第第頁2024—2025學(xué)年第二學(xué)期初中畢業(yè)年級模擬考試?診斷卷數(shù)學(xué)試題（全卷共8頁，25小題；滿分：150分；答卷時(shí)間：120分鐘）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定位置填寫本人的準(zhǔn)考證號、姓名等信息．考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼上的“準(zhǔn)考證號、姓名”與本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．非選擇題答案用0.5毫米黑色簽字筆在各答題卡上相應(yīng)位置書寫作答，在試題卷上答題無效．3．考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1.下列各數(shù)中，為無理數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)，如，，（每兩個(gè)之間依次多個(gè)）等形式．【詳解】解：、、屬于有理數(shù)，屬于無理數(shù)，故選：B．2.如圖是由一個(gè)長方體和一個(gè)三棱柱組成的幾何體，則它的主視圖是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了立體圖形的三視圖，三視圖是指主視圖，俯視圖，左視圖，解答此題的關(guān)鍵是弄清三視圖的定義．主視圖是指從正面看所得的圖形，根據(jù)主視圖的定義解答即可．【詳解】解：由圖知該幾何圖形主視圖為，故選：B．3.《年福建省國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》顯示我省全年糧食產(chǎn)量約為萬噸，將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時(shí)，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時(shí)，是負(fù)整數(shù)，據(jù)此解答即可．【詳解】解：，故選：C．4.在中，，，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，由已知條件判斷出是底角是正確解答本題的關(guān)鍵．由已知條件判斷出是底角，結(jié)合等腰三角形的兩個(gè)底角相等，可知．【詳解】解：如圖，∵在中，，∴，∵，∴，故選：C．5.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘除法，合并同類項(xiàng)，積的乘方，根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法、合并同類項(xiàng)、積的乘方，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】A、，故該選項(xiàng)正確，符合題意；B、與不同類項(xiàng)，不能合并，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．6.已知半圓以為直徑，現(xiàn)將一塊含的直角三角板如圖放置，角的頂點(diǎn)在半圓上，斜邊經(jīng)過點(diǎn)，一條直角邊交半圓于點(diǎn)．則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，根據(jù)圓周角定理可得，即可求解．詳解】解：，，，故選：D．7.某校在開展閱讀助成長，課程蘊(yùn)書香活動(dòng)中，對全校學(xué)生每天課外閱讀的平均時(shí)間進(jìn)行了全面調(diào)查，根據(jù)收集的相關(guān)數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖．下列說法錯(cuò)誤的是（）A.每天閱讀30分鐘以上的學(xué)生人數(shù)超過B.每天閱讀不足1小時(shí)的學(xué)生人數(shù)超過C.每天閱讀1小時(shí)以上的學(xué)生人數(shù)占D.每天閱讀30分鐘至2小時(shí)的學(xué)生人數(shù)占【答案】C【解析】【分析】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖，解題的關(guān)鍵是正確從扇形統(tǒng)計(jì)圖中獲取信息．從扇形統(tǒng)計(jì)圖中獲取信息逐一分析判斷即可．【詳解】解：A.∵每天閱讀30分鐘以下的學(xué)生人數(shù)百分比為，∴每天閱讀30分鐘以上的學(xué)生人數(shù)百分比為，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；B.∵每天閱讀一小時(shí)以上的學(xué)生人數(shù)百分比為，∴每天閱讀不足1小時(shí)的學(xué)生人數(shù)百分比為，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；C.每天閱讀一小時(shí)以上的學(xué)生人數(shù)百分比為，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；D.通過扇形統(tǒng)計(jì)圖可知，每天閱讀在30分鐘至1小時(shí)的學(xué)生人數(shù)百分比為，∴每天閱讀30分鐘至2小時(shí)的學(xué)生人數(shù)百分比為，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：C．8.如圖是一個(gè)風(fēng)箏設(shè)計(jì)圖，其主體部分關(guān)于所在的直線對稱（四邊形，），與相交于點(diǎn)，，且，則下列推斷不正確的是（）A. B.C. D.是等邊三角形【答案】D【解析】【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，熟知軸對稱的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．由對稱可得：，，，，進(jìn)而得到是等腰三角形，即可判斷．【詳解】解：其主體部分關(guān)于所在的直線對稱（四邊形，），，，，，是等腰三角形，故A、B、C正確；D不正確；故選：D．9.某商店銷售單價(jià)為元和元的，兩種商品，其中商品的利潤率為，商品的利潤率為．當(dāng)售出的商品的數(shù)量比商品的數(shù)量少時(shí)，該商店獲得的總利潤率為．則與的數(shù)量關(guān)系是（）（利潤率利潤成本）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確找出等量關(guān)系．設(shè)商品的數(shù)量為，則商品的數(shù)量為，推出商品的單件利潤為，商品的單件利潤為，根據(jù)題意列方程即可求解．【詳解】解：設(shè)商品的數(shù)量為，則商品的數(shù)量為，商品的成本：，單件利潤為，B商品的成本：，單件利潤為，總利潤：，總收入：，根據(jù)題意得：，整理得：，故選：A．10.已知點(diǎn)在二次函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象上，當(dāng)時(shí)，，則下列判斷正確的是（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【答案】B【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】解：二次函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象上，該拋物線開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸為直線，A、時(shí)，，且與關(guān)于直線對稱，當(dāng)時(shí)，，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、時(shí)，，且與關(guān)于直線對稱，當(dāng)時(shí)，，故該選項(xiàng)正確；C、時(shí)，，且與關(guān)于直線對稱，當(dāng)時(shí)，或，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、當(dāng)時(shí)，，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，滿分24分．11.分解因式：_____．【答案】【解析】【分析】本題考查提公因式法分解因式，找到公因式是解答本題的關(guān)鍵．直接提公因式，進(jìn)行因式分解即可．【詳解】解：故答案為：．12.不等式的解集是______．【答案】x<【解析】【分析】移項(xiàng)系數(shù)化成1即可求解．【詳解】解：移項(xiàng)，得：2x<-1，

系數(shù)化成1得：x<，故答案為：x<.【點(diǎn)睛】本題考查了解簡單不等式的能力，解答這類題學(xué)生往往在解題時(shí)不注意移項(xiàng)要改變符號這一點(diǎn)而出錯(cuò)．13.某班舉行數(shù)學(xué)趣味知識競賽，共有道選擇題，數(shù)學(xué)科代表將全班同學(xué)的答對題數(shù)量及對應(yīng)人數(shù)做成統(tǒng)計(jì)圖，據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知，答對題數(shù)量的中位數(shù)是_____．答對題數(shù)量答對題人數(shù)【答案】【解析】【分析】本題考查了中位數(shù)的定義，中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個(gè)數(shù)（或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）為中位數(shù)，當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，即為中間的一個(gè)，當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，中位數(shù)就是中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，據(jù)此解答即可．【詳解】解：由表可知，全班共有學(xué)生名，把個(gè)數(shù)排序后，第個(gè)是答對題，第個(gè)也是答對道題，中位數(shù)為道題，故答案為：．14.如圖，已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，掌握求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法是解題的關(guān)鍵．利用待定系數(shù)法求得兩直線的解析式，然后聯(lián)立成方程組，解方程組即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)，，，解得：，，一次函數(shù)解析式為：，反比例函數(shù)解析式為；解方程組，得或，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．15.身高均為的小明與小強(qiáng)在學(xué)校球場的照明燈和照明燈之間，兩盞燈的高度均為，如圖所示．已知小明的身影的頂部正好在燈的底部處，小強(qiáng)的身影的頂部正好在燈的底部處，已知兩燈之間的距離為，則兩人的距離是_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)在知識．由題意可得：，，推出，，進(jìn)而得到，，可求出，最后根據(jù)，即可求解．【詳解】解：由題意得：，，，，，，，，，即，，，，即兩人的距離是，故答案為：．16.如圖，四邊形是一張矩形紙片，點(diǎn)、在邊上，沿著折疊，使邊落在邊上，點(diǎn)落在點(diǎn)處；沿著折疊，使邊落在邊上，點(diǎn)落在點(diǎn)處．若矩形與原矩形相似，則為_____．【答案】##【解析】【分析】本題考查了矩形中的折疊問題，相似圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識．由折疊的性質(zhì)可得：，，，，推出四邊形和四邊形是矩形，得到，，設(shè)，，則，得到，根據(jù)相似的性質(zhì)可得，即，整理可得：，令，則，求出即可．【詳解】解：四邊形是矩形，，，由折疊可得：，，，，四邊形和四邊形是矩形，，，設(shè)，，則，，矩形與原矩形相似，，即，得到，整理可得：，令，則，解得：（負(fù)值已舍去），，即，故答案為：．三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，立方根和零指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的運(yùn)算法則．根二次根式、零指數(shù)冪、立方根化簡，再算加減即可．【詳解】解：18.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】根據(jù)分式的混臺運(yùn)算法則把原式化簡，把x的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：原式．當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．19.如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使得，連接．求證：．【答案】見詳解【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段的中點(diǎn)，對頂角的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．利用邊角邊證明三角形全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等即可證明結(jié)論．【詳解】證明：∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，在與中，（SAS），．20.開學(xué)以來，某食堂提供了、、三種套餐供學(xué)生選擇，單價(jià)分別是8元、10元、15元，為了做好下階段的服務(wù)與銷售，食堂統(tǒng)計(jì)了開學(xué)以來、、三種套餐的周平均銷售量如下表，平均每份套餐利潤與周銷售量之間的關(guān)系繪制成如下條形統(tǒng)計(jì)圖：套餐種類周平均銷售量（份你根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）小明上周到食堂用餐兩次，均購買了套餐（兩次選擇隨機(jī)購買不同類型的套餐），求小明兩次購買的套餐為組合的概率；（2）根據(jù)上級規(guī)定，平均每份套餐的利潤不得超過3元，否則應(yīng)調(diào)低單價(jià)．試判斷該食堂是否需要調(diào)低單價(jià)？若需要調(diào)整，請通過計(jì)算說明，應(yīng)把哪一種套餐的單價(jià)調(diào)整為多少元，才能使平均每份套餐的利潤最大且不得超過3元？若不需要調(diào)整，請說明理由．（要求：若需要調(diào)整，該食堂只能調(diào)低一種套餐的單價(jià)，且調(diào)低幅度只能是1元整數(shù)倍．）【答案】（1）（2）是，調(diào)整套餐為14元【解析】【分析】本題主要考查了通過樹狀圖或表格求概率，條形統(tǒng)計(jì)圖和表格的綜合應(yīng)用，求平均數(shù)，方案的選擇等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是通過條形統(tǒng)計(jì)圖和表格得出準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)．（1）利用樹狀圖求概率即可；（2）求出平均數(shù)，然后分情況進(jìn)行討論得出最優(yōu)方案即可．【小問1詳解】解：小明兩次購買套餐的樹狀圖如下，由樹狀圖可知共有9種等可能的結(jié)果，其中小明選擇套餐為組合的結(jié)果有2種，∴其概率為；【小問2詳解】解：根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖可知平均每份套餐的利潤為2元，每份套餐的利潤為4元，每份套餐的利潤為3元，總利潤為（元）平均每份套餐的利潤為（元），∴該食堂需要調(diào)低單價(jià)，假設(shè)調(diào)低套餐單價(jià)1元，平均每份套餐的利潤為（元）；假設(shè)調(diào)低套餐單價(jià)1元，平均每份套餐的利潤為（元）；假設(shè)調(diào)低套餐單價(jià)1元，平均每份套餐的利潤為（元）；綜上可得，當(dāng)調(diào)低套餐單價(jià)1元時(shí)，即套餐單價(jià)為14元時(shí)，才能使平均每份套餐的利潤最大且不超過3元．21.已知為兩位正整數(shù)，其十位上的數(shù)字為，個(gè)位上的數(shù)字為，且滿足．（1）寫出符合條件的所有數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，若可以寫成兩個(gè)整數(shù)的平方差，求這兩個(gè)整數(shù)的積．【答案】（1）為或或（2）【解析】【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，巧用分類討論的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．（1）由，對，進(jìn)行取值即可解決問題．（2）由，得出，，進(jìn)而得出的值，設(shè)（、為整數(shù)），則，分類討論即可解決問題．【小問1詳解】解：，，或，或，，或或，為或或；【小問2詳解】，，，．設(shè)（、為整數(shù)），，或或，解得：(舍去)或或(舍去)，．22.已知，在四邊形中，，（1）如圖1，若，求證：四邊形是平行四邊形；（2）如圖2，若四邊形是平行四邊形，且，請用無刻度的直尺和圓規(guī)，作的外接圓并在外接圓上確定點(diǎn)，使，，且四邊形不是平行四邊形，并簡要說明理由（保留作圖痕跡）．【答案】（1）見詳解（2）見詳解【解析】【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)和尺規(guī)作圖、圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟悉基本的尺規(guī)作圖．（1）利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行即可得出答案；（2）利用三角形邊的垂直平分線的交點(diǎn)是外接圓的圓心，交點(diǎn)到三角形頂點(diǎn)的長度為半徑即可完成圓的操作，利用圓的半徑相等和圓周角定理確定點(diǎn)．【小問1詳解】證明：，，，，，即，，∴四邊形是平行四邊形；【小問2詳解】解：如下圖，即為的外接圓，點(diǎn)即為所求，滿足,，∵四邊形是平行四邊形∴,,根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得，，∵點(diǎn)是以點(diǎn)為圓心，長為半徑的圓與的交點(diǎn)，又由題意可知，四邊形是平行四邊形，，過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，與不平行，∴四邊形不是平行四邊形．23.根據(jù)以下素材，完成三個(gè)任務(wù)：以下所有拼接的圖形都是拼成既沒有縫隙也沒有重疊的圖形．素材一某綜合實(shí)踐小組準(zhǔn)備了如圖所示的三種卡片，其中型卡片是邊長為的正方形，型卡片是長為寬為的長方形，且．素材二將1張型卡片沿對角線剪開，得到兩張直角三角形卡片．素材三小組操作發(fā)現(xiàn)，將2張型卡片，3張型卡片（所拼成的長方形既沒有縫隙也沒有重疊）．得到了一個(gè)代數(shù)恒等式：．【問題解決】【任務(wù)1】用1張型和2張型卡片拼成一個(gè)長方形，用含的代數(shù)式表示這個(gè)長方形的周長；【任務(wù)2】現(xiàn)共有10張型卡片，25張型卡片和18張型卡片，請你選取若干張卡片，將取出的這些卡片拼成一個(gè)正方形．請你列舉兩種拼正方形的方案（寫出各種型號的卡片數(shù)量和相應(yīng)的正方形的邊長；其中一種方案正方形的邊長要最大）；【任務(wù)3】將2張型卡片剪成4張直角三角形卡片，再從型卡片中挑選若干張（長方形除外）．請畫出示意圖，并寫出與該平行四邊形的面積相關(guān)的代數(shù)恒等式．（用含的數(shù)學(xué)等式表示）要求：4張直角三角形卡片全部使用；型卡片至少選一種；拼出的平行四邊形的面積最小才能得滿分．【答案】任務(wù)1：圖見解析，周長為：；任務(wù)2：①，②，③，②，圖案見解析；任務(wù)3：圖見解析：．【解析】【分析】本題考查了圖形與乘法公式的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．任務(wù)1：根據(jù)矩形的周長公式求解；任務(wù)2：根據(jù)完全平方公式求解；任務(wù)3：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解．熟練掌握完全平方公式和因式分解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：任務(wù)1：如圖所示：周長為：；任務(wù)2：如圖所示：，現(xiàn)共有9張型卡片，24張型卡片和16張型卡片；如圖所示：，現(xiàn)共有1張型卡片，2張型卡片和1張型卡片；如圖所示：，現(xiàn)共有4張型卡片，4張型卡片和1張型卡片；如圖所示：，現(xiàn)共有1張型卡片，4張型卡片和4張型卡片；任務(wù)3：如圖所示：．24.拋物線（，，是常數(shù)，）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于．（1）當(dāng)時(shí)，求此拋物線的解析式；（2）若此拋物線經(jīng)過點(diǎn)且點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（3）用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【答案】（1）（2），且（3），證明見解析【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由題意得：頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為，將代入求出，即可求解；（2）先求出對稱軸為直線，再根據(jù)拋物線的對稱性可得，即，結(jié)合，點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，即可得到答案；（3）根據(jù)對稱軸公式即可求解．【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋