專題24銳角三角函數及其應用（56題）一、單選題1．（2024·云南·中考真題）在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上兩點，且，連接與相交于點，連接．若，，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2024·四川雅安·中考真題）在數學課外實踐活動中，某小組測量一棟樓房的高度（如圖），他們在A處仰望樓頂，測得仰角為，再往樓的方向前進50米至B處，測得仰角為，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計）（

）A．米 B．25米 C．米 D．50米4．（2024·四川資陽·中考真題）第屆國際數學教育大會（）會標如圖所示，會標中心的圖案來源于我國古代數學家趙爽的“弦圖”，如圖所示的“弦圖”是由四個全等的直角三角形（，，，）和一個小正方形拼成的大正方形．若，則（

）A． B． C． D．5．（2024·四川達州·中考真題）如圖，由8個全等的菱形組成的網格中，每個小菱形的邊長均為2，，其中點，，都在格點上，則的值為（

）A．2 B． C． D．36．（2024·四川南充·中考真題）如圖，在中，，平分交于點D，點E為邊上一點，則線段長度的最小值為（

）A． B． C．2 D．37．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在菱形中，，是的中點，則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題8．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，矩形的對角線與交于點，于點，延長與交于點．若，，則點到的距離為．9．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，把矩形紙片沿對角線折疊，使點C落在點E處，與交于點F，若，，則的值是．10．（2024·四川資陽·中考真題）在中，，．若是銳角三角形，則邊長的取值范圍是．11．（2024·福建·中考真題）無動力帆船是借助風力前行的．下圖是帆船借助風力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，風對帆的作用力為．根據物理知識，可以分解為兩個力與，其中與帆平行的力不起作用，與帆垂直的力儀可以分解為兩個力與與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動力．在物理學上常用線段的長度表示力的大小，據此，建立數學模型：，則．（單位：）（參考數據：）12．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹，當太陽光與水平面的夾角為時，大樹在斜坡上的影子長為10米，則大樹的高為米．13．（2024·湖南·中考真題）如圖，左圖為《天工開物》記載的用于春（chōng）搗谷物的工具——“碓（duì）”的結構簡圖，右圖為其平面示意圖，已知于點B，與水平線l相交于點O，．若分米，分米．，則點C到水平線l的距離為分米（結果用含根號的式子表示）．14．（2024·江西·中考真題）將圖所示的七巧板，拼成圖所示的四邊形，連接，則．15．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標系中，等邊三角形ABC的頂點的坐標為，點均在軸上．將繞頂點逆時針旋轉得到，則點的坐標為．三、解答題16．（2024·黑龍江大慶·中考真題）求值：．17．（2024·湖北·中考真題）小明為了測量樹的高度，經過實地測量，得到兩個解決方案：方案一：如圖（1），測得地與樹相距10米，眼睛處觀測樹的頂端的仰角為：方案二：如圖（2），測得地與樹相距10米，在處放一面鏡子，后退2米到達點，眼睛在鏡子中恰好看到樹的頂端．已知小明身高1.6米，試選擇一個方案求出樹的高度．（結果保留整數，）18．（2024·山東泰安·中考真題）（1）計算：；（2）化簡：．19．（2024·遼寧·中考真題）如圖1，在水平地面上，一輛小車用一根繞過定滑輪的繩子將物體豎直向上提起．起始位置示意圖如圖2，此時測得點到所在直線的距離，；停止位置示意圖如圖3，此時測得（點，，在同一直線上，且直線與平面平行，圖3中所有點在同一平面內．定滑輪半徑忽略不計，運動過程中繩子總長不變．（參考數據：，，，）(1)求的長；(2)求物體上升的高度（結果精確到）．20．（2024·四川內江·中考真題）（1）計算：（2）化簡：21．（2024·湖南·中考真題）計算：．22．（2024·四川廣安·中考真題）計算：．23．（2024·江蘇鹽城·中考真題）計算：24．（2024·四川遂寧·中考真題）小明的書桌上有一個型臺燈，燈柱高，他發現當燈帶與水平線夾角為時（圖1），燈帶的直射寬為，但此時燈的直射寬度不夠，當他把燈帶調整到與水平線夾角為時（圖2），直射寬度剛好合適，求此時臺燈最高點到桌面的距離．（結果保留1位小數）（）25．（2024·四川瀘州·中考真題）計算：．26．（2024·四川自貢·中考真題）計算：27．（2024·重慶·中考真題）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從港出發，分別向，兩港運送物資，最后到達港正東方向的港裝運新的物資．甲貨輪沿港的東南方向航行海里后到達港，再沿北偏東方向航行一定距離到達港．乙貨輪沿港的北偏東方向航行一定距離到達港，再沿南偏東方向航行一定距離到達港．（參考數據：，，）(1)求，兩港之間的距離（結果保留小數點后一位）；(2)若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（停靠、兩港的時間相同），哪艘貨輪先到達港？請通過計算說明．28．（2024·重慶·中考真題）如圖，，，，分別是某公園四個景點，在的正東方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏東方向，且在的北偏西方向，千米．（參考數據：，，）

(1)求的長度（結果精確到千米）；(2)甲、乙兩人從景點出發去景點，甲選擇的路線為：，乙選擇的路線為：．請計算說明誰選擇的路線較近？29．（2024·四川遂寧·中考真題）計算：．30．（2024·四川巴中·中考真題）某興趣小組開展了測量電線塔高度的實踐活動．如圖所示，斜坡的坡度，，在處測得電線塔頂部的仰角為，在處測得電線塔頂部的仰角為．(1)求點離水平地面的高度．(2)求電線塔的高度（結果保留根號）．31．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）（）計算：；（）已知，求代數式的值．32．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，是一座南北走向的大橋，一輛汽車在筆直的公路上由北向南行駛，在處測得橋頭在南偏東方向上，繼續行駛米后到達處，測得橋頭在南偏東方向上，橋頭在南偏東方向上，求大橋的長度．（結果精確到米，參考數據：）33．（2024·四川巴中·中考真題）（1）計算：（2）求不等式組的解集．（3）先化簡，再求值：，其中34．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，學校數學興趣小組開展“實地測量教學樓的高度”的實踐活動．教學樓周圍是開闊平整的地面，可供使用的測量工具有皮尺、測角儀（皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離；測角儀的功能是測量角的大小）．(1)請你設計測量教學樓的高度的方案，方案包括畫出測量平面圖，把應測數據標記在所畫的圖形上（測出的距離用等表示，測出的角用等表示），并對設計進行說明；(2)根據你測量的數據，計算教學樓的高度（用字母表示）．35．（2024·四川資陽·中考真題）如圖，某海域有兩燈塔A，B，其中燈塔B在燈塔A的南偏東方向，且A，B相距海里．一漁船在C處捕魚，測得C處在燈塔A的北偏東方向、燈塔B的正北方向．

(1)求B，C兩處的距離；(2)該漁船從C處沿北偏東方向航行一段時間后，突發故障滯留于D處，并發出求救信號．此時，在燈塔B處的漁政船測得D處在北偏東方向，便立即以18海里/小時的速度沿方向航行至D處救援，求漁政船的航行時間．（注：點A，B，C，D在同一水平面內；參考數據：，）36．（2024·云南·中考真題）計算：．37．（2024·甘肅蘭州·中考真題）單擺是一種能夠產生往復擺動的裝置，某興趣小組利用擺球和擺線進行與單擺相關的實驗探究，并撰寫實驗報告如下．實驗主題探究擺球運動過程中高度的變化實驗用具擺球，擺線，支架，攝像機等實驗說明如圖1，在支架的橫桿點O處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往復運動．（擺線的長度變化忽略不計）如圖2，擺球靜止時的位置為點A，拉緊擺線將擺球拉至點B處，，，；當擺球運動至點C時，，．（點O，A，B，C，D，E在同一平面內）實驗圖示解決問題：根據以上信息，求的長．（結果精確到）參考數據：，．38．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在中，對角線，相交于點O，．(1)求證：；(2)點E在邊上，滿足．若，，求的長及的值．39．（2024·陜西·中考真題）如圖所示，一座小山頂的水平觀景臺的海拔高度為，小明想利用這個觀景臺測量對面山頂C點處的海拔高度，他在該觀景臺上選定了一點A，在點A處測得C點的仰角，再在上選一點B，在點B處測得C點的仰角，．求山頂C點處的海拔高度．（小明身高忽略不計，參考數據：，，）

40．（2024·江蘇揚州·中考真題）（1）計算：；（2）化簡：．41．（2024·四川眉山·中考真題）計算：．42．（2024·江蘇蘇州·中考真題）圖①是某種可調節支撐架，為水平固定桿，豎直固定桿，活動桿可繞點A旋轉，為液壓可伸縮支撐桿，已知，，．(1)如圖②，當活動桿處于水平狀態時，求可伸縮支撐桿的長度（結果保留根號）；(2)如圖③，當活動桿繞點A由水平狀態按逆時針方向旋轉角度，且（為銳角），求此時可伸縮支撐桿的長度（結果保留根號）．43．（2024·山東威海·中考真題）某校九年級學生開展利用三角函數解決實際問題的綜合與實踐活動，活動之一是測量某護堤石壩與地平面的傾斜角．測量報告如下表（尚不完整）課題測量某護堤石壩與地平面的傾斜角成員組長：×××

組員：×××，×××，×××測量工具竹竿，米尺測量示意圖說明：是一根筆直的竹竿．點是竹竿上一點．線段的長度是點到地面的距離．是要測量的傾斜角．測量數據…………(1)設，，，，，，，，請根據表中的測量示意圖，從以上線段中選出你認為需要測量的數據，把表示數據的小寫字母填寫在“測量數據”一欄．(2)根據（）中選擇的數據，寫出求的一種三角函數值的推導過程．(3)假設，，，根據（）中的推導結果，利用計算器求出的度數，你選擇的按鍵順序為________．44．（2024·山東濰坊·中考真題）在光伏發電系統運行時，太陽能板（如圖1）與水平地面的夾角會對太陽輻射的接收產生直接影響．某地區工作人員對日平均太陽輻射量（單位：）和太陽能板與水平地面的夾角進行統計，繪制了如圖2所示的散點圖，已知該散點圖可用二次函數刻畫．(1)求關于的函數表達式；(2)該地區太陽能板與水平地面的夾角為多少度時，日平均太陽輻射量最大？(3)圖3是該地區太陽能板安裝后的示意圖（此時，太陽能板與水平地面的夾角使得日平均太陽輻射量最大），為太陽能板與水平地面的夾角，為支撐桿．已知，是的中點，．在延長線上選取一點，在兩點間選取一點，測得，在兩點處分別用測角儀測得太陽能板頂端的仰角為，，該測角儀支架的高為1m．求支撐桿的長．（精確到m，參考數據：，）45．（2024·四川涼山·中考真題）計算：．46．（2024·四川涼山·中考真題）為建設全域旅游西昌，加快旅游產業發展．年月日位于西昌主城區東部的歷史風貌核心區唐園正式開園，坐落于唐園內的懷遠塔乃唐園至高點，為七層密檐式八角磚混結構閣樓式塔樓，建筑面積為平方米，塔頂金碧輝煌，為“火珠垂蓮”窣（）堵坡造型．某校為了讓學生進一步了解懷遠塔，組織九年級（）班學生利用綜合實踐課測量懷遠塔的高度．小江同學站在如圖所示的懷遠塔前的平地上點處，測得塔頂的仰角為，眼睛距離地面，向塔前行，到達點處，測得塔頂的仰角為，求塔高．（參考數據：，結果精確到）

47．（2024·江西·中考真題）圖1是世界第一“大碗”——景德鎮昌南里文化藝術中心主體建筑，其造型靈感來自于宋代湖田窯影青斗笠碗，寓意“萬瓷之母”，如圖2，“大碗”的主視圖由“大碗”主體和矩形碗底組成，已知，，是太陽光線，，，點M，E，F，N在同一條直線上，經測量，，，．（結果精確到）(1)求“大碗”的口徑的長；(2)求“大碗”的高度的長．（參考數據：，，）48．（2024·江蘇連云港·中考真題）圖1是古代數學家楊輝在《詳解九章算法》中對“邑的計算”的相關研究．數學興趣小組也類比進行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂城的邊長為，南門設立在邊的正中央，游樂城南側有一條東西走向的道路，在上（門寬及門與道路間距離忽略不計），東側有一條南北走向的道路，C處有一座雕塑．在處測得雕塑在北偏東方向上，在處測得雕塑在北偏東方向上．(1)__________，__________；(2)求點到道路的距離；(3)若該小組成員小李出南門O后沿道路向東行走，求她離處不超過多少千米，才能確保觀察雕塑不會受到游樂城的影響？（結果精確到，參考數據：，，，，）49．（2024·山東煙臺·中考真題）根據收集的素材，探索完成任務．探究太陽能熱水器的安裝素材一太陽能熱水器是利用綠色能源造福人類的一項發明．某品牌熱水器主要部件太陽能板需要安裝在每天都可以有太陽光照射到的地方，才能保證使用效果，否則不予安裝．素材二某市位于北半球，太陽光線與水平線的夾角為α，冬至日時，；夏至日時，．，，，，，，，，素材三如圖，該市甲樓位于乙樓正南方向，兩樓東西兩側都無法獲得太陽光照射．現準備在乙樓南面墻上安裝該品牌太陽能板．已知兩樓間距為54米，甲樓共11層，乙樓共15層，一層從地面起，每層樓高皆為3.3米，為某時刻的太陽光線．問題解決任務一確定使用數據要判斷乙樓哪些樓層不能安裝該品牌太陽能板，應選擇________日（填冬至或夏至）時，α為________（填，，，中的一個）進行計算．任務二探究安裝范圍利用任務一中選擇的數據進行計算，確定乙樓中哪些樓層不能安裝該品牌太陽能熱水器．50．（2024·四川成都·中考真題）中國古代運用“土圭之法”判別四季．夏至時日影最短，冬至時日影最長，春分和秋分時日影長度等于夏至和冬至日影長度的平均數．某地學生運用此法進行實踐探索，如圖，在示意圖中，產生日影的桿子垂直于地面，長8尺．在夏至時，桿子在太陽光線照射下產生的日影為；在冬至時，桿子在太陽光線照射下產生的日影為．已知，，求春分和秋分時日影長度．（結果精確到0.1尺；參考數據：，，，，，）

51．（2024·四川廣安·中考真題）風電項目對于調整能源結構和轉變經濟發展方式具有重要意義．某電力部門在某地安裝了一批風力發電機，如圖（1）某校實踐活動小組對其中一架風力發電機的塔桿高度進行了測量，圖（2）為測量示意圖（點，，，均在同一平面內，）．已知斜坡長為20米，斜坡的坡角為，在斜坡頂部處測得風力發電機塔桿頂端點的仰角為，坡底與塔桿底的距離米，求該風力發電機塔桿的高度．（結果精確到個位；參考數據：，，，）

52．（2024·四川達州·中考真題）“三匯彩婷會”是達州市渠縣三匯鎮獨有的傳統民俗文化活動、起源于漢代、融數學，力學，鍛造，綁扎，運載于一體，如圖1，在一次展演活動中，某數學綜合與實踐小組將彩婷抽象成如圖2的示意圖，是彩婷的中軸、甲同學站在處．借助測角儀觀察，發現中軸上的點的仰角是，他與彩婷中軸的距離米．乙同學在觀測點處借助無人機技術進行測量，測得平行于水平線，中軸上的點的仰角，點、之間的距離是米，已知彩婷的中軸米，甲同學的眼睛到地面的距離米，請根據以上數據，求中軸上的長度．（結果精確到米，參考數據，）

53．（2024·四川宜賓·中考真題）（1）計算：；（2）計算：．54．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，海中有一個小島C，某漁船在海中的A點測得小島C位于東北方向上，該漁船由西向東航行一段時間后到達B點，測得小島C位于北偏西方向上，再沿北偏東方向繼續航行一段時間后到達D點，這時測得小島C位于北偏西方向上．已知A，C相距30nmile．求C，D間的距離（計算過程中的數據不取近似值）．55．（2024·四川宜賓·中考真題）宜賓地標廣場位于三江匯合口（如圖1，左側是岷江，右側是金沙江，正面是長江）．某同學在數學實踐中測量長江口的寬度，他在長江口的兩岸選擇兩個標點C、D，在地標廣場上選擇兩個觀測點A、B（點A、B、C、D在同一水平面，且）．如圖2所示，在點A處測得點C在北偏西方向上，測得點D在北偏東方向上；在B處測得點C在北偏西方向上，測得點D在北偏東方向上，測得米．求長江口的寬度的值（結果精確到1米）．（參考數據：，，，，，）56．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸的正半軸交于點A，與y軸的負半軸交于點D，點B在x軸的正半軸上，四邊形是平行四邊形，線段的長是一元二次方程的一個根．請解答下列問題：(1)求點D的坐標；(2)若線段的垂直平分線交直線于點E，交x軸于點F，交于點G，點E在第一象限，，連接，求的值；(3)在（2）的條件下，點M在直線上，在x軸上是否存在點N，使以E、M、N為頂點的三角形是直角邊比為1∶2的直角三角形？若存在，請直接寫出的個數和其中兩個點N的坐標；若不存在，請說明理由．專題24銳角三角函數及其應用（56題）一、單選題1．（2024·云南·中考真題）在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據三角函數的定義求解即可．【詳解】解：∵在中，，，，∴，故選：B．【點睛】本題考查了正切的定義，解題關鍵是理解三角函數的定義．2．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上兩點，且，連接與相交于點，連接．若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查矩形的性質，相似三角形的判定和性質，求角的正弦值：過點作，證明，得到，再證明，分別求出的長，進而求出的長，勾股定理求出的長，再利用正弦的定義，求解即可．【詳解】解：∵矩形，，，，∴，，∴，，∴，∴過點作，則：，∴，∴，∴，，∴，∴，∴；故選A．3．（2024·四川雅安·中考真題）在數學課外實踐活動中，某小組測量一棟樓房的高度（如圖），他們在A處仰望樓頂，測得仰角為，再往樓的方向前進50米至B處，測得仰角為，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計）（

）A．米 B．25米 C．米 D．50米【答案】A【分析】此題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，要求學生能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形．設米，在中，利用銳角三角函數定義表示出，在中，利用銳角三角函數定義表示出，再由列出關于的方程，求出方程的解得到的值即可．【詳解】解：設米，在中，，，即，整理得：米，在中，，，即，整理得：米，∵米，∴，即，解得：，側這棟樓的高度為米．故選：A．4．（2024·四川資陽·中考真題）第屆國際數學教育大會（）會標如圖所示，會標中心的圖案來源于我國古代數學家趙爽的“弦圖”，如圖所示的“弦圖”是由四個全等的直角三角形（，，，）和一個小正方形拼成的大正方形．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，則，根據全等三角形，正方形的性質可得，再根據勾股定理可得，即可求出的值．【詳解】解：根據題意，設，則，∵，四邊形為正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，故選：．【點睛】本題考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性質，三角函數值的知識，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．5．（2024·四川達州·中考真題）如圖，由8個全等的菱形組成的網格中，每個小菱形的邊長均為2，，其中點，，都在格點上，則的值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【分析】本題考查了菱形的性質，解直角三角形，延長交格點于點，連接，分別在格點上，根據菱形的性質，進而得出，解直角三角形求得的長，根據對頂角相等，進而根據正切的定義，即可求解．【詳解】解：如圖所示，延長交格點于點，連接，分別在格點上，依題意，，∴∴又，∴∴故選：B．6．（2024·四川南充·中考真題）如圖，在中，，平分交于點D，點E為邊上一點，則線段長度的最小值為（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】本題主要考查解直角三角形和角平分線的性質，垂線段最短，根據題意求得和，結合角平分線的性質得到和，當時，線段長度的最小，結合角平線的性質可得即可．【詳解】解：∵，∴，在中，，解得，∵平分，∴，∴，解得，當時，線段長度的最小，∵平分，∴．故選∶C．7．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在菱形中，，是的中點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了解直角三角形，菱形的性質，解題的關鍵是掌握菱形四邊都相等，以及正確畫出輔助線，構造直角三角形求解．延長，過點E作延長線的垂線，垂足為點H，設，易得，則，進而得出，再得出，最后根據，即可解答．【詳解】解：延長，過點E作延長線的垂線，垂足為點H，∵四邊形是菱形，∴，，∴，設，∵是的中點，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．二、填空題8．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，矩形的對角線與交于點，于點，延長與交于點．若，，則點到的距離為．【答案】【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，解直角三角形的相關知識，過點F作，垂足為H，利用勾股定理求出的長，利用角的余弦值求出的長，再利用勾股定理求出，從而得出，利用三角形面積求出即可．【詳解】解：如圖，過點F作，垂足為H，四邊形為矩形，，，，，，，即，解得：，，即，解得：，，，，即，解得：，故答案為：．9．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，把矩形紙片沿對角線折疊，使點C落在點E處，與交于點F，若，，則的值是．【答案】【分析】本題主要考查矩形的性質、折疊的性質、勾股定理等知識，熟練掌握相關知識點是解題關鍵．折疊問題優先考慮利用勾股定理列方程，證，再利用求出邊長，從而求解即可．【詳解】解：∵折疊，，∵四邊形是矩形，，，，，，在中，，，解得，，故答案為：．10．（2024·四川資陽·中考真題）在中，，．若是銳角三角形，則邊長的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了銳角三角函數，解題的關鍵是正確作出輔助線．作的高，，根據題意可得，，在中，根據三角函數可得，即，再根據，即可求解．【詳解】解：如圖，作的高，，是銳角三角形，，在的內部，，，在中，，，，，又，，故答案為：．11．（2024·福建·中考真題）無動力帆船是借助風力前行的．下圖是帆船借助風力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，風對帆的作用力為．根據物理知識，可以分解為兩個力與，其中與帆平行的力不起作用，與帆垂直的力儀可以分解為兩個力與與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動力．在物理學上常用線段的長度表示力的大小，據此，建立數學模型：，則．（單位：）（參考數據：）【答案】128【分析】此題考查了解直角三角形的應用，求出，，由得到，求出，求出在中，根據即可求出答案．【詳解】解：如圖，∵帆船航行方向與風向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，∴，，∵，∴，在中，，，∴，由題意可知，，∴，∴在中，，∴，故答案為：12．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹，當太陽光與水平面的夾角為時，大樹在斜坡上的影子長為10米，則大樹的高為米．【答案】/【分析】此題考查了解直角三角形的應用，勾股定理，解題的關鍵是正確構造直角三角形．如圖，過點作水平地面的平行線，交的延長線于點，設米，米，勾股定理求出，解直角三角形求出，進而求解即可．【詳解】解：如圖，過點作水平地面的平行線，交的延長線于點，則，在中，，設米，米，，，米，米，，（米），（米），答：大樹的高度為米．故答案為：．13．（2024·湖南·中考真題）如圖，左圖為《天工開物》記載的用于春（chōng）搗谷物的工具——“碓（duì）”的結構簡圖，右圖為其平面示意圖，已知于點B，與水平線l相交于點O，．若分米，分米．，則點C到水平線l的距離為分米（結果用含根號的式子表示）．【答案】/【分析】題目主要考查解三角形及利用三角形等面積法求解，延長交l于點H，連接，根據題意及解三角形確定，，再由等面積法即可求解，作出輔助線是解題關鍵．【詳解】解：延長交l于點H，連接，如圖所示：在中，，，即，解得：．故答案為：．14．（2024·江西·中考真題）將圖所示的七巧板，拼成圖所示的四邊形，連接，則．【答案】/【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質，正方形的性質，勾股定理，三角函數，如圖，設等腰直角的直角邊為，利用圖形的位置關系求出大正方形的邊長和大等腰直角三角形的直角邊長，進而根據正切的定義即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性質是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，設等腰直角的直角邊為，則，小正方形的邊長為，∴，∴，∴，∴，如圖，過點作的延長線于點，則，，由圖（）可得，，，∴，，∴，∴，故答案為：．15．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標系中，等邊三角形ABC的頂點的坐標為，點均在軸上．將繞頂點逆時針旋轉得到，則點的坐標為．【答案】【分析】本題主要考查旋轉的性質，三角函數的計算，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．作，求出，的值即可得到答案．【詳解】解：作，交y軸于點F，由題可得：，是等邊三角形，，∴是的角平分線，，，在中，，即，解得，，，，，故答案為：．三、解答題16．（2024·黑龍江大慶·中考真題）求值：．【答案】1【分析】本題主要考查了實數運算．直接利用特殊角的三角函數值以及零指數冪的性質、絕對值的性質分別化簡即可得出答案．【詳解】解：．17．（2024·湖北·中考真題）小明為了測量樹的高度，經過實地測量，得到兩個解決方案：方案一：如圖（1），測得地與樹相距10米，眼睛處觀測樹的頂端的仰角為：方案二：如圖（2），測得地與樹相距10米，在處放一面鏡子，后退2米到達點，眼睛在鏡子中恰好看到樹的頂端．已知小明身高1.6米，試選擇一個方案求出樹的高度．（結果保留整數，）【答案】樹的高度為8米【分析】本題考查了相似三角形的實際應用題，解直角三角形的實際應用題．方案一：作，在中，解直角三角形即可求解；方案二：由光的反射規律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可．【詳解】解：方案一：作，垂足為，則四邊形是矩形，∴米，在中，，∴（米），樹的高度為米．方案二：根據題意可得，∵，∴∴，即解得：米，答：樹的高度為8米．18．（2024·山東泰安·中考真題）（1）計算：；（2）化簡：．【答案】（1）7；（2）【分析】本題考查了實數的運算和分式的化簡，實數運算涉及特殊角的三角函數，負指數冪，二次根式和絕對值，熟練掌握相關的法則是解題的關鍵．（1）利用特殊角的三角函數，負指數冪，二次根式和絕對值進行實數的運算；（2）利用分式的運算法則化簡即可．【詳解】解：（1）；；（2）．19．（2024·遼寧·中考真題）如圖1，在水平地面上，一輛小車用一根繞過定滑輪的繩子將物體豎直向上提起．起始位置示意圖如圖2，此時測得點到所在直線的距離，；停止位置示意圖如圖3，此時測得（點，，在同一直線上，且直線與平面平行，圖3中所有點在同一平面內．定滑輪半徑忽略不計，運動過程中繩子總長不變．（參考數據：，，，）(1)求的長；(2)求物體上升的高度（結果精確到）．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形的應用，勾股定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵．（1）解即可求解；（2）在中，由勾股定理得，，解求得，由題意得，，故，則．【詳解】（1）解：由題意得，，∵，，∴在中，由，得：，∴,答：；（2）解：在中，由勾股定理得，，在中，，∴，∴，由題意得，，∴，∴，答：物體上升的高度約為．20．（2024·四川內江·中考真題）（1）計算：（2）化簡：【答案】（1）1；（2）【分析】本題主要考查了實數的混合運算以及整式的運算．（1）先計算絕對值，零次冪和特殊角的三角函數，再計算加減即可．（2）先計算平方差公式，再合并同類項即可．【詳解】解∶（1）原式，（2）原式21．（2024·湖南·中考真題）計算：．【答案】【分析】題目主要考查實數的混合運算，特殊角的三角函數、零次冪的運算等，先化簡絕對值、零次冪及特殊角的三角函數、算術平方根，然后計算加減法即可，熟練掌握各個運算法則是解題關鍵．【詳解】解：．22．（2024·四川廣安·中考真題）計算：．【答案】1【分析】先計算零次冪，代入特殊角的三角函數值，化簡絕對值，計算負整數指數冪，再合并即可.【詳解】解：【點睛】本題考查的是含特殊角的三角函數值的混合運算，零次冪，負整數指數冪的含義，化簡絕對值，掌握相應的運算法則是解本題的關鍵.23．（2024·江蘇鹽城·中考真題）計算：【答案】【分析】此題考查了實數的混合運算，計算絕對值、零指數冪、代入特殊角三角函數值，再進行混合運算即可.【詳解】解：24．（2024·四川遂寧·中考真題）小明的書桌上有一個型臺燈，燈柱高，他發現當燈帶與水平線夾角為時（圖1），燈帶的直射寬為，但此時燈的直射寬度不夠，當他把燈帶調整到與水平線夾角為時（圖2），直射寬度剛好合適，求此時臺燈最高點到桌面的距離．（結果保留1位小數）（）【答案】此時臺燈最高點到桌面的距離為【分析】本題考查了解直角三角形的應用；在圖1中，，在圖2中求得，進而根據燈柱高，點到桌面的距離為，即可求解．【詳解】解：由已知，，在圖1中，∵∴∴四邊形是平行四邊形，∴在中，在圖2中，過點作于點，∴∵燈柱高，點到桌面的距離為答：此時臺燈最高點到桌面的距離為．25．（2024·四川瀘州·中考真題）計算：．【答案】【分析】本題考查了實數的運算，絕對值，零指數冪，負整數指數冪，特殊角的三角函數值，二次根式的加減運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．先化簡各式，然后再進行加減計算即可解答．【詳解】解：原式，，．26．（2024·四川自貢·中考真題）計算：【答案】【分析】本題考查了含特殊角的三角函數的混合運算，先化簡正切值，再運算零次冪，絕對值，算術平方根，再運算加減，即可作答．【詳解】解：．27．（2024·重慶·中考真題）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從港出發，分別向，兩港運送物資，最后到達港正東方向的港裝運新的物資．甲貨輪沿港的東南方向航行海里后到達港，再沿北偏東方向航行一定距離到達港．乙貨輪沿港的北偏東方向航行一定距離到達港，再沿南偏東方向航行一定距離到達港．（參考數據：，，）(1)求，兩港之間的距離（結果保留小數點后一位）；(2)若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（停靠、兩港的時間相同），哪艘貨輪先到達港？請通過計算說明．【答案】(1)，兩港之間的距離海里；(2)甲貨輪先到達港．【分析】（）過作于點，由題意可知：，，求出，即可求解；（）通過三角函數求出甲行駛路程為：，乙行駛路程為：，然后比較即可；本題考查了方位角視角下的解直角三角形，構造直角三角形，熟練掌握銳角三角函數是解題的關鍵．【詳解】（1）如圖，過作于點，∴，由題意可知：，，∴，∴，∴，∴（海里），∴，兩港之間的距離海里；（2）由（）得：，，，∴，∴，由題意得：，，∴，∴，（海里），∴甲行駛路程為：（海里），乙行駛路程為：（海里），∵，且甲、乙速度相同，∴甲貨輪先到達港．28．（2024·重慶·中考真題）如圖，，，，分別是某公園四個景點，在的正東方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏東方向，且在的北偏西方向，千米．（參考數據：，，）

(1)求的長度（結果精確到千米）；(2)甲、乙兩人從景點出發去景點，甲選擇的路線為：，乙選擇的路線為：．請計算說明誰選擇的路線較近？【答案】(1)千米(2)甲選擇的路線較近【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用：（1）過點B作于E，先求出，再解得到千米，進一步解即可得到千米；（2）過點C作于D，先解得到千米，則千米，再得到千米，千米，最后解得到千米，千米，即可得到千米，千米，據此可得答案．【詳解】（1）解：如圖所示，過點B作于E，

由題意得，，∴，在中，千米，∴千米，在中，千米，∴的長度約為千米；（2）解：如圖所示，過點C作于D，

在中，千米，∴千米，在中，千米，千米，在中，，∴千米，千米，∴千米，千米，∵，∴甲選擇的路線較近．29．（2024·四川遂寧·中考真題）計算：．【答案】【分析】此題主要考查了實數運算及二次根式的運算，直接利用負整數指數冪的性質、特殊角的三角函數值、絕對值的性質、算術平方根分別化簡得出答案，正確化簡各數是解題關鍵．【詳解】解：．30．（2024·四川巴中·中考真題）某興趣小組開展了測量電線塔高度的實踐活動．如圖所示，斜坡的坡度，，在處測得電線塔頂部的仰角為，在處測得電線塔頂部的仰角為．(1)求點離水平地面的高度．(2)求電線塔的高度（結果保留根號）．【答案】(1)；(2)電線塔的高度．【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用．（1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函數的定義得到，據此求解即可；（2）作于點，設，先解得到，解得到米，進而得到方程，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：∵斜坡的坡度，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：作于點，則四邊形是矩形，，，設，在中，，∴，在中，，在中，，，∴，∴，∴，∴，答：電線塔的高度．31．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）（）計算：；（）已知，求代數式的值．【答案】（）；（）．【分析】（）利用算術平方根、零指數冪、特殊角的三角函數值、絕對值的性質分別運算，再合并即可求解；（）由得，化簡代數式可得，代入計算即可求解；本題考查了實數的混合運算，代數式化簡求值，掌握實數和整式的運算法則是解題的關鍵．【詳解】解：（）原式，；（）∵，∴，∴，，，，．32．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，是一座南北走向的大橋，一輛汽車在筆直的公路上由北向南行駛，在處測得橋頭在南偏東方向上，繼續行駛米后到達處，測得橋頭在南偏東方向上，橋頭在南偏東方向上，求大橋的長度．（結果精確到米，參考數據：）【答案】米【分析】本題考查了解直角三角形的應用，分別過點作的垂線，垂足分別為，根據題意得出，解求得，，進而求得，根據，即可求解．【詳解】解：如圖所示，分別過點作的垂線，垂足分別為，∴四邊形是矩形，∴，，依題意，，∴，∴，∴；在中，，；在中，，∴．答：大橋的長度約為米．33．（2024·四川巴中·中考真題）（1）計算：（2）求不等式組的解集．（3）先化簡，再求值：，其中【答案】（1）；（2）；（3），【分析】（1）先化簡絕對值，計算負整數指數冪，特殊角的三角函數，二次根式的化簡與乘方運算，再合并即可；（2）先分別解不等式組中的兩個不等式，再確定兩個不等式的解集的公共部分即可；（3）先計算括號內的分式的加減運算，再計算除法運算得到化簡的結果，再代入計算即可．【詳解】解：（1）；（2），由不等式①得：；由不等式②得：；∴原不等式組的解集為：；

（3）；

當時，原式．【點睛】本題考查的是一元一次不等式組的解法，分式的化簡求值，實數的混合運算，特殊角的三角函數值的混合運算，熟練掌握以上基本運算的運算法則與解題步驟是解本題的關鍵．34．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，學校數學興趣小組開展“實地測量教學樓的高度”的實踐活動．教學樓周圍是開闊平整的地面，可供使用的測量工具有皮尺、測角儀（皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離；測角儀的功能是測量角的大小）．(1)請你設計測量教學樓的高度的方案，方案包括畫出測量平面圖，把應測數據標記在所畫的圖形上（測出的距離用等表示，測出的角用等表示），并對設計進行說明；(2)根據你測量的數據，計算教學樓的高度（用字母表示）．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是：（1）將測角儀放在D處，用皮尺測量出D到的距離為m，用測角儀測出A的仰角為，測出B的俯角為即可；（2）過C作于E，分別在和中，利用正切的定義求出、，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，將測角儀放在D處，用皮尺測量出D到的距離為m，用測角儀測出A的仰角為，測出B的俯角為；（2）解：如圖，過C作于E，則四邊形是矩形，，，∴，，在中，，在中，，∴，答：教學樓的高度為．35．（2024·四川資陽·中考真題）如圖，某海域有兩燈塔A，B，其中燈塔B在燈塔A的南偏東方向，且A，B相距海里．一漁船在C處捕魚，測得C處在燈塔A的北偏東方向、燈塔B的正北方向．

(1)求B，C兩處的距離；(2)該漁船從C處沿北偏東方向航行一段時間后，突發故障滯留于D處，并發出求救信號．此時，在燈塔B處的漁政船測得D處在北偏東方向，便立即以18海里/小時的速度沿方向航行至D處救援，求漁政船的航行時間．（注：點A，B，C，D在同一水平面內；參考數據：，）【答案】(1)B，C兩處的距離為16海里(2)漁政船的航行時間為小時【分析】本題考查了解直角三角形的實際應用，解題的關鍵是正確畫出輔助線，構造直角三角形．（1）根據題意易得，則，再求出（海里），即可解答；（2）過點D作于點F，設海里，則，，則，求出，進而得出海里，海里，根據勾股定理可得：（海里），即可解答．【詳解】（1）解：過點A作于點E，∵燈塔B在燈塔A的南偏東方向，C處在燈塔A的北偏東方向、燈塔B的正北方向．∴，∴，∵，∴，∵海里，∴（海里），∴（海里），∴B，C兩處的距離為16海里．

（2）解：過點D作于點F，設海里，∵，∴，由（1）可知，海里，∴海里，∵，∴，∴，解得：，∴海里，海里，根據勾股定理可得：（海里），∴漁政船的航行時間為（小時），答：漁政船的航行時間為小時．

36．（2024·云南·中考真題）計算：．【答案】【分析】本題考查了實數的混合運算，掌握零指數冪，負整指數冪，特殊角的三角函數值，二次根式的性質，絕對值化簡是解題的關鍵．根據相關運算法則分別進行計算，再進行加減運算，即可解題．【詳解】解：，，．37．（2024·甘肅蘭州·中考真題）單擺是一種能夠產生往復擺動的裝置，某興趣小組利用擺球和擺線進行與單擺相關的實驗探究，并撰寫實驗報告如下．實驗主題探究擺球運動過程中高度的變化實驗用具擺球，擺線，支架，攝像機等實驗說明如圖1，在支架的橫桿點O處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往復運動．（擺線的長度變化忽略不計）如圖2，擺球靜止時的位置為點A，拉緊擺線將擺球拉至點B處，，，；當擺球運動至點C時，，．（點O，A，B，C，D，E在同一平面內）實驗圖示解決問題：根據以上信息，求的長．（結果精確到）參考數據：，．【答案】的長為【分析】本題考查的是解直角三角形的實際應用，先求解，再求解，從而可得答案；【詳解】解：∵，，；∴，，∴，∵，，∴，∴；∴的長為；38．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在中，對角線，相交于點O，．(1)求證：；(2)點E在邊上，滿足．若，，求的長及的值．【答案】(1)見解析(2)，【分析】本題考查矩形的判定與性質、勾股定理、等腰三角形的判定與性質、銳角三角函數等知識，熟練掌握矩形的判定與性質是解答的關鍵．（1）直接根據矩形的判定證明即可；（2）先利用勾股定理結合矩形的性質求得，．進而可得，再根據等腰三角形的判定得到，過點O作于點F，根據等腰三角形的性質，結合勾股定理分別求得，，，然后利用正切定義求解即可．【詳解】（1）證明：因為四邊形是平行四邊形，且，所以四邊形是矩形．所以；（2）解：在中，，，所以，因為四邊形是矩形，所以，．因為，所以．過點O作于點F，則，所以，在中，，所以．39．（2024·陜西·中考真題）如圖所示，一座小山頂的水平觀景臺的海拔高度為，小明想利用這個觀景臺測量對面山頂C點處的海拔高度，他在該觀景臺上選定了一點A，在點A處測得C點的仰角，再在上選一點B，在點B處測得C點的仰角，．求山頂C點處的海拔高度．（小明身高忽略不計，參考數據：，，）

【答案】山頂C點處的海拔高度為．【分析】本題考查了解直角三角形的應用．過點C作交的延長線于點，在和中，利用三角函數的定義列式計算即可求解．【詳解】解：過點C作交的延長線于點，設，

在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，解得，∴山頂C點處的海拔高度為．40．（2024·江蘇揚州·中考真題）（1）計算：；（2）化簡：．【答案】（1）；（2）【分析】本題考查分式的除法運算、零指數冪、特殊角的三角函數值、絕對值，解答本題的關鍵是明確它們各自的計算方法．（1）根據零指數冪、特殊角的三角函數值、絕對值可以解答本題；（2）將除法轉換為乘法，再根據分式的乘法法則化簡即可求解．【詳解】解：（1）；（2）．41．（2024·四川眉山·中考真題）計算：．【答案】6【分析】本題主要考查了含特殊角的三角函數值、零指數冪、負整數指數冪、化簡絕對值、實數混合運算等知識，熟練掌握相關運算法則是解題關鍵．根據零指數冪運算法則、負整數指數冪運算法則、特殊角的三角函數以及絕對值的性質進行運算，即可獲得答案．【詳解】解：．42．（2024·江蘇蘇州·中考真題）圖①是某種可調節支撐架，為水平固定桿，豎直固定桿，活動桿可繞點A旋轉，為液壓可伸縮支撐桿，已知，，．(1)如圖②，當活動桿處于水平狀態時，求可伸縮支撐桿的長度（結果保留根號）；(2)如圖③，當活動桿繞點A由水平狀態按逆時針方向旋轉角度，且（為銳角），求此時可伸縮支撐桿的長度（結果保留根號）．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是：（1）過點C作，垂足為E，判斷四邊形為矩形，可求出，，然后在中，根據勾股定理求出即可；（2）過點D作，交的延長線于點F，交于點G．判斷四邊形為矩形，得出．在中，利用正切定義求出．利用勾股定理求出，由，可求出，，，．在中，根據勾股定理求出即可．【詳解】（1）解：如圖，過點C作，垂足為E，由題意可知，，又，四邊形為矩形．，，，．，．在中，．即可伸縮支撐桿的長度為；（2）解：過點D作，交的延長線于點F，交于點G．由題意可知，四邊形為矩形，．在中，，．，，，．，，，．在中，．即可伸縮支撐桿的長度為．43．（2024·山東威海·中考真題）某校九年級學生開展利用三角函數解決實際問題的綜合與實踐活動，活動之一是測量某護堤石壩與地平面的傾斜角．測量報告如下表（尚不完整）課題測量某護堤石壩與地平面的傾斜角成員組長：×××

組員：×××，×××，×××測量工具竹竿，米尺測量示意圖說明：是一根筆直的竹竿．點是竹竿上一點．線段的長度是點到地面的距離．是要測量的傾斜角．測量數據…………(1)設，，，，，，，，請根據表中的測量示意圖，從以上線段中選出你認為需要測量的數據，把表示數據的小寫字母填寫在“測量數據”一欄．(2)根據（）中選擇的數據，寫出求的一種三角函數值的推導過程．(3)假設，，，根據（）中的推導結果，利用計算器求出的度數，你選擇的按鍵順序為________．【答案】(1)，，，；(2)，推導見解析；(3)．【分析】（）根據題意選擇需要的數據即可；（）過點作于點，可得，得到，即得，得到，再根據正弦的定義即可求解；（）根據（）的結果即可求解；本題考查了解直角三角形，相似三角形的的判定和性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】（1）解：需要的數據為：，，，；（2）解：過點作于點，則，∵，∴，∴∴，即∴，∴；（3）解：∵，∴按鍵順序為，故答案為：．44．（2024·山東濰坊·中考真題）在光伏發電系統運行時，太陽能板（如圖1）與水平地面的夾角會對太陽輻射的接收產生直接影響．某地區工作人員對日平均太陽輻射量（單位：）和太陽能板與水平地面的夾角進行統計，繪制了如圖2所示的散點圖，已知該散點圖可用二次函數刻畫．(1)求關于的函數表達式；(2)該地區太陽能板與水平地面的夾角為多少度時，日平均太陽輻射量最大？(3)圖3是該地區太陽能板安裝后的示意圖（此時，太陽能板與水平地面的夾角使得日平均太陽輻射量最大），為太陽能板與水平地面的夾角，為支撐桿．已知，是的中點，．在延長線上選取一點，在兩點間選取一點，測得，在兩點處分別用測角儀測得太陽能板頂端的仰角為，，該測角儀支架的高為1m．求支撐桿的長．（精確到m，參考數據：，）【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查待定系數法求二次函數解析式以及二次函數的圖像和性質，解直角三角形，熟練掌握二次函數的圖像和性質是解題的關鍵．（1）設關于的函數表達式為，將圖中的點代入即可求出答案；（2）求出二次函數的對稱軸，在對稱軸處取最值；（3）延長與過點作的線交于點，令，根據三角函數進行計算，求出即可得到答案．【詳解】（1）解：設關于的函數表達式為，將代入，得，解得，；（2）解：根據函數解析式得函數對稱軸，故陽能板與水平地面的夾角為度時，日平均太陽輻射量最大；（3）解：，延長與過點作的線交于點，令，，，，，，，，延長交與點，，，，，，．45．（2024·四川涼山·中考真題）計算：．【答案】2【分析】本題考查了實數的混合運算．分別進行零指數冪、負整數指數冪、二次根式及絕對值的運算，然后代入特殊角的三角函數值代入運算即可．【詳解】解：．46．（2024·四川涼山·中考真題）為建設全域旅游西昌，加快旅游產業發展．年月日位于西昌主城區東部的歷史風貌核心區唐園正式開園，坐落于唐園內的懷遠塔乃唐園至高點，為七層密檐式八角磚混結構閣樓式塔樓，建筑面積為平方米，塔頂金碧輝煌，為“火珠垂蓮”窣（）堵坡造型．某校為了讓學生進一步了解懷遠塔，組織九年級（）班學生利用綜合實踐課測量懷遠塔的高度．小江同學站在如圖所示的懷遠塔前的平地上點處，測得塔頂的仰角為，眼睛距離地面，向塔前行，到達點處，測得塔頂的仰角為，求塔高．（參考數據：，結果精確到）

【答案】．【分析】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，設，解直角三角形得到，，再根據可得，解方程求出即可求解，正確解直角三角形是解題的關鍵．【詳解】解：由題意可得，，，，，設，在中，，在中，，∵，∴，解得，∴，答：塔高為．47．（2024·江西·中考真題）圖1是世界第一“大碗”——景德鎮昌南里文化藝術中心主體建筑，其造型靈感來自于宋代湖田窯影青斗笠碗，寓意“萬瓷之母”，如圖2，“大碗”的主視圖由“大碗”主體和矩形碗底組成，已知，，是太陽光線，，，點M，E，F，N在同一條直線上，經測量，，，．（結果精確到）(1)求“大碗”的口徑的長；(2)求“大碗”的高度的長．（參考數據：，，）【答案】(1)“大碗”的口徑的長為；(2)“大碗”的高度的長為．【分析】本題考查了解直角三角形的應用，正確引出輔助線解決問題是解題的關鍵．（1）證明四邊形是矩形，利用，代入數據計算即可求解；（2）延長交于點，求得，利用正切函數的定義得到，求得的長，據此求解即可．【詳解】（1）解：∵，，，∴四邊形是矩形，∴，答：“大碗”的口徑的長為；（2）解：延長交于點，如圖，∵矩形碗底，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴，，∴，∴，∴，答：“大碗”的高度的長為．48．（2024·江蘇連云港·中考真題）圖1是古代數學家楊輝在《詳解九章算法》中對“邑的計算”的相關研究．數學興趣小組也類比進行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂城的邊長為，南門設立在邊的正中央，游樂城南側有一條東西走向的道路，在上（門寬及門與道路間距離忽略不計），東側有一條南北走向的道路，C處有一座雕塑．在處測得雕塑在北偏東方向上，在處測得雕塑在北偏東方向上．(1)__________，__________；(2)求點到道路的距離；(3)若該小組成員小李出南門O后沿道路向東行走，求她離處不超過多少千米，才能確保觀察雕塑不會受到游樂城的影響？（結果精確到，參考數據：，，，，）【答案】(1)，(2)2.0千米(3)【分析】本題考查正多邊形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性質：（1）求出正八邊形的一個外角的度數，再根據角的和差關系進行求解即可；（2）過點作，垂足為，解，求出，解，求出，即可；（3）連接并延長交于點，延長交于點，過點作，垂足為，解，求出，證明，列出比例式進行求解即可．【詳解】（1）解：∵正八邊形的一個外角的度數為：，∴，；故答案為：；（2）過點作，垂足為．在中，，，．在中，，．答：點到道路的距離為2.0千米．（3）連接并延長交于點，延長交于點，過點作，垂足為．正八邊形的外角均為，在中，．．又，，．∵，∴，，即，，．答：小李離點不超過2.4km，才能確保觀察雕塑不會受到游樂城的影響．49．（2024·山東煙臺·中考真題）根據收集的素材，探索完成任務．探究太陽能熱水器的安裝素材一太陽能熱水器是利用綠色能源造福人類的一項發明．某品牌熱水器主要部件太陽能板需要安裝在每天都可以有太陽光照射到的地方，才能保證使用效果，否則不予安裝．素材二某市位于北半球，太陽光線與水平線的夾角為α，冬至日時，；夏至日時，．，，，，，，，，素材三如圖，該市甲樓位于乙樓正南方向，兩樓東西兩側都無法獲得太陽光照射．現準備在乙樓南面墻上安裝該品牌太陽能板．已知兩樓間距為54米，甲樓共11層，乙樓共15層，一層從地面起，每層樓高皆為3.3米，為某時刻的太陽光線．問題解決任務一確定使用數據要判斷乙樓哪些樓層不能安裝該品牌太陽能板，應選擇________日（填冬至或夏至）時，α為________（填，，，中的一個）進行計算．任務二探究安裝范圍利用任務一中選擇的數據進行計算，確定乙樓中哪些樓層不能安裝該品牌太陽能熱水器．【答案】任務一：冬至，；任務二：乙樓中7層（含7層）以下不能安裝該品牌太陽能熱水器【分析】本題考查解直角三角形的應用，理解題意是解答的關鍵．任務一：根據題意直接求解即可；任務二：過E作于F，利用正切定義求得【詳解】解：任務一：根據題意，要判斷乙樓哪些樓層不能安裝該品牌太陽能板，只需為冬至日時的最小角度，即，故答案為：冬至，；任務二：過E作于F，則，米，，在中，，∴（米），∵（米），∴（米），（層），答：乙樓中7層（含7層）以下不能安裝該品牌太陽能熱水器．50．（2024·四川成都·中考真題）中國古代運用“土圭之法”判別四季．夏至時日影最短，冬至時日影最長，春分和秋分時日影長度等于夏至和冬至日影長度的平均數．某地學生運用此法進行實踐探索，如圖，在示意圖中，產生日影的桿子垂直于地面，長8尺．在夏至時，桿子在太陽光線照射下產生的日影為；在冬至時，桿子在太陽光線照射下產生的日影為．已知，，求春分和秋分時日影長度．（結果精確到0.1尺；參考數據：，，，，，）

【答案】9.2尺【分析】本題主要考查解直角三角形和求平均數，利用正切分別求得和，結合題意利用平均數即可求得春分和秋分時日影長度．【詳解】解：∵，桿子垂直于地面，長8尺．∴，即，∵，∴，即，∵春分和秋分時日影長度等