高級中學名校試題PAGEPAGE1廣東省茂名市化州市2023-2024學年高二下學期4月期中數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必填寫答題卷上的有關項目．2．選擇題每小題選出答案后，把答案填在答題卷相應的位置上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卷的整潔．考試結束后，將答題卷交回．一、單項選擇題：本大題共8個小題，每個小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，所以.故選：C.2.已知，復數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，所以．故選：B．3.曲線在處的切線方程為（）A. B. C.2x-y-1=0 D.【答案】B【解析】求導得到,，將代入原函數，得到，即切點；將代入導函數，得到，即切線斜率．運用點斜式得到切線方程為，化簡得到一般式.故選：B.4.將5名大學生分配到4所學校支教，每名大學生必須去一所學校，每所學校至少有一名大學生，則不同的分配方法有（）種．A.60 B.120 C.240 D.480【答案】C【解析】5名大學生分成滿足題意的4組，只有分組形式，即只有一所學校有2人，其余都是1人，則選2人組成一組剩余3人各自成組，然后將四組分到四所學校，因此，共有（種）.故選：C.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，則，所以，故選：A.6.已知雙曲線的漸近線過點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由雙曲線，可得漸近線為：，把點代入漸近線方程：，得，解得.故選：D.7.過點P(-1,1)直線與圓相切于點，則（）A.4 B.16 C. D.17【答案】B【解析】圓，即圓的圓心為，半徑，點P(-1,1)到圓心的距離，所以，=16.故選：B8.如圖中，圖象對應的函數解析式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由圖象可知函數關于原點對稱，故為奇函數，對于A，，故函數為偶函數，不符合，對于B,，根據圖象可知，4處的函數值不超過5，故B不符合，對于C，由于，顯然不符合，故選：D二、多項選擇題：本大題共3個小題，每個小題6分，共18分．每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，選齊全對的得6分，漏選答案得相應分，錯選和不選得0分．9.的展開式中，下列結論正確的是（）A.所有項的系數之和為0 B.常數項為C.所有項的二項式系數之和為64 D.展開式共6項【答案】ABC【解析】對于A，令，則所有項的系數之和為，故A正確；對于B，展開式的通項為，令，得，所以常數項為，故B正確；對于C，所有項的二項式系數之和為，故C正確；對于D，展開式共7項，故D錯誤；故選：ABC.10.已知函數，則下列結論中正確的是（）A.函數在上單調遞減B.函數的極小值點為C.函數無極大值D.函數在上的最大值為【答案】BCD【解析】因為，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以A錯誤，B正確，C正確；在上遞減，在上遞增，，，所以函數在上的最大值為，D正確.故選：BCD.11.正方體中，為的中點，為正方體表面上一個動點，則（）A.當在線段上運動時，與所成角的最大值是B.若在上底面上運動，且正方體棱長為1，與所成角為，則點的軌跡長度是C.當在面上運動時，四面體的體積為定值D.當在棱上運動時，存在點使【答案】CD【解析】對于A，如圖一，在正方體中，易知，所以與所成角等價于與所成的角，當為中點時，，此時所成角最大，為，故A錯誤.對于B，如圖二，因為棱垂直于上底面，且與所成角為，所以在中，，由圓錐的構成可知所在的軌跡是以為圓心1為半徑的弧，軌跡長度是，故B錯誤.對于C，如圖三，因為在面內，面到平面的距離等于，而面積不變，故體積為定值，故C正確.對于D，如圖四，以為原點，為軸建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1，，因為，由，所以，故D正確.故選：CD.三、填空題：本大題共3個小題，每個小題5分，共15分．12.在等差數列中，，則數列的前項和__________.【答案】【解析】設等差數列的首項與公差，則有，解得，故.故答案為：13.中，已知，，，那么_________．【答案】【解析】，，，則，解得.且，由正弦定理得到.故答案為：.14.過雙曲線（，）的左焦點作圓的切線，切點為，直線交直線于點．若，則雙曲線的離心率為_____.【答案】【解析】如圖，由，設直線的方程為，，由直線與圓相切，可得，解得，即直線的方程為，由，可得直線的方程為，與切線的方程聯立，可得，，由，可得，，若，則，化為，即，即為，則．故答案為：．四、解答題：本大題共5個小題，滿分共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.化州市宏達廣場的惠客多超市準備在2024年五一假期舉辦了一場有獎銷售活動，并且設置一等獎、二等獎和三等獎，其中三等獎有4種獎品供選擇，每種獎品都有若干個，凡是在該商場消費的人均可參與抽獎，消費者抽中三等獎后可從4種獎品中隨機選擇一種，每種獎品被選中的可能性相同，且每位消費者抽中三等獎的概率均為．（1）求甲、乙2位消費者均抽中三等獎且2人最終選擇的獎品不一樣的概率；（2）若有4位消費者均抽中三等獎，記三等獎的4種獎品中無人挑選的獎品種數為，求隨機變量的分布列．解：（1）設事件為“甲、乙2位消費者均抽中三等獎且2人最終選擇的獎品不一樣”，由三等獎有4種獎品供選擇，故甲、乙2位消費者的選擇情況共有（種），其中2人最終選擇的獎品不一樣的情況有（種），因為每位消費者抽中三等獎的概率均為，所以，．（2）由題，的所有可能取值為0，1，2，3，由題知，4個人挑選了4種獎品，共有種情況，表示4個人挑選了4種獎品，所以；表示4個人挑選了3種獎品，故有2個人選中同一種獎品，所以；當表示4個人挑選了2種獎品，從4種獎品中選2種獎品的方法有（種），對于被選中的2種獎品，4個人不同的選擇方法有（種），所以有2種獎品被選中的方法有（種），所以，；當表示4個人挑選了同一種獎品，所以．所以的分布列為012316.如圖所示,在四棱錐中，底面是梯形，且，，若，，.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的正弦值.解：（1）∵，∴，又，∴，∵，，且，平面，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）以的中點為坐標原點，過點與平行的直線為軸，，所在直線分別為，軸建立空間直角坐標系如圖∴，，，，∴，，，，設平面的一個法向量m=x1,y取，平面的一個法向量，設平面的一個法向量n=x2,y取，平面的一個法向量，∴，設二面角的平面角為，則17.已知函數（1）當時，求函數的單調區間；（2）若恒成立，求實數的取值范圍．解：（1）當時，函數，其定義域為0,+∞令得+0-單調遞增極大值單調遞減所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為．（2）由可得令，下面求gx在0,+∞令∴在0,+∞上單調遞減且所以當時，；當時，．于是當時，，gx在上單調遞增；當時，，gx在上單調遞減；所以gx的最大值為故．18.橢圓的焦距是，長軸長是短軸長3倍，任作斜率為的直線與橢圓交于兩點（如圖所示），且點在直線的左上方.（1）求橢圓的方程；（2）若，求的面積；（3）證明：的內切圓的圓心在一條定直線上．解：（1）由題意知：，得，又，所以，故橢圓的方程為：；（2）設直線的方程為：，代入橢圓方程可得：，設，,則，所以，又，解得或，由題意可得t<0，故所在直線方程為，即，所以點到直線的距離，故的面積為；（3）設直線的方程為：，代入橢圓方程可得：，設，,則，所以，又即，所以的角平分線平行軸，故的內切圓的圓心在一條定直線上.19.如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的比都大于2，則稱這個數列為“G型數列”．（1）若數列滿足，，求證：數列是“G型數列”．（2）若數列的各項均為正整數，且，為“G型數列”，記，數列為等比數列，公比q為正整數，當不是“G型數列”時，求數列的通項公式．（3）在（2）的條件下，令，記的前n項和為，是否存在正整數m，使得對任意的，都有成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．解：（1）①，當時，②，由得，當時，，所以數列和