高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1廣東省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊(cè)至選擇性必修第三冊(cè)第七章7.2．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意得,所以.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)的模為，實(shí)部為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，，由，得，所以.故選：D.3.已知函數(shù)的最小正周期為，則圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，所以．令，則，當(dāng)時(shí)，，所以圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為．故選：D.4.已知雙曲線：的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，可得，故雙曲線的漸近線方程為．故選：A.5.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為f'x，，且f'x的圖象如圖所示，則的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)時(shí)，f'x≥0，則.因?yàn)椋缘闹涤驗(yàn)?故選：D.6.已知兩個(gè)等差數(shù)列1，5，9，…，和1，6，11，…，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，且的前n項(xiàng)和為，則（）A.910 B.900 C.890 D.880【答案】A【解析】因?yàn)閮蓚€(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)均為1，公差分別為4，5，所以an是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，則．故選：A.7.內(nèi)蒙古某地引進(jìn)了先進(jìn)的污水、雨水過(guò)濾系統(tǒng)．已知過(guò)濾過(guò)程中廢水的污染物濃度N（單位：mg/L）與時(shí)長(zhǎng)t（單位：h）的關(guān)系為（為最初污染物濃度）．如果前2h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%還需要（）A.3h B.4h C.5h D.6h【答案】B【解析】由題意知，時(shí)，，可得．設(shè)，則，解得，因此，污染物消除至最初的51.2%還需要4h．故選：B.8.某種產(chǎn)品的加上需要經(jīng)過(guò)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七道工序，要求A，B兩道工序必須相鄰，C，D兩道工序不能相鄰，則不同的加工順序有（）A.960種 B.836種C.816種 D.720種【答案】A【解析】先捆綁再和排列，然后插入共有種排法．故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共l8分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知拋物線C：上的兩點(diǎn)M，N與焦點(diǎn)F的距離之和為10，M，N到x軸的距離的平方和為32，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則p的值可能為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】BD【解析】設(shè),由題意得,得,,解得或.故選：BD.10.已知數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且，則（）A. B.是遞增數(shù)列C.是等差數(shù)列 D.【答案】ABD【解析】因?yàn)椋瑒t，且，可知數(shù)列是以首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列，則，即.對(duì)于選項(xiàng)A：，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋允沁f增數(shù)列，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)閿?shù)列是以首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列，所以不是等差數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：，故D正確；故選：ABD.11.“新高考”后，普通高考考試科目實(shí)行“”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)這4門(mén)科目中選擇2門(mén)作為再選科目．甲、乙兩名同學(xué)各自從這4門(mén)科目中任意挑選2門(mén)科目學(xué)習(xí)．記事件A表示“甲、乙兩人中恰有一人選擇生物學(xué)”，事件B表示“甲、乙兩人都選擇了生物學(xué)”，事件C表示“甲、乙兩人所選科目完全相同”，事件D表示“甲、乙兩人所選科目不完全相同”，則（）A.B與C相互獨(dú)立 B.C. D.【答案】BCD【解析】因?yàn)椋裕訠與C不相互獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋裕蔅正確；因?yàn)椋裕蔆正確；因，所以D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．【答案】280【解析】二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.13.已知向量，若，則______；若，則______．【答案】;【解析】若，則，所以．若，則，得，所以（舍去）或，故．14.已知樣本數(shù)據(jù)為1，a，b，7，9，該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，則這組樣本數(shù)據(jù)的方差的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】因?yàn)槠骄鶖?shù)為，所以．因?yàn)榉讲睿裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以方差的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且．（1）求；（2）若，面積為，證明：是等腰三角形．解：（1）由正弦定理得，則，即．因?yàn)椋裕茫?）由（1）得．由，得．由余弦定理，得．由，得或即或，所以是等腰三角形．16.如圖，在三棱柱中，，點(diǎn)在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）證明:平面.（2）求二面角的正弦值.解：（1）如圖，設(shè)為在底面射影，連接，則平面.因?yàn)槠矫鍭BC，所以,又為BC的中點(diǎn)，，所以,因?yàn)槠矫嫫矫妫嗥矫?又為的中點(diǎn)，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，∴平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.在三棱柱中，，所以，則.由（1）知平面，則是平面的一個(gè)法向量，因?yàn)椋遥?設(shè)平面的法向量為，則即設(shè)，得，所以，則，所以二面角的正弦值為.17.隨著科技不斷發(fā)展，人工智能技術(shù)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，某科技公司發(fā)明了一套人機(jī)交互軟件，它會(huì)從數(shù)據(jù)庫(kù)中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答．該人機(jī)交互軟件測(cè)試階段，共測(cè)試了1000個(gè)問(wèn)題，測(cè)試結(jié)果如下表：回答正確回答錯(cuò)誤問(wèn)題中存在語(yǔ)法錯(cuò)誤100300問(wèn)題中沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤500100結(jié)果顯示問(wèn)題中是否存在語(yǔ)法錯(cuò)誤會(huì)影響該軟件回答問(wèn)題的正確率，依據(jù)測(cè)試結(jié)果，用頻率近似概率，解決下列問(wèn)題．（1）測(cè)試2個(gè)問(wèn)題，在該軟件都回答正確的情況下，求測(cè)試的2個(gè)問(wèn)題中恰有1個(gè)問(wèn)題存在語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率；（2）現(xiàn)輸入3個(gè)問(wèn)題，每個(gè)問(wèn)題能否被軟件正確回答相互獨(dú)立，記軟件正確回答的問(wèn)題個(gè)數(shù)為，求的分布列．解：（1）記“輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤”為事件，“回答正確”為事件，由測(cè)試結(jié)果知，，，，所以．記“測(cè)試的個(gè)問(wèn)題都回答正確”為事件，“測(cè)試的個(gè)問(wèn)題中恰有個(gè)存在語(yǔ)法錯(cuò)誤”為事件，則，，所以．（2）由（1）可得，則的可能取值為，，，，所以，，，，所以的分布列為012318.已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求a，b；（2）若，，求a的取值范圍.解：（1）因?yàn)椋裕郑裕深}意，又即，兩式聯(lián)立解得.（2）由，得，即，當(dāng)時(shí)，R，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，記，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上，a的取值范圍為.19.已知橢圓的焦距為4，圓與橢圓C有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）已知?jiǎng)又本€l過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)F，且與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)．試問(wèn)x軸上是否存在定點(diǎn)R，使得為定值？若存在，求