第十章計數原理、概率、隨機變量及其分布1/45第四節隨機事件概率

微知識小題練微考點大課堂微考場新提升2/45☆☆☆考綱考題考情☆☆☆考綱要求真題舉例命題角度1.了解隨機事件發生不確定性和頻率穩定性，了解概率意義及頻率與概率區分；2.了解兩個互斥事件概率加法公式。，全國卷Ⅱ，18,12分(隨機事件概率)，北京卷，17,13分(用頻率預計概率)，陜西卷，19,12分(用頻率預計概率)，福建卷，20,12分(用頻率預計概率)1.多以選擇題或填空題形式直接考查互斥事件概率及運算，而隨機事件相關概念和頻率極少直接考查；2.互斥事件、對立事件發生概率問題有時也會出現在解答題中，多為應用問題。3/45微知識小題練

教材回扣基礎自測4/45自|主|排|查1．事件(1)在條件S下，____________事件，叫做相對于條件S必定事件。(2)在條件S下，_____________事件，叫做相對于條件S不可能事件。(3)在條件S下，____________________事件，叫做相對于條件S隨機事件。可能發生也可能不發生

一定會發生

一定不會發生

5/452．概率和頻率(1)在相同條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否發生，稱n次試驗中事件A發生次數nA為事件A發生頻數，稱事件A發生百分比fn(A)＝_____為事件A發生頻率。(2)對于給定隨機事件A，因為事件A發生頻率fn(A)伴隨試驗次數增加穩定于概率P(A)，所以能夠用__________來預計概率P(A)。頻率fn(A)

6/453．事件關系與運算定義符號表示包含關系假如事件A發生，則事件B_________，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)___________相等關系若B?A，且______，那么稱事件A與事件B相等______并事件(和事件)若某事件發生當且僅當_____________________，則稱此事件為事件A與事件B并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(積事件)若某事件發生當且僅當____________________，則稱此事件為事件A與事件B交事件(或積事件)__________互斥事件若A∩B為_______事件，那么稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對立事件若A∩B為_______事件，A∪B為__________，那么稱事件A與事件B互為對立事件A∩B＝?且A∪B＝U一定發生B?A(或A?B)A?BA＝B

事件A發生或事件B發生事件A發生且事件B發生A∩B(或AB)

不可能不可能

必定事件

7/454.概率幾個基本性質(1)概率取值范圍：___________。(2)必定事件概率P(E)＝____。(3)不可能事件概率P(F)＝____。(4)概率加法公式：假如事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝_____________。(5)對立事件概率：若事件A與事件B互為對立事件，則A∪B為必定事件，P(A∪B)＝____，P(A)＝________。1－P(B)

0≤P≤1

1

0P(A)＋P(B)

1

8/45微點提醒1．頻率與概率有本質區分，不可混為一談。頻率伴隨試驗次數改變而改變，概率卻是一個常數。當試驗次數越來越多時，頻率向概率靠近。2．隨機事件和隨機試驗是兩個不一樣概念，沒有必定聯絡。在一定條件下可能發生也可能不發生事件叫隨機事件；條件每實現一次，叫做一次試驗，假如試驗結果試驗前無法確定，叫做隨機試驗。3．對立事件是互斥事件，是互斥中特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”必要不充分條件。9/45小|題|快|練一、走進教材1．(必修3P121練習T4)一個人打靶時連續射擊兩次，事件“最少有一次中靶”互斥事件是()A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶【解析】

射擊兩次結果有：一次中靶；兩次中靶；兩次都不中靶，故最少一次中靶互斥事件是兩次都不中靶。故選D。【答案】

D10/4511/45【解析】

事件A發生概率近似等于該頻率穩定值。故選A。【答案】

A12/452．從裝有5個紅球和3個白球口袋內任取3個球，那么互斥而不對立事件是()A．最少有一個紅球與都是紅球B．最少有一個紅球與都是白球C．最少有一個紅球與最少有一個白球D．恰有一個紅球與恰有兩個紅球【解析】

A中兩個事件不互斥，B中兩事件互斥且對立，C中兩個事件不互斥，D中兩個互斥而不對立。故選D。【答案】

D13/4514/4515/454．從某班學生中任意找出一人，假如該同學身高小于160cm概率為0.2，該同學身高在[160,175]概率為0.5，那么該同學身高超出175cm概率為________。【解析】

由對立事件概率可求該同學身高超出175cm概率為1－0.2－0.5＝0.3。【答案】

0.316/455．先后拋擲一枚硬幣三次，則最少一次正面朝上概率是________。17/45微考點大課堂

考點例析對點微練18/45【典例1】(1)從1,2,3，…，7這7個數中任取兩個數，其中：①恰有一個是偶數和恰有一個是奇數；②最少有一個是奇數和兩個都是奇數；③最少有一個是奇數和兩個都是偶數；④最少有一個是奇數和最少有一個是偶數。上述事件中，是對立事件是()A．① B．②④C．③ D．①③考點一隨機事件關系19/45(2)設條件甲：“事件A與事件B是對立事件”，結論乙：“概率滿足P(A)＋P(B)＝1”，則甲是乙()A．充分無須要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也無須要條件20/4521/4522/45【解析】

至多有一張移動卡包含“一張移動卡，一張聯通卡”“兩張全是聯通卡”兩個事件，它是“2張全是移動卡”對立事件，故選A。【答案】

A23/45【典例2】某險種基本保費為a(單位：元)，繼續購置該險種投保人稱為續保人，續保人本年度保費與其上年度出險次數關聯以下：隨機調查了該險種200名續保人在一年內出險情況，得到以下統計表：考點二隨機事件概率上年度出險次數01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a出險次數01234≥5頻數60503030201024/45(1)記A為事件：“一續保人本年度保費不高于基本保費”，求P(A)預計值；(2)記B為事件：“一續保人本年度保費高于基本保費但不高于基本保費160%”。求P(B)預計值；(3)求續保人本年度平均保費預計值。25/4526/45(3)由所給數據得調查200名續保人平均保費為0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a。所以，續保人本年度平均保費預計值為1.1925a。【答案】

(1)0.55(2)0.3(3)1.1925a保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.0527/45反思歸納1.概率與頻率關系頻率反應了一個隨機事件出現頻繁程度，頻率是隨機，而概率是一個確定值，通慣用概率來反應隨機事件發生可能性大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率預計值。2．隨機事件概率求法利用概率統計定義求事件概率，即經過大量重復試驗，事件發生頻率會逐步趨近于某一個常數，這個常數就是概率。28/45【變式訓練】隨機抽取一個年份，對西安市該年4月份天氣情況進行統計，結果以下：(1)在4月份任取一天，預計西安市在該天不下雨概率；(2)西安市某學校擬從4月份一個晴天開始舉行連續2天運動會，預計運動會期間不下雨概率。日期12345678910天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴日期11121314151617181920天氣陰晴晴晴晴晴陰雨陰陰日期21222324252627282930天氣晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨29/4530/45【典例3】某超市為了了解用戶購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機搜集了在該超市購物100位用戶相關數據，以下表所表示。考點三互斥事件與對立事件概率一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上用戶數(人)x3025y10結算時間(分鐘/人)11.522.5331/45已知這100位用戶中一次購物量超出8件用戶占55%。(1)確定x，y值，并預計用戶一次購物結算時間平均值；(2)求一位用戶一次購物結算時間不超出2分鐘概率。(將頻率視為概率)32/4533/4534/4535/45【變式訓練】國家射擊隊隊員為在射擊世錦賽上取得優異成績，正在加緊備戰，經過近期訓練，某隊員射擊一次命中7～10環概率以下表所表示：求該射擊隊員射擊一次：(1)射中9環或10環概率；(2)命中不足8環概率。命中環數10環9環8環7環概率0.320.280.180.1236/45【解析】

記事件“射擊一次，命中k環”為Ak(k∈N，k≤10)，則事件Ak彼此互斥。(1)記“射擊一次，射中9環或10環”