高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省邯鄲市2023-2024學年高一下學期期末質量檢測數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.有三組數據（1）5，5，5，6，6，6，7，7，7；（2）4，4，5，5，6，7，7，8，8；（3）3，3，3，3，6，9，9，9，9.設它們的方差依次為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】數據（1）5，5，5，6，6，6，7，7，7的平均數和方差分別為；（2）4，4，5，5，6，7，7，8，8的平均數和方差分別為；（3）3，3，3，3，6，9，9，9，9的平均數和方差分別為，所以.故選：D.2.在復平面內，非零復數滿足（為虛數單位），則復數對應的點在（）A.一?三象限 B.二?四象限C.實軸上（除原點外） D.坐標軸上（除原點外）【答案】A【解析】設，由已知得，即，，故復數對應的點在一?三象限角平分線（除原點）上.故選：A.3.已知向量，且，則向量與向量的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，解得，由，，因此，而，所以.故選：C.4.已知的頂點坐標分別是，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】方法一：由，知，由余弦定理知，所以.方法二：如圖，由，知，.故選：A.5.設是兩個平面，是兩條直線，則下列命題為假命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】C【解析】對于選項A，由可得，又，所以，故A正確；對于選項B，由可得或，由線面平行性質知，存在直線滿足，又，所以，即平面經過平面的垂線，所以，故B正確；對于選項，由可得，當且滿足時，不滿足，故錯誤；對于選項D，由，可得，又，則β內一定存在直線和l平行，設為b，則，所以，故D正確.故選：C.6.在中，，平面內一點滿足，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，由余弦定理知為直角三角形，又，故是的外心且是斜邊的中點，為正三角形，由投影向量的幾何意義，向量在向量上的投影向量即為向量=.故選：C.7.在三棱錐中，平面，若該三棱錐的體積為，則其外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，將三棱錐補成三棱柱，則三棱錐和三棱柱的外接球相同，設分別為和的外心，則三棱柱的外接球球心為的中點，連接并延長交于點，則為的中點，連接，因為，所以，由正弦定理可得，所以，由，即，可得，則，則外接球的表面積.故選：B.8.甲?乙兩人各有一枚質地均勻的硬幣，甲拋擲2次，乙拋擲3次，事件“甲拋擲的兩次中第一次正面朝上”，事件“甲拋擲的兩次硬幣朝上的面相同”，事件“甲得到的正面數比乙得到的正面數少”，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】用表示甲第次拋擲的結果，那么甲拋擲兩次的結果可以用表示，用1表示正面向上，0表示反面向上，則樣本空間，所以不是的子集，，所以AB錯誤，對于事件，方法一：借助表格列舉如下，√√√√√√√√√√√√√√√√，又，所以C錯誤，D正確.方法二：設事件“甲得到的反面數比乙得到的反面數少”，則，下證事件與事件對立，若事件與事件同時發生，那么甲的正面數和反面數都比乙的少，那么甲拋的次數至少比乙少兩次，與題目矛盾；若事件與事件都不發生，那么甲的正面數和反面數都不比乙的少，那么甲拋的次數不比乙少，與題目矛盾；故事件與事件對立，所以，因為，所以C錯誤，D正確.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知非零向量，下列說法錯誤的是（）A.若，則B.若，則C.若，且∥，則D.若，則與垂直的單位向量的坐標為【答案】ACD【解析】因為均為非零向量，對于選項A：若，即，可知，無法得出，例如，滿足，但不成立，故錯誤；對于選項B：由知同向共線，則，故B正確；對于選項C：因為且∥，設，又因為，則，解得所以或，故C錯誤；對于選項D：設與垂直單位向量的坐標為，由題意可得，解得或，所以與垂直的單位向量的坐標為或，故D錯誤.故選：ACD.10.已知復數均不為0，則下列式子正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】設，則，故A錯誤；由復數的模的性質，故B正確；設，則，而，故C錯誤；，又，所以，故D正確.故選：BD.11.在中，內角所對的邊分別為，已知為線段上一點，則下列判斷正確的是（）A.為鈍角三角形B.的最大內角是最小內角的2倍C.若為中點，則D.若，則【答案】BCD【解析】由題知內角所對的邊分別為，由正弦定理可知，不妨設，則，對于A，由上知為最大邊，故為最大角，由余弦定理知，故為銳角，所以為銳角三角形，故錯誤；對于，由上知為最小角，且，又，知，且均為銳角，則，故B正確；對于，平方得，又，故，故C正確；對于D，由，得，又，所以，由，即，故，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某校高一年級有1250人，全年級學生的近視率為，男生中有390人近視.學校醫務室計劃通過抽樣的方法估計高一年級所有近視學生的平均度數.現從近視的學生中通過按比例分配的分層隨機抽樣的方法得到容量為100的樣本，樣本中男生的平均度數為300度，女生的平均度數為350度，則估計高一年級近視學生的平均度數為___________度.【答案】【解析】依題意高一年級女生近視人數為，則高一年級近視學生的平均度數為.故答案為：.13.在如圖所示的圓錐中，為底面圓的直徑，為的中點，，則異面直線與所成角的余弦值為___________.【答案】【解析】如圖，連接，分別取的中點，連接，則，則或其補角為異面直線與所成角，作于點，連接，由為中點可得，且，而，則，由余弦定理可得，則，則異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.14.已知是同一平面內一組不共線的向量，對于平面內任意向量，有且只有一對實數使，且當共線時，有.同樣，在空間中若三個向量不共面，那么對任意一個空間向量，存在唯一的在度實數組，使得，目當共面時，有.如圖，在四棱錐中，，點是棱的中點?與平面交于點，設，則___________；___________.【答案】【解析】方法一：，，又三點共線，即存在實數，使得，故，又，所以，所以，故，.方法二：過作，延長交于點，，連接，與的交點即為，由三角形相似可得，，故，.故答案為：2.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.為響應“強化學校體育工作，推動學生文化學習和體育鍛煉協調發展”的號召，現從某學校隨機抽取了100名學生，獲得了他們一周體育運動的時間（單位：），將數據繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的，并估計該校學生一周體育運動時間的平均數；（2）為鼓勵同學們積極參加體育運動，學校計劃對一周運動時間較長的前同學給予獎勵，若小華一周體育運動時間為9.4小時，他能否獲得獎勵？請說明理由.解：（1），該校學生一周體育運動時間的平均數的估計值為.（2）不能，理由如下：因為的頻率為，的頻率為，設前位數為，則，所以，解得，故小華不能獲得獎勵.16.如圖，在直三棱柱中，為的中點.（1）證明：平面；（2）若三棱柱的體積為，且，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）證明：如圖，連接交于點，連接，因為四邊形為矩形，所以為的中點，因為為的中點，所以，因為平面平面，所以平面.（2）因為，所以，所以，得，因為為的中點，所以，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，所以直線與平面所成角，因為在中，，，所以.17.如圖，在平面四邊形中，設.（1）求，（2）若，求為何值時，平面四邊形的面積最大？解：（1）由已知及正弦定理知，因為，故，又，所以，所以.（2）由（1）知，又，故為等邊三角形，設，，在中，由余弦定理知，所以，又，所以當，即時，平面四邊形面積最大，最大值為.18.龍年春晚精彩的魔術表演激發了人們探秘魔術的熱情，小明從一幅撲克牌中挑出10和共8張牌（每個數字四個花色：紅桃（紅色）?方塊（紅色）?黑桃（黑色）?梅花（黑色））.現從8張牌中依次取出2張，抽到一張紅10和一張紅即為成功.現有三種抽取方式，如下表：方式①方式②方式③抽取規則有放回依次抽取不放回依次抽取按數字等比例分層抽取成功概率（1）分別求出在三種不同抽取方式下的成功概率；（2）若三種抽取方式小明各進行一次，（i）求這三次抽取中至少有一次成功的概率；（ii）設在三種方式中僅連續兩次成功的概率為，那么此概率與三種方式的先后順序是否有關？如果有關，什么樣的順序使概率最大？如果無關，請給出簡要說明.解：（1）設方式①的樣本空間為，方式②的樣本空間為，方式③的樣本空間為，則，設事件“抽到一張紅10和一張紅”，（紅桃10，紅桃），（紅桃10，方塊），（方塊10，紅桃），（方塊10，方塊），（紅桃，紅桃10），（方塊，紅桃10），（紅桃，方塊10），（方塊，方塊10），故.（2）（i）記三次抽取至少有一次成功為事件，則.（ii）有關，按方式②③①或①③②抽取概率最大，方法一：設三次抽取成功的概率分別為（即為不同順序的一個排列），則，又，故此概率與三種方式的先后順序有關，按方式②③①或①③②抽取概率最大.方法二：若按①②③的順序，，同理①③②、②①③?②③①?③①②、③②①順序下的概率分別為，故此概率與三種方式的先后順序有關，按方式②③①或①③②抽取概率最大.19.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側棱底面，點在棱上.（1）證明：平面平面；（2）當時，求二面角的正切值；（3）過且與都平行的平面分別交于，若，當