第2課時6.4.3余弦定理、正弦定理【教學內容】正弦定理.【教學目標】（1）類比余弦定理的學習過程，能用向量法和作高法探究出正弦定理，發展邏輯推理核心素養；（2）區別余弦、正弦定理刻畫的邊角關系，能準確表達兩個定理解決的問題類型，發展學生分析與歸納能力；（3）能靈活選擇正弦、余弦定理解三角形，發展數學運算核心素養.【教學重點與難點】教學重點：正弦定理及應用.教學難點：正弦定理的探究，運用正弦定理解三角形時判斷解的情況.【教學過程設計】環節一回顧所學，提出問題問題1：我們上節課學習了余弦定理及其推論能解決哪兩類解三角形問題？師生活動：學生獨立作答：“已知兩邊及一角（SAS、SSA）”和“已知三邊（SSS）”.追問：（1）如果已知兩角和一邊，是否也有相應的直接解三角形的公式呢？（2）余弦定理及其推論中給出了角的余弦值與邊的關系，那正弦定理是否也能給出角的正弦值與邊的某種關系呢？師生活動：學生獨立思考，作答，教師引導學生類比余弦定理初步思考要學習的正弦定理內容為：解三角形和給出角的正弦值與邊的關系.設計意圖：提出問題幫助學生回顧上節課所學內容，類比余弦定理及其推論不僅可以解三角形，還體現了邊角關系的這兩點，引出本節課要學習的正弦定理，激發學生學習新知識的欲望，利用追問引導學生思考．環節二探究推導，得出定理圖6.49問題2：在中，三個角A,B,C所對的邊分別是a，b，c，已知A,B,a,求b圖6.49師生活動：教師引導學生分析,得出邊角關系式.上節課我們知道了勾股定理是余弦定理的特例，那我們不妨從熟悉的直角三角形的邊、角關系的分析入手.根據銳角三角函數，在中（如圖），有顯然，上述兩個關系式在一般三角形中不成立.觀察發現，他們有一個共同元素c，利用c把兩個式子聯系起來，可得.又因為，所以上式可以寫成邊與它的對角的正弦的比相等的形式，即.設計意圖：在直角三角形中，從量化的角度，結合銳角三角函數得出了在直角三角形中邊角關系式，為下一步學習打下基礎，同時培養學生觀察能力，邏輯推理和數學運算核心素養.問題3：以上關系式對于銳角三角形和鈍角三角形是否仍然成立？如果認為成立，你如何證明？師生活動：學生獨立思考，交流討論，教師根據學生作答情況總結.（1）學生若想到通過作高構造直角三角形證明，證明如下：①銳角三角形中：過A點作BC邊上的高AD，則有，，則，同理過B點作AC邊上的高BE，則有，，則，因此.②鈍角三角形中：過A點作BC邊上的高AD，則有，，則，同理過B點作AC邊上的高BE，則有，，則，因此.通過作高法，證明了在銳角三角形和鈍角三角形中上述關系式都是成立的.說明式中邊角關系在任意三角形中都存在.設計意圖：用作高法推導出在銳角三角形和鈍角三角形中關系式也成立.從直角三角形入手，結合三角形的分類，滲透了分類討論的思想，構建完整的思維脈絡，培養邏輯推理和數學運算核心素養.問題4：余弦定理也是刻畫邊角關系的，能否類比它的證明方法，你發現了有哪些不同？如何證明？師生活動：學生獨立思考，作答，教師提出問題引導，再歸納總結得出正弦定理.學生剛學習了用向量證明余弦定理，容易想到仍然采用向量方法研究.在向量運算中，兩個向量的數量積與長度、角度有關，這就啟示我們可以用向量的數量積來探究.教師引導：但是數量積運算中出現了角的余弦，而我們需要的是角的正弦，如何轉化為角的正弦？教師應給予學生思考的時間，適時適度地啟發.學生作答：聯想誘導公式，通過構造角之間的互余關系，把邊的余弦關系轉化為正弦關系，再由向量的加法法則推導出關系式.本問的完整解答過程見教科書第46頁.最后教師總結得出正弦定理，規范書寫板書.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即.正弦定理給出了任意三角形中三條邊與它們各自所對的角的正弦之間的定量關系.公式表達形式的統一性、對稱性，不僅展示了數學的和諧美，也更突顯了三角形邊角關系的本質.設計意圖：讓學生掌握類比余弦定理用向量去探究正弦定理的過程，滲透了類比的思想，同時也加強了向量在證明中的運用.由此得到正弦定理，完善學生的知識體系，培養學生邏輯推理和數學運算核心素養.問題6正弦定理中邊與其對的角的正弦的比值其實是三角形外接圓直徑，你能證明嗎？師生活動：學生獨立思考，教師根據學生情況進行引導和分析,最后教師總結得出正弦定理推論，規范書寫板書.我們以銳角三角形為例，證明過程如下.證明：設圓O半徑為R，過點O作邊BC的高，垂足為D.由于是的外接圓，有，由于是等腰三角形，則，，，根據一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，得所以，，所以，在中，有，因此，.同理可得，，.正弦定理推論：（1）（2）.其中，R為外接圓的半徑.設計意圖：結合等比性質和圓的性質，讓學生掌握正弦定理公式中的比值為三角形外接圓的直徑的證明過程，以及可以利用正弦定理進行邊角互化，培養了學生邏輯推理和數學運算核心素養.環節三例題練習，加深理解例1（教科書第47頁例7）在中，已知，，，解這個三角形.師生活動：學生獨立完成，規范書寫，教師根據學生完成情況，做點評和總結.解：由三角形內角和定理，得由正弦定理，得設計意圖：讓學生學會利用正弦定理解決“已知兩角及夾邊，解三角形”的問題，培養數學運算核心素養.例2在中，已知，，，求a，b和B.師生活動：學生獨立完成，規范書寫，教師引導學生分析本題與上一個例題都是“已知兩角和一邊”，例1是“已知兩角及夾邊”，而本例是“已知兩角和其中一角的對邊”，但都是利用正弦定理解三角形。教師根據學生完成情況，做點評和總結.解：由正弦定理，得.設計意圖：讓學生學會應用正弦定理解決“已知兩角和其中一角的對邊，解三角形”的問題，進一步熟練、鞏固定理，強化學生求解“已知兩角和一邊”這類基本解三角形問題的能力，培養數學運算核心素養.例3解三角形ABC.（1），，，求C；（2），，，求B；（3），，，求B.師生活動：學生獨立完成，規范書寫，教師根據學生完成情況，做點評和總結.解：（1）由正弦定理，得，，.（2）由正弦定理，得，,.（3）由正弦定理，得所以這樣的角B不存在.教師總結如下：已知兩邊和其中一邊的對角，三角形的形狀一般不確定，用正弦定理求解時，要根據條件來判斷這個三角形是否有解，有解時是一解還是兩解.判斷依據是同一三角形中大邊（角）對大角（邊）.若給出的角是銳角，這個角的對邊小于另一邊，則有兩解（如本例（1）），反之則只有一解（如本例（2））；若給出的角是鈍角，且這個角的對邊大于另一邊，則有一解，反之則無解.設計意圖：通過本例三個題，讓學生掌握“已知兩邊和其中一邊的對角”解三角形時判斷解的情況，培養學生分析問題的能力和數學運算素養.例4在中，已知，，，求A.師生活動：學生獨立完成，規范書寫，教師根據學生完成情況，做點評和總結.解法一：由余弦定理，得所以.又，所以A為銳角.由正弦定理，得,.解法二：由余弦定理，得所以.由余弦定理推論，得.由于，.教師總結：已知兩邊及夾角解三角形時，用正弦定理求角時，判斷解的情況應結合大邊對大角的性質.同時要根據題目具體給出的條件，靈活選擇余弦、正弦定理解三角形.設計意圖：通過本例，讓學生在解三角形問題時，能更好的根據題目中給定的條件，靈活地選擇余弦、正弦定理，培養學生分析問題的能力和數學運算素養.環節四小結提升，厘清重點問題4：請你帶著下列問題回顧本節課內容，并給出回答：（1）說出余弦、正弦兩個定理解三角形的問題類型.（2）運用正弦定理解三角形時如何判斷解的情況？（3）你認為余弦定理和正弦定理的相同和不同之處有哪些？師生活動：學生獨立回答，教師補充點評，師生共同歸納總結.（1）余弦定理：“已知兩邊及一角（SAS、SSA）”和“已知三邊（SSS）”正弦定理：“已知兩角及一邊（AAS、ASA）”和“已知兩邊和其中一邊的對角（SSA）”（2）判斷依據是同一三角形中大邊（角）對大角（邊）.若給出的角是銳角，這個角的對邊小于另一邊，則有兩解（如本例（1）），反之則只有一解（如本例（2））；若給出的角是鈍角，且這個角的對邊大于另一邊，則有一解，反之則無解.（3）①余弦定理和正弦定理都給出了具有統一性、對稱性、和諧美的公式；②都很好的刻畫了三角形中的邊角關系，可以利用兩個定理進行邊角互化；③都可以用向量的方法推導；不同之處在于①余弦定理公式中含有余弦值，正弦定理公式中含有正弦值，②解三角形的問題類型不同，讓解各種三角形的方法更加完善.設計意圖：進一步反思鞏固所學知識，厘清余弦、正弦定理解三角形的類型.明確用正弦定理解三角形時，如何判斷解的情況，培養學生歸納概括的能力，發展素養.環節五目標檢測，鞏固所學目標檢測：教科書第48頁練習1、2、3.設計意圖：通過3個練習題，檢測本堂課教學效果，對學生學習結果進行課堂測評，其中第1題（1）、第