22.3實際問題與二次函數

第1課時實際問題與二次函數（1）

【知識與技能】

1.能根據實際問題構造二次函數模型.

2.能用拋物線的頂點坐標來確定二次函數的最大（小）值問題.

【過程與方法】

通過對“矩形面積”、“銷售利潤”等實際問題的探究，讓學生經歷數學建模

的基本過程，體會建立數學模型的思想.

【情感態度】

體會二次函數是一類最優化問題的模型，感受數學的應用價值，增強數學的

應用意識.

【教學重點】

用二次函數的最大值（或最小值）來解決實際應用問題.

【教學難點】

將實際問題轉化為數學問題，并用二次函數性質進行決策.

一、情境導入，初步認識

問題從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h(單位：m)與小球的運動時

間t(單位：s)之間的關系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球運動的時間是多少時，小球

最高？小球運動中的最大高度是多少？

教師以課件形式展示教材中的圖，并向學生提問：

（1）圖中拋物線的頂點在哪里？

（2）這個拋物線的頂點是否是小球運動的最高點？

（3）小球運動至最高點的時間是什么時間？

（4）通過前面的學習，你認為小球運行軌跡的頂點坐標是什么？

【教學說明】教師通過以上問題讓學生體會：求最值問題都可轉化為求拋物

線的頂點坐標，引導學生看圖時，要讓學生明白為什么圖象只有t軸上面的一部

分.

二、思考探究，獲取新知

探究用總長為60m的籬笆圍成一個矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長l

的變化而變化.

（1）你能求出S與l之間的函數關系式嗎？

（2）此矩形的面積能是200m2嗎？若能，請求出此矩形的長、寬各是多少？

（3）此矩形的面積能是250m2嗎？若能，請求出x的值；若不能，請說明

理由.

（4）當l是多少米時，場地的面積S最大？最大值是多少？

【設計及教學說明】設計上述問題的目的一方面是讓學生了解從實際問題中

構建數學模型的思想方法并幫助學生思考，另一方面通過對問題（2）、（3）的思

考回顧上節所學過知識，加深函數與方程的聯系的理解.在教學時，教師可讓學

生自主探究，針對問題（3）、（4）教師可作適當提示，讓學生盡量獨立完成，從

而體驗成功的喜悅，進而完成本節知識的初步學習.

【歸納結論】學生經歷上述問題的思考探究后，可歸納出以下建立二次函數

模型解決實際問題的步驟：①從問題中，分析出什么是自變量，什么是因變量；

②分析問題中的數量關系，列出函數關系式；

③研究自變量的取值范圍；

④研究所得函數，找出最值；

⑤檢驗x的取值是否在自變量的取值范圍內，并求相關的值；

⑥應用二次函數的性質解決提出的實際問題.

三、運用新知，深化理解

1.如圖，用12m長的木條，做一個有橫檔的矩形窗子，為使透進的光線最多，

則窗子的橫檔長為（）

A.0.5米

B.1米

C.2米

D.2.5米

2.已知等腰三角形的面積S與底邊x有如下關系:S=-5x2+10x+14,要使S有最

大值，則x=.

3.如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,AB=12cm,點P是AB邊

上的一個動點，過點P作PE⊥BC,PF⊥AC,當PB=時，四邊形PECF的面積最大，

最大值為.

4.張大爺要圍成一個矩形花圃，花圃的一邊利用足夠長的墻，另三邊用總長

為32米的籬笆恰好圍成.圍成的花圃是如圖所示的矩形.設AB邊的長為x米，矩

形ABCD的面積為S平方米.

（1）求S與x之間的函數關系式（不要求寫自變量x的取值范圍）；

（2）當x為何值時，S有最大值？并求出其最大值.

5.如圖所示，在邊長為24cm的正方形紙片ABCD上，剪去圖中陰影部分的

四個全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個長方體形狀的包裝

盒（A、B、C、D四個頂點正好重合于上底面上一點）.已知E、F在AB邊上，

是被剪去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=BF=x(cm).

（1）若折成的包裝盒恰好是個正方體，試求這個包裝盒的V;

（2）某廣告商要求包裝盒的表面（不含下底面）面積S最大，試問x應取

何值？

【教學說明】1.可讓全班同學自主探究，獲得結論.教師在學生探究過程中，

應適當予以提示，幫助學生度過難關，如第4題中設AB=xm時，則BC=（32-2x）

322x

m.避免出現BC=m的錯誤.

2

2.解決此類問題，一般先應用幾何圖形的面積公式，寫出圖形的面積與邊長

之間的關系，再用配方法或公式法求出頂點坐標，結合二次函數的性質與自變量

的取值范圍確定最大面積.教師通過學生對上述題目的探索，分析，幫助他們總

結思路方法，鞏固新知.

四、師生互動，課堂小結

1.通過本節課的學習你有什么收獲？

2.你覺得這節課有哪些問題需要特殊關注的？談談自己的看法.

3.建立函數模型解決實際問題有哪些步驟？

1.布置作業：從教材習題22.3中選取.

2.完成練習冊中本課時練習的“課后作業”部分.

二次函數是描述現實世界變量之間關系的重要模型，也是某些單變量最優化

的數學模型，如最大利潤、最大面積等實際問題，因此本課時主要結合這兩類問

題進行了一些探討.生活中