浙江省北斗星盟2025屆高三下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合則A∩B=A.{1,2}B.{0,1,2}C.{-1,0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2}2.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足3.已知單位向量EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),a)，b滿(mǎn)足IEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),a)+bI=2IEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),a)-bI，則向量EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),a)在向量b上的投影向量為()4.“a=2”是“函數(shù)f(x)=ln(x2-ax+1)的值域?yàn)镽”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.若坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于動(dòng)直線(xiàn)l:mx-Y-m+1=0(m∈R)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A，則點(diǎn)A的軌跡為()A.圓B.橢圓C.雙曲線(xiàn)D.拋物線(xiàn)6.已知函數(shù)和函數(shù)g(x)=2cos(wx+φ)的圖象上相鄰的四個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，且f(1)=g(1)，則()7.已知函數(shù)滿(mǎn)足f=2，且對(duì)的正整數(shù)n的最大值為()A.2026B.2027C.2028D.20298.在平面直角坐標(biāo)系xOY中，已知曲線(xiàn)C:(x2+Y2)2=2x2-2Y2，若點(diǎn)P為曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)，則IOPI的最大值為()二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在足球訓(xùn)練課上，A，B兩位同學(xué)進(jìn)行“點(diǎn)球”比賽，規(guī)則為：比賽共進(jìn)行5輪，在每輪比賽中，兩人各罰點(diǎn)球一次，射中得1分，射不中得0分.已知A，B每次點(diǎn)球命中的概率分別為PA，PB，(PA,PB∈(0,1))，若5輪比賽后A，B的總得分分別為XA，XB，則下列結(jié)論正確的是()A.若E(XA)<E(XB)，則PA<PBB.P(XA=XB=3)≠P(XA:XB=2:3)D.若當(dāng)且僅當(dāng)K=2時(shí)，P(XA=K)(K=0,1,2,…5)取得最大值，則10.已知橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，且IAF1I=IF1F2I=2，P為C上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且IPF1I.IPF匕F1PF2的內(nèi)角平分線(xiàn)交X軸于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是C.△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為若該四棱錐存在內(nèi)切球，且其內(nèi)切球球心為O1，其外接球球心為O2，則下列結(jié)論正確的是()B.四棱錐PABCD的內(nèi)切球半徑為21C.四棱錐PABCD的體積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則a+b=．13.已知且滿(mǎn)足則則sin2β=．14.人工智能(ArtificialIntelligence)，英文縮寫(xiě)為AI.是新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革的重要驅(qū)動(dòng)力量，是研究、開(kāi)發(fā)用于模擬、延伸和擴(kuò)展人的智能的理論、方法、技術(shù)及應(yīng)用系統(tǒng)的一門(mén)新的科學(xué).某商場(chǎng)在有獎(jiǎng)銷(xiāo)售的抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)時(shí)，采用AI技術(shù)生成獎(jiǎng)券碼：在每次抽獎(jiǎng)時(shí)，顧客連續(xù)點(diǎn)擊按鍵5次，每次點(diǎn)擊隨機(jī)生成數(shù)字0或1或2，點(diǎn)擊結(jié)束后，生成的5個(gè)數(shù)字之和即為獎(jiǎng)券碼.并規(guī)定：如果獎(jiǎng)券碼為0，則獲一等獎(jiǎng);如果獎(jiǎng)券碼為3的正整數(shù)倍，則獲二等獎(jiǎng)，其它情況不獲獎(jiǎng).已知顧客甲參加了一次抽獎(jiǎng)，則他獲二等獎(jiǎng)的概率四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)棱PB，CD的中點(diǎn)．(1)證明：MN//平面PAD;(2)求平面PMN與平面AMN的夾角的余弦值．16.(本小題15分)(1)若曲線(xiàn)y=f(x)在x=—1處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(0,—3)，求實(shí)數(shù)a的值;17.(本小題15分)如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)匕且△AOD和△BOC的外接圓半徑相等．(1)若AB=2，求OA的長(zhǎng);18.(本小題17分)已知雙曲線(xiàn)且四點(diǎn)A(3,2)，B(2,6)，C(2,—6)，D(3,2)中恰有三點(diǎn)在E(1)求雙曲線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)如圖，P，Q，R分別為雙曲線(xiàn)E上位于第一、二、四象限的點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)0分別作直線(xiàn)PQ，PR的垂線(xiàn)，垂足分別為M，N，且(i)證明：Q，0，R三點(diǎn)共線(xiàn);(i)求△PQR面積的最小值．19.(本小題17分)已知數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為sn，且b1=1，2sn=nbn+1，當(dāng)數(shù)列{bn}的項(xiàng)數(shù)大于2時(shí)，將數(shù)列{bn}中各項(xiàng)的所有不同排列填入一個(gè)n!行n列的表格中(每個(gè)格中一個(gè)數(shù)字)，使每一行均為這n個(gè)數(shù)的一個(gè)排列.將第i(1≤i≤n!,i∈N)行的數(shù)字構(gòu)成的數(shù)列記作{ain}，將數(shù)列{ain}中的第j(1≤j≤n,j∈N)項(xiàng)記作aij.若對(duì)?i，j，均有aij≠bj，則稱(chēng)數(shù)列{ain}為數(shù)列{bn}的“異位數(shù)列”，記表格中“異位數(shù)列”的個(gè)數(shù)為M．(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn;(2)當(dāng)數(shù)列{bn}的項(xiàng)數(shù)為4時(shí)，求M的值;(3)若數(shù)列{ain}為數(shù)列{bn}的“異位數(shù)列”，試討論的最小值．2.B3.D4.A6.C7.C8.B9.ACD11.ABD15.(1)證明：取AB中點(diǎn)E，連接ME，NE，因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，N為CD的中點(diǎn)，所以EN//AD，因?yàn)镸為PB中點(diǎn)，所以ME//PA，因?yàn)镋N∩ME=E，EN、MEC平面MEN，所以平面MEN//平面PAD，因?yàn)镸NC平面MEN，所以MN//平面PAD．(2)解：由題，直線(xiàn)DA，DC，DP兩兩垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DP所在直線(xiàn)為X，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，P(0,0,4)，M(1,EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-),m)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(x),2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(y),4)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(z),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-),m)同理可得平面AMN的一個(gè)法向量為EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),n)=(2,2,—1)，EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up0(-),m)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up0(-→),n)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up2147483644(-),m)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up2147483644(-→EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up0(-),m)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up0(-→),n)所以平面PMN與平面DMN的夾角的余弦值為.所以線(xiàn)f(x)在x=—1處的切線(xiàn)方程為將點(diǎn)(0,3)代入得=3，解得a=e．(2)證明：f′(x)=axex—2，設(shè)g(x)=axex—2，則g′(x)=a(1+x)ex，當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)即f′(x)所以存在唯一的x0∈(1,2)，使得f′(x0)=0，即且當(dāng)x∈(∞,x0)時(shí)，f′(x0)<0，f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x0+∞)時(shí)，f′(x0)>0，f(x)單調(diào)遞增;所以當(dāng)<a<時(shí)，函數(shù)f(x)在x=x0處取得極小值，即為最小值，所以f(x)≥f(x0)=a(x0—1)ex0—因?yàn)椤鰽OD和△BOC的外接圓半徑相等，由正弦定理得所以BC=AD，即AD2=(2x)2+y22(2x)y×,(2)在△BOC中，由正弦定理得即在△AOD中，由正弦定理得即 18.解：(1)由題，點(diǎn)A(3,2)，B(2,6)，C(2,—6)，D(3,2)中恰有三點(diǎn)在E上，根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，點(diǎn)B(2,6)，C(2,—6)都在雙曲線(xiàn)上，又在第一象限內(nèi)，雙曲線(xiàn)的圖象是“上升的”，所以點(diǎn)D(3,2)不在雙曲線(xiàn)E上，所以點(diǎn)A(3,2)，B(2,6)，C(2,—6)為雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)，所以E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)(i)證明：由題可知直線(xiàn)PQ的斜率存在，設(shè)PQ:y=kx+m，由題知Δ>0，設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，則y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2所以所以O(shè)Q⊥OP，同理可得OP⊥OR，所以Q，O，R三點(diǎn)共線(xiàn)．(ii)因?yàn)镺P⊥OR，OM⊥PQ，所以△OMQ∽△PMO，所以，所以IPMI·IQMI=IOMI2=2，由(i)知，S△PQR=2S△PQO=IPQI.IOMI=2IPQI，又IPQI=IPMI+IQMI≥2IPMI.IQMI=22，當(dāng)且僅當(dāng)IPMI=IQMI=2時(shí)等號(hào)成立，所以△PQR面積的最小值為4．由2Sn=nbn+1得2Sn+1=(n+1)bn+2，兩式作差得2bn+1=(n+1)bn+2所以bn=n．(2)由(1)知，bn=n，所以bj=j(1?j?n,j∈N)，若數(shù)列{ain}為數(shù)列{bn}的“異位數(shù)列”，則：當(dāng)ai1=2時(shí)，ai2=1，ai3=4，ai4=3;或ai2=3，ai3=4，a同理當(dāng)ai1=3或ai1=4時(shí)，對(duì)應(yīng)的排列各有3種情況，所以M=9．(3)因?yàn)閿?shù)列{ain}為數(shù)列{bn}的“異位數(shù)列”，所以aij≠bj(1≤i≤n!,1≤j≤n,i,j∈N)，即aij≠j，所以Iaij—bjI=Iaij—jI≥1，所以ΣEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\u