第第頁四川省2024-2025學年高三下學期第一次教學質量聯合測評（2月聯考）數學試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的．）1．已知集合A=x1≤x≤10,?B=A．1,3,5,7,9 B．2,5,8C．1,4,7,10 D．1,2,4,5,7,8,102．已知復數z=2?bi，若z2為純虛數，則b=A．0 B．±1 C．±2 D．±33．從小到大排列的一組數據1,?2,?4,?x,?7,?9的中位數等于平均數，則x=（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．64．已知an為等比數列，若a4+a5A．1 B．2 C．4 D．85．函數fx=xx2?2A．?3 B．?1 C．0 D．36．已知a>0,b>0，則“ab>1”是“a+b>2”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>0,?b>0的左、右焦點分別為F1、F2，M是C上一點，P、Q分別是MA．2 B．23 C．25 8．已知正實數a,?b,?c，且a>b，若2aA．b>c,?2b≥a+c B．b<c,?2b≤a+cC．b>c,?2b≤a+c D．b<c,?2b≥a+c二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合要求，全部選對的得6分，部分選對的得都分分，有選錯的得0分．）9．已知隨機變量X的分布列如下，則（）X1234P4p3p2ppA．p=0.2 B．PX<3=0.7 C．EX10．已知菱形ABCD的邊長為2，∠DAB=60°，將△BCD沿對角線BD向上折起，得到平面BDC'，二面角C'A．當φ=90°時AB⊥B．當φ=90°時，二面角B?ACC．當cosφ=13D．當cosφ=13時，四面體11．已知函數fx滿足：?x,?y∈R,?fx+y+fA．f0=1 C．f?x=fx D．若三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡的橫線上．）12．函數f(x)=12x13．若x=13是函數fx=sinπx+acosπx14．如圖，設Ox、Oy是平而內相交成60°角的兩條數軸，e1、e2分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量．對于平面內任意一點P，若向量OP=xe1+ye2，則記Px,y，dOP=x+y．已知平面內兩點M四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出文宇說明、證明過程或演算步驟．）15．在△ABC中，已知內角A,?B,?C的對邊分別為a,?b,?c，D為線段BC上一點，AD=1．（1）若D為BC的中點，且∠BAC=π3，求（2）若AC=2AB,?BD=12DC16．已知地物線C:y2=2pxp>0，直線l:y=x+t．當t=1（1）求C的方程；（2）若l與C交于兩個不同的點A,?B，設AB的中點為M，過點M平行于x軸的直線與C交于點N，求AB217．在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AA1=2,?AC=BC，l（1）若AC=2，求△PAC的面積；（2）若平面AA1B與平面A1B18．某保險公司隨機選取了200名不同駕齡的投保司機，調查他們投保后一年內的索賠情況，結果如下：單位：人一年內是否索賠駕齡合計不滿10年10年以上是10515否9095185合計100100200（1）依據小概率值α=0.1的獨立性檢驗，分析表中的數據，能否據此推斷司機投保后一年內是否索賠與司機的駕齡有關？（2）保險公司的大數據顯示，每年投保的新司機索賠的概率為p，投保的老司機索賠的概率均為qp≠q．假設投保司機中新司機的占比為β0<β<1.隨機選取一名投保司機，記事件“這名司機在第i年索賠”為Ai，事件“這名司機是新司機”為B（i）證明：PA（ii）證明：PA附：χ2α0.10.050.01χ2.7063.8416.63519．已知定義在R上的函數fx滿足f0=0，且?x1,x2∈Rx1<x（1）若fx是“1?階梯函數”，且當x∈0,?1時，fx（2）已知fx滿足：①f5=aa∈R；②（i）證明：fx是“2?階梯函數”的必要條件是“a∈（ii）若所有滿足條件①②的函數fx均為“2?階梯函數”，猜想a

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因為A=x故A∩B=2,?5,?8故答案為：B.【分析】根據元素與集合的關系得出集合B，再結合已知條件和交集的運算法則，從而得出集合A∩B.2．【答案】C【解析】【解答】解：因為z2=2?bi2=4?b2?4bi，又因為故答案為：C.【分析】由復數的乘法運算法則結合純虛數的定義，從而得出b的值.3．【答案】C【解析】【解答】解：從小到大排列的一組數據1,?2,?4,?x,?7,?9的中位數等于平均數，則1+2+4+x+7+96=4+x故答案為：C.【分析】根據平均數和中位數的求解公式結合已知條件，從而得出x的值.4．【答案】B【解析】【解答】解：設等比數列an的公比為q，

由a4+a5由a1+a2+故答案為：B.【分析】根據已知條件結合等比數列的性質求出公比的值，再結合等比數列的性質得出a25．【答案】D【解析】【解答】解：因為函數fx若fa=aa所以f?a故答案為：D.【分析】利用已知條件結合函數的奇偶性，從而計算得出f?a6．【答案】A【解析】【解答】已知a>0,b>0充分性：若ab>1，因為a2+b2≥2ab，所以(a+b)必要性：若a+b>2，則當a=3，b=13時，因此“ab>1”是“a+b>2”的充分不必要條件.故答案為：A

【分析】利用不等式的性質推出“ab>1”是“a+b>2”的充分不必要條件。7．【答案】C【解析】【解答】解：記c=a2?b2，

所以，MF12因為四邊形OPMQ的面積為52，

故△MF1F2的面積為5，即S因為MF1+MF則4a2=4c2因此，雙曲線C的短軸長為2b=25故答案為：C.

【分析】利用勾股定理推出MF1⊥MF2，分析可知△MF1F28．【答案】A【解析】【解答】解：因為2a?3a?b+3c?b因為a>b，所以6a又因為6a?b?13b?c?1=3又因為6a?b所以6a?b?1<3b?c?1，即6所以b>c,?2b>a+c.故答案為：A.【分析】將2a?3a?b+3c?b=1+2b變形為9．【答案】B,D【解析】【解答】解：由4p+3p+2p+p=1，可得p=0.1，因為PX<3則EXDX故答案為：BD.【分析】由隨機變量的分布列的性質、數學期望、方差的計算公式，從而逐項判斷找出正確的選項.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：對于A，如下圖所示，取AD與AC'的中點，分別為E,F，連接OE,OF,EF，

則OE//AB,EF//C'D，所以異面直線當φ=90°時，由題意可知，∠AOC'為二面角C'?BD?A的平面角，

即∠AOC'=90°，所以OF=12AC'，

又因為菱形所以cos∠OEF=12對于B，取AC'的中點為F，連接DF,BF，

因為AD=DC',AB=BC'，所以DF⊥AC',BF⊥AC',

因此由題意知BD=2，所以cos∠DFB=1022+102對于C，當cosφ=13時，

由題意易知∠AOC'為二面角C'?BD?A的平面角，所以cos∠AOC'=對于D，由選項C知，四面體ABC由圖可知，正四面體ABC'D的外接球的直徑為正方體的體對角線長度，

又因為AE=BE,AE2+B所以四面體ABC'D故答案為：BCD.

【分析】通過平行得出異面直線所成的角，再利用余弦定理計算判斷出選項A；通過二面角的定義作出二面角的平面角，再結合余弦定理計算判斷出選項B；結合選項A的結論，利用余弦定理求出AC'的長度，即可判斷選項C；結合選項C的結論，將四面體放入正方體中，再由正四面體ABC'D的外接球的直徑為正方體的體對角線長度結合勾股定理得出四面體ABC'11．【答案】A,C【解析】【解答】解：對于A，令x=1，?y=0，因為f1≠0，所以設fx=顯然滿足條件，但是f1對于C，令x=0，fy所以fy又因為y∈R，所以fx即f?x對于D，設f(x)=cos但最小正周期是6π故答案為：AC.

【分析】利用賦值法結合已知條件，從而判斷出選項A、選項B和選項C；通過賦值法結合已知條件得出函數fx12．【答案】（0,1）【解析】【解答】函數的定義域為(0,+∞)，且f'(x)=x?1求解不等式：x2結合函數的定義域可得：0<x<1，則函數f(x)=1

【分析】利用對數函數定義域求解方法結合二次函數定義域求解方法，再利用交集的運算法則求出函數f(x)的定義域，再利用求導的方法判斷函數的單調性，從而求出函數f(x)=113．【答案】?3【解析】【解答】解：因為函數fx=sinπx+acosπx，

所以又因為x=13是函數fx=sinπx+acosπx的一個極大值點，所以π2?πa×3則f3故答案為：?3【分析】先根據已知條件求出導函數，再利用極大值點計算得出a的值，則由代入法和函數的解析式得出f314．【答案】43；【解析】【解答】解：當x2≥0，y2此時，點N的軌跡表示以點2,0、0,2的線段；當x2≤0，y2此時，點N的軌跡表示以點?2,0、0,?2的線段；當x2≤0，y2此時，點N的軌跡表示以點?2,0、0,2的線段；當x2≥0，y2此時，點N的軌跡表示以點2,0、0,?2的線段；如下圖所示：記點A2,0、B0,2、C?2,0則點N的軌跡為四邊形ABCD，因為OA=2e1=2故四邊形ABCD為矩形，且∠AOB=60所以，點N的軌跡圍成的圖形面積為4S由平面向量數量積的定義可得e1所以，OM2因為dOMOM=1x12+x1y1+y1所以，dOM當且僅當x1=?12時等號成立，故故答案為：43；2.

【分析】對x2、y2的符號進行分類討論，從而確定點N的軌跡，則作出其圖形，再計算出該圖形的面積，從而得出點N的軌跡圍成的圖形面積；先計算得出dOMOM=115．【答案】（1）解：因為AD=12則AD2=所以S△ABC=1所以△ABC的面積的最大值為33（2）解：因為BD→=1記∠ADB=α,?∠ADC=β，

則cosα+cosβ=0，

由余弦定理得解得9+2a在△ABD中，∠BAD=π6，

則a2聯立方程組則有9+2a2?18另解：由已知條件得ACAB=DCBD，所以因為∠BAD=π6，所以由面積關系得12×1×csinπ6【解析】【分析】（1）由題意和向量的模的計算公式結合基本不等式求最值的方法，從而可得bc的取值范圍，再利用三角形面積公式得出△ABC面積的最大值.（2）記∠ADB=α,?∠ADC=β，利用余弦定理可得9+2a2?18c2另解：利用角平分線性質定理和三角形內角和定理，從而推出∠CAD=π（1）因為AD=12則有AD2=所以S△ABC=1所以△ABC的面積的最大值為33（2）因為BD→=記∠ADB=α,?∠ADC=β，則有cosα+cosβ=0解得9+2a在△ABD中，∠BAD=π6，則a2聯立方程組則有9+2a2?18另解：由條件得ACAB=DCBD，所以因為∠BAD=π6，所以由面積關系得12×1×csin16．【答案】（1）解：當t=12時，聯立y2因為l與C有且僅有一個交點，

所以Δ=4p2所以拋物線C的方程為y2???????（2）解：依題意，

聯立y2=2xx=y?t，得因為l與C交于不同的兩點，所以Δ=4?8t>0，即t<設Ax1,?因為Mx1+x2AB2MN=1?t?12=1【解析】【分析】（1）利用已知條件，聯立直線方程和拋物線方程，由交點個數得到判別式的等式，從而求出p的值，進而得到拋物線方程.（2）利用韋達定理和弦長公式以及中點坐標公式，從而得到AB2和MN，進而得出AB（1）當t=12時，聯立y2因為l與C有且僅有一個交點，所以Δ=4p2所以C的方程為y2（2）聯立y2=2xx=y?t因為l與C交于不同的兩點，所以Δ=4?8t>0，即t<設Ax1,?因為Mx1+AB2MN=1?t?1217．【答案】（1）解：因為AB=2，?AC=BC，AC=2，所以S△BAC在直三棱柱ABC?A1B又因為A1C1?平面A1BC1，AC?平面因為AC?平面ABC，l=平面ABC∩平面A1BC1，又因為B∈l，P∈l，

所以S△PAC（2）解：解法一：如圖，以A1B1設OC1=aa>0，所以A1設平面A1BC則n1?A1B=0n1?因為n2=1,?0,?0所以cosn解得a=1，所以AC=解法二：由題意可知，平面AA1B與平面A1B如圖，取A1B1因為A1C1=B1C1，所以OC1⊥A1因為A1B1∩AA1=A1所以OC1⊥過點O作A1B的垂線，垂足為H，連接所以∠C1HO因為AB=AA1=2，A1ABB1又因為O為A1B1的中點，OH⊥A1設OC所以cos∠C1HO=22【解析】【分析】（1）利用線面平行的性質定理得出線線平行，再利用線線平行得出S△PAC=S（2）利用兩種方法求解.

方法一：利用已知條件建立空間直角坐標系，再利用空間向量求出平面AA1B與平面A（1）因為AB=2，?AC=BC，所以S在直三棱柱ABC?A1B又A1C1?平面A1BC1，因為AC?平面ABC，l=平面ABC∩平面A1BC又B∈l，P∈l，所以S△PAC（2）解法一：如圖，以A1B1設OC1=a所以A1設平面A1BC則n1?A1B=0n因為n2=1,?0,?0所以cosn解得a=1，所以AC=解法二：由題意可知，平面AA1B與平面A如圖，取A1B1的中點O，因為A因為在直三棱柱ABC?A1B1C1因為A1B1∩AA1=A1所以OC1⊥過點O作A1B的垂線，垂足為H，連接所以∠C1HO因為AB=AA1=2，A1AB又O為A1B1的中點，OH⊥設OC所以cos∠解得a=1，所以AC=A18．【答案】（1）解：零假設為H0根據表中數據，計算得χ2根據小概率值α=0.1的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷H0因此可以認為H0（2）（i）解：根據條件概率的定義，得出：PA（ii）證：由題意得P由（i）中的結論和已知條件得：PPA由概率的性質知PA由全概率公式得出：PA根據條件概率的定義，得出：PA因為PA1>0，所以要證PA2即證p?q2ββ?1<0，

因為所以PA式子PA【解析】【分析】（1）根據卡方獨立性檢驗的方法，從而認為司機投保后一年內是否索賠與司機的駕齡無關.（2）（i）根據已知條件和條件概率公式證出PA（ii）根據題意可知PB=β,?PB=1?β,?PAiB（1）零假設為H0根據表中數據，計算得χ2根據小概率值α=0.1的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷H0因此可以認為H0（2）（i）根據條件概率的定義，PA（ii）由題意PB由（i）中的結論及已知得PAPA由概率的性質知PA由全概率公式，PA根據條件概率的定義，PA因為PA1>0，所以要證P即證p?q2ββ?1<0.因為所以PA式子PA19．【答案】（1）解：∵當x∈0,?1時，fx=kx?1+2，∴f1=2，

∵fx是1?階梯函數，∴gx=fx+1?fx是常數，

由于f0=0，所以這個常數為g0=f1?f0=2，

∴fx+1=fx+2，

當k=0時，（2）（i）證明：由題意得fx+2?fx=1或fx+2?fx=3，

當fx+2?fx=1時，即當fx+2=fx+1時，

∵f0=0，∴f2=1，

根據已知條件得出f0≤f1≤f2，∴0≤f1≤1，

因為a=f5=f3+1=f1+2，∴2≤a≤3，

當fx+2?fx=3，同理可得6≤a≤9，

所以fx為2?階梯函數的必要條件是a∈2,?3∪6,?9．

（ii）解：猜想下面證明這個結論．

當2≤a≤3時，構造函數fx=fx+2?1,?x<4,2,?x=4,a,?4<x<6,fx?2+3,?x≥6，gx=1,?x<4,3,?3≥4，fx不是2?階梯函數；

當6≤a≤7時，構造函數fx=fx+2?3,x<4,6,?x=4,a,?4<x<6,fx?2+1,?x≥6，gx=3,?x<4,1,?x≥4，fx不是2?階梯函數；

當8≤a≤9時，構造函數fx=fx+2?3,x≤4,a,?4<x<6,9,?x=6,fx?2+