××≠≠≠≠判一判正多邊形各邊相等各角相等缺一不可探究歸納·ABCDEO解：∴

AB=BC=CD=DE=EA.同理∠B=∠C=∠D=∠E.∴∠A=∠B.

∴五邊形

ABCDE是正五邊形.問(wèn)題2如圖，把

⊙O

分成相等的

5

段弧，即

，依次連接各等分點(diǎn)，所得五邊形

ABCDE

是正五邊形嗎？∵∴

弦相等

(多邊形的邊相等)

圓周角相等

(多邊形的角相等)

—所得的多邊形是正多邊形問(wèn)題3將圓

n(n≥3)等分，依次連接各等分點(diǎn)，所得到的多邊形是正多邊形嗎？弧相等—

將一個(gè)圓

n(n≥3)等分，依次連接各等分點(diǎn)所得到的多邊形叫作這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓，正

n邊形的各頂點(diǎn)

n等分其外接圓.歸納OCDA圓內(nèi)接正多邊形的有關(guān)概念及性質(zhì)OABCDEFGHRr正多邊形外接圓的圓心，稱(chēng)其為正多邊形的中心.外接圓的半徑叫作正多邊形的半徑.中心到正多邊形一邊的距離叫作正多邊形的邊心距.正多邊形每一條邊對(duì)應(yīng)所對(duì)的外接圓的圓心角都相等，叫作正多邊形的中心角.正多邊形邊數(shù)內(nèi)角中心角外角346n60°120°120°90°90°90°120°60°60°正多邊形的外角=中心角完成下面的表格：練一練想一想問(wèn)題4

正

n邊形的中心角怎么計(jì)算？CDOBEFAP問(wèn)題5

正

n邊形的邊長(zhǎng)

a，半徑

R，邊

心距

r之間有什么關(guān)系？aRr問(wèn)題6

邊長(zhǎng)

a，邊心距

r的正

n邊形的面積如何計(jì)算？其中

l為正

n邊形的周長(zhǎng).圓內(nèi)接正多邊形的有關(guān)計(jì)算例1

有一個(gè)亭子,它的地基是半徑為

4

m的正六邊形，求地基的面積(精確到

0.1m2).CDOEFAP抽象成典例精析B利用勾股定理，可得邊心距則亭子地基的面積4mOABCDEFMr解：過(guò)點(diǎn)

O作

OM⊥BC于

M.易得

△OBC為正三角形.∴BC=OB=

4，2.作邊心距，構(gòu)造直角三角形.1.連半徑，得中心角；OABCDEFRMr·圓內(nèi)接正多邊形的輔助線(xiàn)方法歸納O邊心距r邊長(zhǎng)一半半徑RCM中心角一半1.如圖，正方形

ABCD

是

⊙O

的內(nèi)接正方形，點(diǎn)

P是劣弧

CD

上不同于點(diǎn)

C

的任意一點(diǎn)，則

∠BPC

的度數(shù)是_______度．練一練45解：連接

AO，BO，CO，AC，∵正八邊形

ABCDEFGH

的半徑為

2，∴AO

=

BO

=

CO

=

2，∠AOB

=∠BOC

=，∴∠AOC

=90°，∴AC=

，此時(shí)

AC

與

BO

垂直，∴S四邊形

AOCB

=

∴正八邊形面積為：

．2.如圖，正八邊形

ABCDEFGH

的半徑為

2，它的面積

為_(kāi)_____．問(wèn)題7

如何作一個(gè)正多邊形呢？(提示：圓與多邊形的關(guān)系)只要將一個(gè)圓

n等分，就可以得到正

n邊形.問(wèn)題8

如何將圓

n等分呢？用量角器將圓心角

n等分，就可以將圓

n等分.正多邊形的畫(huà)法例2用量角器畫(huà)

⊙O的內(nèi)接正六邊形.

方法歸納

用量角器畫(huà)正

n邊形的一般方法：（1）作圓；（2）用量角器作

的中心角，得圓的

n

等分點(diǎn)；（3）依次連接各等分點(diǎn)，得圓的內(nèi)接正

n

邊形.分析：關(guān)鍵是用量角器畫(huà)60°的中心角.60o典例精析思考

還有其它的方法可以作出⊙O的內(nèi)接正六邊形嗎？例3已知

⊙O的半徑為

r，求作

⊙O的內(nèi)接正六邊形.分析：因?yàn)檎呅蚊織l邊所對(duì)的圓心角為

，所以正六邊形的邊長(zhǎng)與圓的半徑

.因此，在半徑為r

的圓上依次截取等于

的弦，即可將圓六等分.60°相等rABCDEF作法：(1)在

⊙O上以任意一點(diǎn)

A

為圓心、以

r為半徑畫(huà)弧，連續(xù)截取點(diǎn)

B、C、D、E、F；

(2)依次連接

AB、BC、CD、DE、EF、FA，則六邊形

ABCDEF即為所求.問(wèn)題9

正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形是否為軸對(duì)稱(chēng)圖形？如果是軸對(duì)稱(chēng)圖形，試畫(huà)它們所有的對(duì)稱(chēng)軸.正多邊形的對(duì)稱(chēng)性正三角形(奇數(shù)邊)正方形(偶數(shù)邊)正五邊形(奇數(shù)邊)正六邊形(奇數(shù)邊)討論與歸納1.正

n邊形

軸對(duì)稱(chēng)圖形，共有

條對(duì)稱(chēng)軸；2.n為奇數(shù)時(shí)，n條對(duì)稱(chēng)軸過(guò)中心與

；

(如上圖中藍(lán)色直線(xiàn))是n頂點(diǎn)正三角形(奇數(shù)邊)正方形(偶數(shù)邊)正五邊形(奇數(shù)邊)正六邊形(奇數(shù)邊)頂點(diǎn)中問(wèn)題10下列正多邊形中哪些是中心對(duì)稱(chēng)圖形？哪些是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形？問(wèn)題11如果是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，繞中心最少旋轉(zhuǎn)多少度所得圖形與原圖形重合？OOOO3.n為為偶數(shù)時(shí)，n條對(duì)稱(chēng)軸中：

條過(guò)中心與

；(如上圖中藍(lán)色直線(xiàn))條過(guò)中心與邊的

點(diǎn).(如上圖中紅色直線(xiàn))歸納總結(jié)

正

n邊形(n為偶數(shù))是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)中心就是這個(gè)正

n邊形的中心.正三角形正方形正五邊形正六邊形是否中心對(duì)稱(chēng)圖形是否旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形

繞中心旋轉(zhuǎn)最少角度數(shù)

×√×√√√√√120°90°72°60°2.若正多邊形的邊心距與半徑的比為1∶2，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是

.正多邊形邊數(shù)半徑邊長(zhǎng)邊心距周長(zhǎng)面積34161.

填表：21284221233.已知一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角均為108°，則它的中心角為_(kāi)_______度．724.下列說(shuō)法正確的是(

)A.各邊都相等的多邊形是正多邊形B.一個(gè)圓有且只有一個(gè)內(nèi)接正多邊形C.圓內(nèi)接正四邊形的邊長(zhǎng)等于半徑D.圓內(nèi)接正

n邊形的中心角度數(shù)為D6.要用圓形鐵片截出邊長(zhǎng)為

4cm的正方形鐵片，則選用的圓形鐵片的直徑最小為

cm.也就是要找這