27.2.3相似三角形應用舉例義務教育課程標準實驗教科書九年級下冊人民教育出版社黑龍江省寧安市蘭崗鎮吳鳳艷利用三角形的相似，可以解決一些不能直接測量的物體的程度的問題，下面請看幾個例子．

引例：你能設計方案，利用相似三角形的知識測量旗桿的高度嗎？方法一：利用陽光下的影子操作方法：一名學生在直立于旗桿影子的頂端處,測出該同學的影長和此時旗桿的影長．點撥：把太陽的光線看成是平行的.∵太陽的光線是平行的，

∴AE∥CB，∴∠AEB＝∠CBD.∵人與旗桿是垂直于地面的，∴∠ABE＝∠CDB，∴△ABE∽△CBD.∴.即CD=.

因此，只要測量出人的影長BE，旗桿的影長DB，再知道人的身高AB，就可以求出旗桿CD的高度了．方法二：利用鏡子的反射操作方法：選一名學生作為觀測者．在他與旗桿之間的地面上平放一面鏡子，固定鏡子的位置，觀測者看著鏡子來回調整自己的位置，使自己能夠通過鏡子看到旗桿項端．測出此時他的腳與鏡子的距離、旗桿底部與鏡子的距離就能求出旗桿的高度．點撥：入射角＝反射角∵入射角＝反射角,∴∠AEB＝∠CED.∵人、旗桿都垂直于地面,∴∠B＝∠D＝90°.∴.

因此，測量出人與鏡子的距離BE，旗桿與鏡子的距離DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗桿CD的高度．學習新知

胡夫金字塔是埃及現存規模最大的金字塔，被喻為“世界古代七大奇觀之一”.塔的4個斜面正對東南西北四個方向，塔基呈正方形，邊長約為230米.據考證，為建成大金字塔，共動用了10萬人花了20年時間.原高146.59米，但由于經過幾千年的風吹雨打，頂端被風化吹蝕，所以高度有所降低.在古希臘，有一位偉大的數學家叫泰勒斯.一天，希臘國王阿馬西斯對他說:“聽說你什么都知道，那就請你測量一下埃及金字塔的高度吧!”這在當時條件下是個大難題，因為是很難爬到塔頂的.你知道泰勒斯是怎樣測量大金字塔的高度的嗎?問題思考例3

據史料記者，古希臘數學家、天文學家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子頂部立一根木桿，集中大院光線構成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度．如圖，如果木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度BO．解：太陽光是平行光線，由此∠BAO＝∠EDF，又∠AOB＝∠DFE＝90°∴△ABO∽△DEF．因此金字塔的高為134m．BEA(F)DO1.在某一時刻，測得一根高為1.8m的竹竿的影長為3m，同時測得一棟高樓的影長為90m，這棟高樓的高度是多少？跟蹤練習△ABC∽△A'B'C'求得A'C'=54m答：這棟高樓的高度是54m.解：ABC1.8m3mA'B'C'90m?(教材例4)如圖所示，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標點P，在近岸取點Q和S，使點P，Q，S共線且直線PS與河岸垂直，接著在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當的點T，確定PT與過點Q且垂直PS的直線b的交點R.已知測得QS=45

m，ST=90

m，QR=60

m，請根據這些數據求河寬PQ.(3)能不能用方程思想解出PQ的值?(，即PQ×90=(PQ+45)×60，可解得PQ的值)〔解析〕(1)圖中的兩個三角形是不是相似三角形?(由∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P可得△PQR∽△PST)(2)根據相似三角形的基本性質能不能得到關于河寬PQ的比例線段?解:∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST.∴，

即，，PQ×90=(PQ+45)×60.

解得PQ=90(m).因此，河寬大約為90

m.[知識拓展]

利用相似三角形進行測量的一般步驟:①利用平行線、標桿等構成相似三角形;②測量與表示未知量的線段相對應的線段的長，以及另外任意一組對應邊的長度;③畫出示意圖，利用相似三角形的性質，列出以上包括未知量在內的四個量的比例式，解出未知量;④檢驗并得出答案.檢測反饋1.小明在測量樓高時，先測出樓房落在地面上的影長BA為15米，如圖所示，然后在A處樹立一根高2米的標桿，測得標桿的影長AC為3米，則樓高為(

)

A.10米B.12米

C.15米D.22.5米解析:在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經過物體頂部的太陽光線三者構成的兩個直角三角形相似.

因此=，即，∴樓高=10(米).故選A.A2.如圖所示的是一束平行的光線從教室窗戶射入教室的平面示意圖，測得光線與地面所成的角∠AMC=30°，窗戶的高在教室地面上的影長MN=2

米，窗戶底部到教室地面的距離BC=1米(點M，N，C在同一直線上)，則窗戶的高度AB為(

)

A.米B.3米C.2米D.1.5米解析:∵BN∥AM，∴∠AMC=∠BNC=30°，又∵∠C=90°，BC=1米，∴BN=2米，CN=米，∴CN∶CM=BC∶AC，∴,解得AC=3(米)，∴AB=AC-BC=2米.故選C.C3.如圖所示，路燈距離地面8米，身高1.6米的小明站在距離燈的底部(點O)20米的A處，則小明的影子AM的長為