第4講函數(shù)奇偶性與周期性1/34考綱要求考點(diǎn)分布考情風(fēng)向標(biāo)1.結(jié)合詳細(xì)函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性含義.2.會利用函數(shù)圖象了解和研究函數(shù)性質(zhì)年新課標(biāo)第3題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性；年新課標(biāo)第16題考查函數(shù)奇偶性、最值；年綱領(lǐng)第13題考查函數(shù)周期性；年新課標(biāo)Ⅱ第15題考查函數(shù)奇偶性與周期性；年新課標(biāo)Ⅰ第5題考查抽象函數(shù)奇偶性；年新課標(biāo)Ⅰ第13題考查函數(shù)奇偶性；年新課標(biāo)Ⅱ第14題利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)值本節(jié)復(fù)習(xí)時應(yīng)結(jié)合詳細(xì)實例和函數(shù)圖象，了解函數(shù)奇偶性、周期性、對稱性概念，明確它們在研究函數(shù)中作用和功效.重點(diǎn)處理綜合利用函數(shù)性質(zhì)處理相關(guān)問題2/34函數(shù)定義等價形式圖象性質(zhì)奇函數(shù)對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)f(－x)＋f(x)＝0關(guān)于原點(diǎn)對稱偶函數(shù)對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)f(－x)－f(x)＝0關(guān)于_____對稱1.函數(shù)奇偶性y軸3/342.函數(shù)周期性

對于函數(shù)f(x)，假如存在一個非零常數(shù)T，使得定義域內(nèi)每一個x值，都滿足f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)周期.4/341.(年新課標(biāo)Ⅱ)偶函數(shù)

y＝f(x)圖象關(guān)于直線x＝2對稱，f(3)＝3，則f(－1)＝_______.3

解析：因為y＝f(x)圖象關(guān)于直線x＝2對稱，所以f(1)＝f(3)＝3.又因為y＝f(x)為偶函數(shù)，所以f(－1)＝f(1)＝3.5/342.(年新課標(biāo)Ⅱ)已知函數(shù)

f(x)是定義在R上奇函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，0)時，f(x)＝2x3＋x2，則f(2)＝_______.12

解析：∵f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，且f(x)是R上奇函數(shù)，∴f(2)＝－f(－2)＝12.6/34則()3.若函數(shù)f(x)＝3x＋3－x與g(x)＝3x－3－x定義域均為R，

A.f(x)與g(x)均為偶函數(shù)

B.f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)

C.f(x)與g(x)均為奇函數(shù)

D.f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)B解析：∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù).而g(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－g(x)，∴g(x)為奇函數(shù).7/344.設(shè)f(x)為定義在R上奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝2x＋A2x＋b(b為常數(shù))，則f(－1)＝( A.－3 C.1

)B.－1D.3

解析：因為f(x)為定義在R上奇函數(shù)，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.所以當(dāng)x≥0時，f(x)＝2x＋2x－1，即f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2×1－1)＝－3.8/34A9/34考點(diǎn)1判斷函數(shù)奇偶性

例1：(1)(年新課標(biāo)Ⅰ)設(shè)函數(shù)

f(x)，g(x)定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則以下結(jié)論中正確是(

)A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)10/34解析：依題意，得對任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，所以，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)g(x)]，f(x)g(x)是奇函數(shù)，A錯；|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函數(shù)，B錯；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函數(shù)，C正確；|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函數(shù)，D錯.答案：C11/34(2)(年廣東)以下函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)是()答案：A解析：

記f(x)＝x＋ex，則f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1，f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).依題可知B，C，D依次是奇函數(shù)、偶函數(shù)、偶函數(shù).故選A.12/34(3)(年北京)以下函數(shù)中為偶函數(shù)是()

解析：依據(jù)偶函數(shù)定義f(－x)＝f(x)，選項A為奇函數(shù)，選項B為偶函數(shù)，選項C定義域為(0，＋∞)，不含有奇偶性，選項D既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).故選B.

答案：BA.y＝x2sinxB.y＝x2cosxC.y＝|lnx|D.y＝2－x13/34(4)(年湖南)設(shè)函數(shù)

f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，則f(x)是()

A.奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)

B.奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)

C.偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)

D.偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)

解析：f(x)定義域為(－1,1)，關(guān)于原點(diǎn)對稱.又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù).顯然，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.故選A.

答案：A14/34(5)以下函數(shù)為奇函數(shù)是()15/34答案：A16/34

【規(guī)律方法】判斷函數(shù)奇偶性方法：

①定義法：第一步先看函數(shù)f(x)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，若不對稱，則為非奇非偶函數(shù).第二步直接或間接利用奇偶函數(shù)17/34②圖象法：利用奇偶函數(shù)圖象對稱性來判斷.分段函數(shù)奇偶性判斷慣用圖象法；

③復(fù)合函數(shù)奇偶性判斷：若復(fù)合函數(shù)由若干個函數(shù)復(fù)合而成，則復(fù)合函數(shù)奇偶性可依據(jù)若干個函數(shù)奇偶性而定，概括為“同奇為奇，一偶則偶”；④抽象函數(shù)奇偶性判斷：應(yīng)充分利用定義，巧妙賦值，經(jīng)過合理、靈活變形配湊來判斷.18/34【互動探究】1.(年廣東肇慶三模)在函數(shù)y＝xcosx，y＝ex＋x2，y＝y(tǒng)＝xsinx中，偶函數(shù)個數(shù)是()A.3個C.1個B.2個D.0個B19/34考點(diǎn)2依據(jù)函數(shù)奇偶性求參數(shù)值(范圍)答案：120/34

(2)(年湖南)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數(shù)，則a＝________.

解析：由題意知，f(x)定義域為R，所以f(－1)＝f(1).從21/34答案：D22/34

【規(guī)律方法】已知函數(shù)奇偶性，求函數(shù)解析式中參數(shù)值常慣用待定系數(shù)法：先利用f(x)±f(－x)＝0得到關(guān)于待求參數(shù)恒等式，再利用恒等式性質(zhì)列方程求解.23/34考點(diǎn)3函數(shù)奇偶性與周期性綜合應(yīng)用

例3：(1)(年山東)已知f(x)是定義在R上偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2).若當(dāng)x∈[－3,0]時，f(x)＝6－x，則f(919)＝________.

解析：由

f(x＋4)＝f(x－2)，得T＝6,f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6.

答案：624/34A.－2B.－1C.0D.225/34所以f(6)＝f(1).又因為當(dāng)－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x).所以f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2.答案：D26/3427/34由①②，得a＝2，b＝－4，從而a＋3b＝－10.答案：－1028/34

【規(guī)律方法】本題考查函數(shù)奇偶性與周期性，屬于基礎(chǔ)題.在包括函數(shù)求值問題中，可利用周期性f(x)＝f(x＋T)，化函數(shù)值自變量到已知區(qū)間或相鄰區(qū)間，若是相鄰區(qū)間，則再利用奇偶性轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，由函數(shù)式求值即可.29/34【互動探究】A2.已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當(dāng)x∈(0,2)時，f(x)＝2x2，則f()＝()A.－2B.2C.－98D.98

解析：∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4為周期周期函數(shù).∴f()＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1).又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f()＝－2.30/34

易錯、易混、易漏⊙函數(shù)對稱性質(zhì)判斷例題：定義在R上奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(－x)，當(dāng)A.減函數(shù)，且f(x)<0B.減函數(shù)，且f(x)>0C.增函數(shù)，且f(x)>0D.增函數(shù)，且f(x)<031/34

解析：因為