第5節直線、平面垂直判定及其性質最新考綱1.以立體幾何定義、公理和定理為出發點，認識和了解空間中線面垂直相關性質與判定定理；2.能利用公理、定理和已取得結論證實一些空間圖形垂直關系簡單命題.1/381.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直定義假如一條直線l與平面α內________直線都垂直，就說直線l與平面α相互垂直.知

識

梳

理任意2/38(2)判定定理與性質定理

文字語言圖形表示符號表示判定定理一條直線與一個平面內________________都垂直，則該直線與此平面垂直性質定理

兩直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線_______兩條相交直線l⊥al⊥ba?αb?α平行a⊥αb⊥α3/382.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直定義兩個平面相交，假如它們所成二面角是___________，就說這兩個平面相互垂直.直二面角4/38(2)判定定理與性質定理

文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面經過另一個平面一條_______，則這兩個平面相互垂直性質定理假如兩個平面相互垂直，則在一個平面內垂直于它們_______直線垂直于另一個平面垂線l⊥αl?β交線α⊥βα∩β＝al⊥al?β5/38[慣用結論與微點提醒]1.垂直關系轉化6/38(1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內任意直線.(2)若兩條平行線中一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.(3)垂直于同一條直線兩個平面平行.(4)過一點有且只有一條直線與已知平面垂直.(5)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.2.直線與平面垂直五個結論7/38診斷自測1.思索辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)直線l與平面α內無數條直線都垂直，則l⊥α.(

)(2)垂直于同一個平面兩平面平行.(

)(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內任意一條直線垂直于另一個平面.(

)(4)若平面α內一條直線垂直于平面β內無數條直線，則α⊥β.(

)8/38解析(1)直線l與平面α內無數條直線都垂直，則有l⊥α或l與α斜交或l?α或l∥α，故(1)錯誤.(2)垂直于同一個平面兩個平面平行或相交，故(2)錯誤.(3)若兩個平面垂直，則其中一個平面內直線可能垂直于另一平面，也可能與另一平面平行，也可能與另一平面相交，也可能在另一平面內，故(3)錯誤.(4)若平面α內一條直線垂直于平面β內全部直線，則α⊥β，故(4)錯誤.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)×9/382.(必修2P56A組7T改編)以下命題中錯誤是(

) A.假如平面α⊥平面β，那么平面α內一定存在直線平行于平面β B.假如平面α不垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線垂直于平面β C.假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D.假如平面α⊥平面β，那么平面α內全部直線都垂直于平面β解析對于D，若平面α⊥平面β，則平面α內直線可能不垂直于平面β，即與平面β關系還能夠是斜交、平行或在平面β內，其它選項易知均是正確.答案

D10/383.(·浙江卷)已知相互垂直平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(

) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n

解析因為α∩β＝l，所以l?β，又n⊥β，所以n⊥l，

故選C.

答案

C11/384.(·全國Ⅲ卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD中點，則(

) A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC

解析如圖，由題設知，A1B1⊥平面BCC1B1且BC1?平面BCC1B1，從而A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E?平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.答案C12/3813/38答案

B14/386.(必修2P67練習2改編)在三棱錐P－ABC中，點P在平面ABC中射影為點O， (1)若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC________心. (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC________心.解析(1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O為△ABC外心.圖1圖215/38(2)如圖2，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，∴AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB高.同理可證BD，AH分別為△ABC邊AC，BC上高，即O為△ABC垂心.答案(1)外(2)垂16/38考點一線面垂直判定與性質【例1】

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC中點.證實：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.17/38證實(1)在四棱錐P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC中點，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.18/38又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.規律方法

(1)證實直線和平面垂直慣用方法有：①判定定理；②垂直于平面傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行性質(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直性質(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l?β?l⊥α).(2)證實線面垂直關鍵是證線線垂直，而證實線線垂直則需借助線面垂直性質.所以，判定定理與性質定理合理轉化是證實線面垂直基本思想.19/38求證：PA⊥CD.20/3821/38考點二面面垂直判定與性質【例2】

(·江蘇卷)如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.22/38證實(1)在平面ABD內，AB⊥AD，EF⊥AD，則AB∥EF.∵AB?平面ABC，EF?平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD?平面ABD，∴BC⊥AD.又AB⊥AD，BC，AB?平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC，又因為AC?平面ABC，∴AD⊥AC.23/38規律方法

(1)證實平面和平面垂直方法：①面面垂直定義；②面面垂直判定定理.(2)已知兩平面垂直時，普通要用性質定理進行轉化，在一個平面內作交線垂線，轉化為線面垂直，然后深入轉化為線線垂直.24/38【訓練2】

(·山東卷)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱錐C1－B1CD1后得到幾何體如圖所表示.四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD交點，E為AD中點，A1E⊥平面ABCD.(1)證實：A1O∥平面B1CD1；(2)設M是OD中點，證實：平面A1EM⊥平面B1CD1.25/38證實(1)取B1D1中點O1，連接CO1，A1O1，因為ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，所以四邊形A1OCO1為平行四邊形，所以A1O∥O1C，又O1C?平面B1CD1，A1O?平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.26/38(2)因為AC⊥BD，E，M分別為AD和OD中點，所以EM⊥BD，又A1E⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以A1E⊥BD，因為B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1，又A1E，EM?平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM，又B1D1?平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.27/38考點三平行與垂直綜合問題(多維探究)命題角度1多面體中平行與垂直關系證實【例3－1】

如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為AB，BC中點，點F在側棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求證：(1)直線DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.28/38證實

(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因為D，E分別為AB，BC中點，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又因為DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F，所以直線DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因為A1C1?平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又因為A1C1⊥A1B1，A1A?平面ABB1A1，29/38A1B1?平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因為B1D?平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又因為B1D⊥A1F，A1C1?平面A1C1F，A1F?平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因為直線B1D?平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.30/38規律方法

(1)三種垂直綜合問題，普通經過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間轉化.(2)垂直與平行結合問題，求解時應注意平行、垂直性質及判定綜合應用.31/38命題角度2平行垂直中探索性問題【例3－2】

如圖所表示，平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC＝CE，點F為CE中點.(1)證實：AE∥平面BDF.(2)點M為CD上任意一點，在線段AE上是否存在點P，使得PM⊥BE？若存在，確定點P位置，并加以證實；若不存在，請說明理由.32/38(1)證實連接AC交BD于O，連接OF，如圖①.∵四邊形ABCD是矩形，∴O為AC中點，又F為EC中點，∴OF為△ACE中位線，∴OF∥AE，又OF?平面BDF，AE?平面BDF，∴AE∥平面BDF.33/38(2)解當P為AE中點時，有PM⊥BE，證實以下：取BE中點H，連接DP，PH，CH，∵P為AE中點，H為BE中點，∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四點共面.∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD