第第頁上海市靜安區2024-2025學年高三上學期期末教學質量調研（一模）數學試題一、填空題（本大題共12小題，滿分54分）第1小題至第6小題每個空格填對得4分，第7小題至第12小題每個空格填對得5分，考生應在答題紙的相應編號后填寫答案，否則一律得零分.1．設集合A=1,3,5,7,B=2,3,4,5，則2．不等式|2x?1|<3的解集為.3．已知i是虛數單位，m+i1?2i是純虛數，則實數m的值為4．設an是等差數列，a1=?6,a35．到點F1(?3,0),F2(3,0)6．在△ABC中，已知BC=5,AC=4,A=2B，則cosB的值為.7．已知物體的位移d（單位：m）與時間t（單位：s）滿足函數關系d=5sint?2cost，則該物體在t=π2s時刻的瞬時速度為8．若用t替換命題“對于任意實數d，有d2≥0，且等號當且僅當d=0時成立”中的d，即可推出平均值不等式“任意兩個正數的算術平均值不小于它們的幾何平均值，且等號當且僅當這兩個正數相等時成立”.則t=9．以雙曲線x24?y210．如圖所示，小明和小寧家都住在東方明珠塔附近的同一幢樓上，小明家在A層，小寧家位于小明家正上方的B層，已知AB=a.小明在家測得東方明珠塔尖的仰角為α，小寧在家測得東方明珠塔尖的仰角為β，則他倆所住的這幢樓與東方明珠塔之間的距離d=.11．記fx=x2+a212．已知lgx1?lgx2?二、選擇題（本大題共4小題，滿分18分）第13題?14題各4分，第15題?16題各5分.每題有且僅有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑.13．設a,b∈R，則“a+b>0”是“a>0且b>0”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件14．污水處理廠通過清除污水中的污染物獲得清潔用水并生產肥料.該廠的污水處理裝置每小時從處理池清除掉12%的污染殘留物.要使處理池中的污染物水平降到最初的10%，大約需要的時間為（）（參考數據：lg0.88≈?0.0555A．14小時 B．18小時 C．20小時 D．24小時15．我國古代數學著作《九章算術》中將四個面都是直角三角形的空間四面體叫做“鱉臑”.如圖是一個水平放置的△ABC,CD⊥AB,∠A=30°,∠B=45°.現將Rt△ACD沿CD折起，使點A移動到點AA．60° B．90° C．arctan2 16．在四棱錐P?ABCD中，AB=A．4 B．3 C．2 D．1三、解答題（本大題共5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟.17．設函數fx（1）求函數y=fx（2）求不等式fx18．已知向量a=cos3x（1）求a·b及（2）記fx=a19．如圖所示，正三棱錐A?BCD的側面是邊長為2的正三角形.（1）求正三棱錐A?BCD的體積V；（2）設E?F?求證：①CD//平面EFG；②若平面EFG交BD于點H，則四邊形EFHG是正方形.20．如圖的封閉圖形的邊緣由拋物線Γ和垂直于拋物線對稱軸的線段AB組成.已知AB=4，拋物線的頂點到線段AB所在直線的距離為2.（1）請用數學符號語言表達這個封閉圖形的邊緣；（2）在該封閉圖形上截取一個矩形CDEF，其中點C?D在線段AB上，點E?F拋物線Γ上.求以矩形（3）求證：拋物線Γ的任何兩條相互垂直的切線的交點都在同一條直線上.21．如果函數y=fx滿足以下兩個條件，我們就稱函數y=fx為①對任意的x∈0,1，有f②對于任意的x,y∈0,1，若x+y≤1，則f求證：（1）y=3x是（2）U型函數y=fx在0,1（3）對于U型函數y=fx，有f13

答案解析部分1．【答案】{3,5}【解析】【解答】解：因為集合A=1,3,5,7,B=2,3,4,5故答案為：{3,5}.【分析】根據已知條件結合交集的運算法則，從而得出集合A∩B.2．【答案】{x｜-1＜x＜2}【解析】【解答】∵|2x?1|<3??3<2x?1<3??1<x<2，∴不等式|2x?1|<3的解集為{x|-1＜x＜2}.故答案為：{x|-1＜x＜2}.【分析】根據絕對值定義化簡求解，即得結果.3．【答案】?2【解析】【解答】解：因為m+i1?2i又因為其為純虛數，則m+2=0且1?2m≠0，解得m=?2.故答案為：?2.【分析】根據復數的乘法運算法則和純虛數的判斷方法，從而得出實數m的值.4．【答案】36【解析】【解答】解：在等差數列an中，a1=?6,a3所以S8故答案為：36.【分析】根據已知條件結合等差數列的通項公式，從而求出數列an的公差，再結合等差數列前n項和公式求出數列a5．【答案】x【解析】【解答】解：依題意，|PF則點P的軌跡是以F1,F由2c=6，得b=a所以動點P的軌跡方程為x2故答案為：x2【分析】根據已知條件和橢圓的定義，從而求出點P的軌跡方程.6．【答案】5【解析】【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得BCsinA=ACsin因此5sin2B=4sin故答案為：58【分析】根據已知條件結合正弦定理和二倍角的正弦公式，從而得出角B的余弦值.7．【答案】2【解析】【解答】解：函數d=5sint?2cost，求導得d'=5cost+2sint，

則所以所求瞬時速度為2ms故答案為：2.【分析】由瞬時速度的意義求出函數在t=π2時的導數值，從而得出該物體在8．【答案】a?b（答案不唯一，可以為【解析】【解答】解：取正數a,b，則a+b?2ab=(因此a+b≥2ab，即a+b于是“任意兩個正數的算術平均值不小于它們的幾何平均值，

且等號當且僅當這兩個正數相等時成立”，顯然t2=(故答案為：a?【分析】根據已知條件，取正數a,b，再作差變形結合均值不等式求最值的方法，從而得出t的值.9．【答案】4【解析】【解答】解：雙曲線x24?y2m=1的漸近線為m依題意，m?4+m4+m故答案為：43【分析】根據已知條件求出雙曲線的漸近線方程、離心率的值和右焦點坐標，再利用圓的切線的性質列式計算，從而得出m的值.10．【答案】a【解析】【解答】解：分別過點A,B作CD的垂線，垂足分別為M,N，則根據正切函數的定義得CM=dtanα，則MN=AB=dtanα?dtan故答案為：atan【分析】根據正切函數的定義和已知條件，從而得到方程，進而解方程得出他倆所住的這幢樓與東方明珠塔之間的距離.11．【答案】2【解析】【解答】解：因為二次函數fx則該函數的對稱軸為直線x=?a2+令a=cosθ，則a2+2ab?b2=cos2故答案為：2.【分析】由偶函數的圖象的對稱性可得a2+b2=1，令a=12．【答案】100000【解析】【解答】解：設lgx3=k,k∈N?，

由lgx42<lgx1?lg則lgx1≥5，x故答案為：100000.【分析】令lgx3=k，根據已知條件列出一元二次不等式，再解不等式求出k的取值范圍，再根據對數函數的單調性，從而得出x13．【答案】B【解析】【解答】解：從正向來看，取a=2,b=?1，

則a+b>0，滿足a+b>0，但不滿足a>0且b>0，故充分性不成立，從反向來看，a>0,b>0，則a+b>0，故必要性成立，所以前者是后者的必要不充分條件.故答案為：B.【分析】正向取反例即可，反向根據不等式性質即可，再根據必要不充分條件的判斷方法，則找出正確的選項.14．【答案】B【解析】【解答】解：設處理池中的殘留物初始時為a，則t小時后，處理池中的殘留物為a1?12根據題意可得a1?0.12t=0.1a，即0.88因此，要使處理池中的污染物水平降到最初的10%，大約需要的時間為18小時.故答案為：B.【分析】利用已知條件可知，t小時后，處理池中的殘留物為a1?12%t，再根據題意可得出關于t15．【答案】D【解析】【解答】解：在△ABC中，CD⊥AB,∠A=30

不妨設CD=1，則BD=1,BC=2,AD=所以空間四面體A'BCD是一個“鱉臑”，則△A若A'B>A'D，則Rt△此時△A所以A'B<A'D，在Rt△此時滿足△A'BC由A'D⊥CD，BD⊥CD，二面角A'Rt△A'BD中，tan所以二面角A'?CD?B的大小為故答案為：D.

【分析】設CD=1，根據題意求出四面體的棱長，結合勾股定理和二面角的平面角的定義得出二面角A'?CD?B的平面角為∠A16．【答案】C【解析】【解答】解：設平面ABCD的一個法向量n=(x,y,z)則n?AB=4x?2y+3z=0n?AD=?4x+y=0所以該四棱錐的高?=|故答案為：C.【分析】利用已知條件結合兩向量垂直數量積為0的等價關系和數量積的坐標表示，從而求出平面ABCD的一個法向量，再利用數量積求點到平面的距離公式，則得出該四棱錐的高.17．【答案】（1）解：因為y'令y'=1?4x2令y'=1?4x2所以，該函數的嚴格單調增區間為(?∞,?2)和(2,+∞)，嚴格單調減區間為（2）解：因為f(x)<2x，即x?4x2?4x>0，即xx所以解集為(?2,0)∪(2,+∞【解析】【分析】（1）直接求導，令導函數大于0和小于0結合導數判斷單調性的方法，從而得出函數y=fx（2）將不等式轉化為xx2?4（1）y'令y'=1?4x2令y'=1?4x2所以，該函數的嚴格單調增區間為(?∞,?2)和(2,+∞)，嚴格單調減區間為（2）f(x)<2x，即x?4x2?4x>0，即所以解集為(?2,0)∪(2,+∞18．【答案】（1）解：由題意得a?由于a則|=2+2cos因為x∈0,π2（2）解：f(x)=因為x∈0,π2，則cosx∈0,1，

則當cos【解析】【分析】（1）根據已知條件和向量數量積的坐標表示以及向量模的坐標運算，從而得出a·b和（2）根據（1）中結果代入計算，從而得fx=a（1）由題意得a?由于a則|=2+2cos因為x∈0,π2（2）f(x)=a因為x∈0,π2，則cosx∈0,1，則當cos19．【答案】（1）解：由正三棱錐A?BCD的側面是邊長為2的正三角形，

得正三棱錐A?BCD為正四面體，取正△BCD的中心O，連接AO,BO，延長BO交CD于M，連接AM，

則AO⊥平面BCD，M是CD的中點，AM=BM=3，OM=13BM=所以正三棱錐A?BCD的體積為：V=1（2）證明：①由E,F分別是線段AC,AD的中點，

得EF//CD，又因為EF?平面EFG，CD?平面EFG，所以CD//平面EFG.②由平面EFG交BD于點H，得面EFG∩平面BCD=GH，

又因為CD//平面EFG，CD?平面BCD，

則GH//CD，而G是BC的中點，則H是BD的中點，因此EG//AB//FH，

因為EF//GH，則四邊形EFHG是平行四邊形，又因為EF=12CD=12AB=EG，于是?EFHG為菱形，

又因為AM⊥CD,BM⊥CD，AM∩BM=M,AM,BM?平面ABM，

則CD⊥平面ABM，

又因為AB?平面ABM，因此AB⊥CD，【解析】【分析】（1）由正三棱錐A?BCD的側面是邊長為2的正三角形，得正三棱錐A?BCD為正四面體，取正△BCD的中心O，結合線面垂直的定義證出線線垂直，根據勾股定理求出AO長，再利用正三棱錐體積公式，從而得出正三棱錐A?BCD的體積V的值.（2）①利用線面平行的判定定理證出CD//平面EFG.

②借助平行公理證出四邊形EFHG是平行四邊形，由中位線性質證出EF=EG，再利用線面垂直的判定定理和性質定理，則結合異面直線夾角定義，從而證出四邊形EFHG是正方形.（1）由正三棱錐A?BCD的側面是邊長為2的正三角形，得正三棱錐A?BCD為正四面體，取正△BCD的中心O，連接AO,BO，延長BO交CD于M，連接AM，則AO⊥平面BCD，M是CD的中點，AM=BM=3，OM=13所以正三棱錐A?BCD的體積V=1（2）①由E,F分別是線段AC,AD的中點，得EF//CD，而EF?平面EFG，CD?平面EFG，所以CD//平面EFG.②由平面EFG交BD于點H，得面EFG∩平面BCD=GH，而CD//平面EFG，CD?平面BCD，則GH//CD，而G是BC的中點，則H是BD的中點，因此EG//AB//FH，而EF//GH，則四邊形EFHG是平行四邊形，又EF=12CD=12AM∩BM=M,AM,BM?平面ABM，則CD⊥平面ABM，又AB?平面ABM，因此AB⊥CD，于是EG⊥GH，所以四邊形EFHG是正方形.20．【答案】（1）解：如圖建立平面直角坐標系xOy，設拋物線Γ的方程為y=ax2，x∈?2,2，

則曲線Γ過點2,2，所以2=4a所以，曲線Γ的方程為y=1線段AB的方程為y=2,x∈?2,2（2）解：設Ex,y，則DE=2?以CF為母線的圓柱的底面半徑r1滿足2x=2πr1所以圓柱的體積V1所以V1所以，當x=2時，其體積取得最大值2（3）證明：因為函數y=12x所以，拋物線Γ上任意一點x,y的切線斜率為x，設l1,l2是拋物線則其方程分別為l1:y?y1=x1x?x1,因為x1≠x故拋物線Γ的任何兩條相互垂直的切線的交點都在直線y=?1【解析】【分析】（1）利用已知條件建立平面直角坐標系，從而設出拋物線方程，再結合點代入法得出拋物線Γ的方程和線段AB的方程.（2）利用已知條件結合圓柱的性質和體積公式，從而求出圓柱的體積表達式，再利用換元法和二次函數的圖象求最值的方法，從而得出以矩形CDEF為側面，CF為母線的圓柱的體積最大值.（3）利用已知條件結合導數的幾何意義和點斜式方程，從而求出曲線的切線方程，進而求出兩切線交點，則證出拋物線Γ的任何兩條相互垂直的切線的交點都在同一條直線上.（1）如圖建立平面直角坐標系xOy，設拋物線Γ的方程為y=ax2則曲線Γ過點2,2