教學設計

課程基本信息

課例編號2020QJ10SXRA005學科數學年級高一學期第一學期

課題充分條件與必要條件（1）

名：普通高中教科書數學必修第一冊A版

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學人員

姓名單位

授課教師李紅北京市第二十二中學

指導教師李穎北京市東城區教師研修中心

教學目標

教學目標：

1.初步理解充分條件、必要條件的含義；

2.通過對初中定理的再認識，理解充分條件與判定定理、必要條件與性質定理之間的關系；

3.體會常用邏輯用語在表達數學內容中的作用，逐步提升邏輯推理的素養.

教學重點：理解充分條件、必要條件的含義

教學難點：理解必要條件及充分條件與判定定理、必要條件與性質定理的關系

教學過程

時間教學環節主要師生活動

一．教師與學生一起回顧初中階段所學的與命題相關的知識

1.命題：初中階段稱判斷一件事情的句子為命題.

數學中的命題是用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句.

2.真命題與假命題：判斷為真的語句是真命題，判斷為假的語句是假命題；

3.數學命題的一般形式：“若p，則q”的形式是數學命題的一般形式.其中稱p為命

題的條件，q稱為命題的結論.

二．提出問題：下列“若p，則q”形式的命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？

（1）若平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形；

（2）若兩個三角形周長相等，則這兩個三角形全等；

（3）若x24x30，則x1；

（4）若平面內兩條直線a和b均垂直于直線l，則a//b.

7分鐘復習引入

教師引導學生回顧中學相關知識，進行如下分析：

（1）由菱形的判定定理可知命題（1）是真命題.

追問：對角線互相垂直的平行四邊形是否一定是菱形？結論是肯定的；即平行四

邊形的對角線只要滿足互相垂直的條件，則這個平行四邊形一定是菱形；

（2）舉一個反例：如果有兩個三角形，第一個三角形三邊分別為3，4，5，周長為

12；第二個三角形為等邊三角形，邊長為4，周長也為12，這兩個三角形顯然

不全等，命題（2）是假命題；

說明：兩個三角形周長相等并不一定能推出這兩個三角形全等的結論；

（3）解方程x24x30，得x1或x3，即若x24x30，則一定有x1

或x3的結論，所以命題（3）是假命題；

（4）由垂直定義可知直線a和b與直線l夾角都是90，由同位角相等、內錯角相等或

者同旁內角互補一定可以證明a//b，所以命題（4）是真命題.

1

學生運用自己所學的知識分析，判斷.

一．定義概念：

一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q，稱由p可以推

出q，記作pq，且稱p是q的充分條件，q是p的必要條件.

“若p，則q”為假命題，是指由p不能通過推理得出q，稱p不是q的充分條

件，q不是p的必要條件.

二．理解概念

1.教師引導學生結合具體問題理解概念的含義；

結合上面的思考題，命題（1）（4）是真命題.

命題（1）條件“平行四邊形的對角線互相垂直”是結論“這個平行四邊形是菱形”的

充分條件，結論“這個平行四邊形是菱形”是條件“平行四邊形的對角線互相垂直”

的必要條件；

命題（4）條件“平面內兩條直線a和b均垂直于直線l”是結論“a//b”的充分條件，

結論“a//b”是條件“平面內兩條直線a和b均垂直于直線l”的必要條件；

定義概念

3分鐘2.關于“必要條件”的理解

理解概念

當“若p，則q”形式的命題是真命題時，稱p是q的充分條件，這點學生易于

理解；但“q是p的必要條件”這點學生可能會產生困惑，“為什么命題的結論又成為

條件了呢？”對此問題做如下分析：

p和q是兩個語句，對于“若p，則q”形式的命題，無論其是真命題還是假命

題，都稱p為命題的條件，q為命題的結論.

當該命題為真命題時，即由p能推出q，也就是若p成立，起碼q成立；如果q不

成立，那么p也就不成立了，即q成立是p成立的必不可少的條件，稱q是p的必要

條件，它刻畫了p和q之間的邏輯關系.

3對“充分”“必要”的進一步理解

學生結合具體命題，理解充分條件和必要條件的含義.

說明：日常生活中“肯定”“足以”等也用于表達“充分”的含義；“至少”“起碼”等

用于表達“必要”的含義.

例1下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？

（1）若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；

（2）若兩個三角形的三邊成比例，則這兩個三角形相似；

（3）若四邊形為菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；

（4）若x21，則x1；

（5）若ab，則acbc；

（6）若x,y都為無理數，則xy為無理數；

13分

舉例分析教師引導學生分析、判斷：

鐘

（1）由平行四邊形的判定定理可知，四邊形滿足“兩組對角分別相等”的條件就一

定是平行四邊形，所以“四邊形的兩組對角分別相等”是“這個四邊形是平行

四邊形”的充分條件；當然判定一個四邊形是平行四邊形還可以通過其他方式，

例如兩組對邊分別相等，即“四邊形是平行四邊形”的充分條件不唯一；

（2）由三角形相似的判定定理可知，三邊成比例的兩個三角形一定是相似三角形，

所以“兩個三角形的三邊成比例”是“這兩個三角形相似”的充分條件，兩個

三角形相似也可以通過其他形式判定，即“兩個三角形相似”的充分條件也不

唯一；

2

（3）由菱形的性質定理可知，菱形的對角線一定互相垂直，所以“四邊形為菱形”

是“這個四邊形的對角線互相垂直”的充分條件；但“四邊形的對角線互相垂

直”的充分條件并不唯一；

（4）若x21，解得x1，即由x21一定有x1，而不是x1，因此“x21”

不是x1的充分條件；

（5）由等式的性質若ab一定有acbc，所以“ab”是“acbc”的充分條

件；但對于任意實數a,b，且ab，若c0，則acbc，可見“acbc”的充分

條件也是不唯一的.

（6）可以舉一個反例：若xy2，x,y都為無理數，xy2，x,y的乘積不是

無理數，即由“x,y為無理數”推不出“xy為無理數”，因此“x,y為無理數”不是

“xy為無理數”的充分條件.

學生在教師的引導下，獨立思考，同伴交流，通過具體問題理解充分條件的含義.

反思小結：“若p，則q”形式的命題是真命題，命題中的p是q的充分條件，但q的

充分條件不一定是惟一的.

例2下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？

（1）若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分別相等；

（2）若兩個三角形相似，則這兩個三角形的三邊成比例；

（3）若四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形為菱形；

（4）若x1，則x21；

（5）若acbc，則ab；

（6）若xy為無理數，則x,y都為無理數.

教師引導學生基于例1的分析，思考例2.

（1）由平行四邊形的性質定理可知，平行四邊形兩組對角一定分別相等，所以“四邊

形的兩組對角分別相等”是“這個四邊形是平行四邊形”的必要條件，兩組對角如果

不滿足分別相等的條件，則這個四邊形一定不是平行四邊形；同時，“四邊形是平行四

邊形”的必要條件并不唯一，例如“四邊形是平行四邊形”的必要條件也可以是“兩

組對邊分別相等”或“兩條對角線互相平分”等等；

（2）由三角形相似的性質定理可知，兩個相似三角形一定是三邊成比例，所以“兩個

三角形的三邊成比例”是“這兩個三角形相似”的必要條件，如果兩個三角形三邊不

成比例，則這兩個三角形不相似；同樣，“兩個三角形相似”的必要條件也不唯一，“對

應角相等”也可以是“兩個相似三角形”的必要條件；

（3）由菱形的判斷定理可知，對角線互相垂直的平行四邊形一定是菱形，而對角線互

相垂直的四邊形，如圖所示不是菱形，所以“四邊形為菱形”不是“這個四邊形的對

角線互相垂直”的必要條件；

3

（4）由x1一定有x21，因此“x21”是“x1”的必要條件；“x31”也是

“x1”的必要條件；

（5）由等式的性質，若acbc即cab0不一定有ab，所以“ab”不是

“acbc”的必要條件；

（6）可以舉一個反例：若xy2，即x,y的乘積是無理數，x,y的取值可以是

x1，y2即x,y不都為無理數，即由“xy為無理數”推不出“x,y都為無理數”，

因此“x,y都為無理數”不是“xy為無理數”的必要條件.

反思小結：“若p，則q”形式的命題是真命題，命題中的q是p的必要條件，但p的

必要條件不一定是惟一的.

教師引導學生比較例1與例2，進一步理解充分條件和必要條件的含義，體會性質定理

與必要條件、判定定理與充分條件的關系，具體說明：

1.命題“若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形”是平行四邊形

的判定定理，其中“四邊形的兩組對角分別相等”是判定一個四邊形是平行四邊形

的充分條件，由此體會判定定理與充分條件之間的關系；

2.命題“若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分別相等”是平行四邊形

的性質定理，其中“兩組對角分別相等”是平行四邊形的性質之一，是一個四邊

形是平行四邊形的必要條件，由此體會性質定理與必要條件之間的關系；

象這樣的例子還有很多，學生可再通過具體的例子不斷體會加深理解.

:練習1：命題“對頂角相等”寫成“若p，則q”的形式為“若兩個角是對頂角，則

這兩個角相等”這是對頂角的性質定理，“兩個角相等”是刻畫兩個角是對頂角的必須

滿足的屬性，如果不滿足這個屬性，這兩個角就不是對頂角，“兩個角相等”是“兩個

角是對頂角”的必要條件；

但是“若兩個角相等，則這兩個角是對頂角”是假命題，“兩個角相等”不足以推

3分鐘鞏固提升出“這兩個角是對頂角”的結論，“兩個角相等”不是“這兩個角是對頂角”的充分條

件.

練習2：“若平行四邊形對角線相等，則這個平行四邊形是矩形”這是矩形的判定定理，