高級中學名校試題PAGEPAGE1廣東省茂名市信宜市2023-2024學年高二下學期4月期中考試數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號填寫在答題卡指定的位置上．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案涂黑；如需改動，擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案：不準使用鉛筆和涂改液不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將答題卡交回．一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.從A地到B地要經過C地，已知從A地到C地有三條路，從C地到B地有四條路，則從A地到B地不同的走法種數是（）A.7 B.9 C.12 D.16【答案】C【解析】根據題意分兩步完成任務：第一步：從A地到C地，有3種不同的走法；第二步：從C地到B地，有4種不同的走法，根據分步乘法計數原理，從A地到B地不同的走法種數：種，故選：C.2.已知函數的導函數為，且，則（）A.2 B. C.10 D.5【答案】C【解析】由題意可得：.故選：C.3.用5種不同顏色給圖中的A、B、C、D四個區域涂色，規定一個區域只涂一種顏色，相鄰的區域顏色不同，共有（）種不同的涂色方案．A.180 B.360 C.64 D.25【答案】A【解析】第一步涂A，有種涂法，第二步涂B，和A不同色，有種涂法，第三步涂C，和AB不同色，有種涂法，第四步涂D，和BC不同色，有種涂法，由分步乘法技術原理可知，一共有種涂色方案，故選：A.4.氣象資料表明，某地區每年七月份刮臺風的概率為，在刮臺風的條件下，下大雨的概率為，則該地區七月份既刮臺風又下大雨的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設某地區每年七月份刮臺風為事件A,設某地區每年七月份下大雨為事件B,則該地區七月份既刮臺風又下大雨為事件AB，由題得,所以,所以.故選：B5.垃圾分類的目的是提高垃圾的資源價值和經濟價值，減少垃圾處理量和處理設備的使用，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會、經濟和生態等多方面的效益．為配合垃圾分類在學校的全面展開，某學校舉辦了一次垃圾分類知識比賽活動．高一、高二、高三年級分別有名、名、名同學獲一等獎．若將上述獲一等獎的名同學排成一排合影，要求同年級同學排在一起，則不同的排法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】A【解析】將三個年級的學生分別捆綁，形成三個“大元素”，考慮三個“大元素”之間的順序及各“大元素”內部之間的順序，由分步乘法計數原理可知，不同的排法種數為種.故選：A.6.第24屆冬奧會奧運村有智能餐廳A、人工餐廳B，運動員甲第一天等可能的隨機選擇一餐廳用餐，如果第一天去A餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.7；如果第一天去B餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.8．運動員甲第二天去A餐廳用餐的概率為（）A.0.75 B.0.7 C.0.56 D.0.38【答案】A【解析】設“第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去A餐廳用餐”，則，且與互斥，根據題意得：，，，則.故選：A.7.將6名優秀教師分配到5個不同的學校進行教學交流，每名優秀教師只分配到1個學校，每個學校至少分配1名優秀教師，則不同的分配方案共有（）A.2400種 B.1800種 C.1200種 D.1600種【答案】B【解析】將6名教師分組，只有一種分法，即1,1,1,1,2，共有，再排列得，故選：B.8.設函數，若是函數是極大值點，則函數的極小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴，∵x=1是函數的極大值點，∴，解得，∴，∴當時，單調遞增；當時，單調遞減；當x>2時，單調遞增；∴當x=2時，有極小值，且極小值為．故選A．二?多選題；本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得分，有選錯的得0分．9.若隨機變量服從兩點分布，且，記的均值和方差分別為和，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】因為隨機變量服從兩點分布，且，所以，所以，，，.故選：AB.10.已知二項式的展開式中共有8項，則下列說法正確的有（）A.所有項的二項式系數和為128 B.所有項的系數和為1C.二項式系數最大的項為第5項 D.有理項共4項【答案】ABD【解析】由已知得，展開式共有項，故，故二項式為，所以二項式系數之和為，故A正確；令，可知所有項的系數之和為，故B正確；二項式系數的最大的項的上標為，故二項式系數最大的項為第4，5項，故C錯誤；通項為，，1，，7，當，2，4，6時為有理項，共4項，故D正確．故選：ABD．11.對于函數圖象上任意一點，都存在另外一點，使得的圖象在這兩個不同點處的切線互相平行，則稱函數具有性質，下列函數中不具有性質的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】函數具有性質，等價于對于導函數值域中任意值，至少有兩個不同的解．對于A，，當時，只有唯一的解，故函數不具有性質；對于B，只有唯一的解，故函數不具有性質；對于C，是周期函數，對于任意的，有無數個解，故函數具有性質；對于D，在上單調遞減，當時，不存在兩個解，故函數不具有性質．故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在的展開式中，含的項的系數是______．【答案】【解析】因為，所以含的項為：，所以含的項的系數是．故答案為：．13.從這5個數中任取2個不同的數，已知取到的兩數之積為正數，則取到的兩數均為負數的概率是__________．【答案】【解析】從這5個數中任取2個不同的數有種取法，其中滿足兩數之積為正數的有種取法，滿足兩數之積為正數且兩數均為負數的有種取法，記“兩數之積為正數”為事件，“兩數均為負數為事件,所以，所以，所以已知取到的兩數之積為正數，則取到的兩數均為負數的概率是.故答案為：.14.設函數是奇函數的導函數,,當時,,則使得成立的的取值范圍是__________．【答案】【解析】構造，則當時，，在上遞增，∵奇函數，∴為偶函數，在上遞減，，當時，，；當時，，，綜上：使得成立的的取值范圍是

故答案為：．四?解答題本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟．15.某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.解：（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因為，所以小明應選擇先回答類問題．16.已知函數在處的切線方程為．（1）求、的值；（2）求的極值點，并計算兩個極值之和．解：（1）因為的定義域為，，因為，曲線在處的切線方程為，，可得，，可得.（2）由，得，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數的極大值點為，極大值為，極小值點為，極小值為，所以，函數的極大值和極小值為.17.為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用32年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位；）滿足關系：，設為隔熱層建造費用與32年的能源消耗費用之和．（1）求的表達式；（2）隔熱層修建多厚時，總費用達到最小，并求最小值．解：（1）每年能源消耗費用為，建造費用為，∴.（2）因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以當時，取得最小值，∴當隔熱層修建6cm厚時，總費用最小，最小值為112萬元.18.《中華人民共和國老年人權益保障法》規定，老年人的年齡起點標準是60周歲．為解決老年人打車難問題，許多公司均推出老年人一鍵叫車服務．某公司為調查老年人對打車軟件的使用情況，在某地區隨機抽取了100位老年人，調查結果整理如下：年齡/歲80歲以上使用過打車軟件人數41201151未使用過打車軟件人數13963（1）從該地區的老年人中隨機抽取1位，試估計該老年人的年齡在且未使用過打車軟件的概率；（2）從參與調查的年齡在且使用過打車軟件的老年人中，隨機抽取2人進一步了解情況，用X表示這2人中年齡在的人數，求隨機變量X的分布列及數學期望；（3）為鼓勵老年人使用打車軟件，該公司擬對使用打車軟件的老年人贈送1張10元的代金券，若該地區有5000位老年人，用樣本估計總體，試估計該公司至少應準備多少張代金券．解：（1）在隨機抽取的100位老年人中，年齡在且未使用過打車軟件的人數為，所以隨機抽取的這1位老年人的年齡在且未使用過打車軟件的概率．（2）由題可知，X的所有可能取值為0，1，2，且，，．所以X的分布列為X012P故X的數學期望．（3）在隨機抽取的100位老年人中，使用過打車軟件的共有（人），所以估計該公司至少應準備張代金券．19.已知函數，.（1）討論函數的單調區間；（2）若，證明：；（3）當時，恒成立，求的取值范圍.解：（1）的定義域為，，當時，，的單調遞增區間為，無單調遞減區間；當時，由，得，由，得，所以函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.綜上所述：